Otwarte2 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Podnieś równość do kwadratu
Pozwala to wykorzystać podaną sumę bez wyznaczania osobno sinusa i cosinusa.
\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2=\frac74\]
2 Oblicz szukany kwadrat
Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Suma kwadratów sumy i różnicy wynosi więc \(2\).
\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2-\frac74=\frac14\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi \(\frac14\).
\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac14\]
Sprawdzenie
Z podanej sumy wynika \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac38\). Dla kąta ostrego taki iloczyn jest możliwy, bo leży między \(0\) a \(\frac12\). Ponowne obliczenie różnicy daje \(1-2\cdot\frac38=\frac14\).
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7/4-1}{2}=\frac38,\qquad(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\cdot\frac38=\frac14\]