Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(\left(x-\frac{1}{2}\right)x>3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przeniesienie na jedną stronę
Aby zbadać znak wyrażenia, przenosimy prawą stronę nierówności na lewą i wyłączamy wspólny czynnik.
\[x\left(x-\frac12\right)-3\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac13\right)>0\iff\left(x-\frac12\right)(-2x-1)>0\]
2 Wyznaczenie przedziału
Po zmianie znaku nierówności szukamy liczb, dla których iloczyn dwóch czynników jest ujemny. Dzieje się tak między ich miejscami zerowymi.
\[\left(x-\frac12\right)(2x+1)<0\iff-\frac12<x<\frac12\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty od \(-\frac12\) do \(\frac12\).
\[x\in\left(-\frac12,\frac12\right)\]
Sprawdzenie
Dla \(x=0\), leżącego w otrzymanym przedziale, pierwotna nierówność daje \(0>-\frac12\). Poza przedziałem oba czynniki \(x-\frac12\) i \(2x+1\) mają ten sam znak, więc ich iloczyn nie jest ujemny. Na końcach przedziału wynosi zero, dlatego końce nie należą do rozwiązania.
\[x=0:\quad 0>3\left(-\frac12\right)\left(\frac13\right)=-\frac12\]