Zadanie 34 — matura 2017, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^\circ\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego o podstawie ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC' i BD'.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość i pierwsza przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(AC'\) na płaszczyznę podstawy jest \(AC\). W trójkącie prostokątnym \(ACC'\) obliczamy wysokość graniastosłupa i długość \(AC\).

\[h=CC'=8\sin 30^\circ=4,\qquad AC=8\cos 30^\circ=4\sqrt3\]

2 Druga przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(BD'\) na podstawę jest \(BD\). Kąt nachylenia wynosi \(45^\circ\), więc wysokość i \(BD\) mają tę samą długość.

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{BD}=1,\qquad BD=4\]

3 Pole podstawy i powierzchni bocznej

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Obliczamy pole podstawy oraz bok rombu, a następnie pole czterech ścian bocznych.

\[P_p=\frac{AC\cdot BD}{2}=8\sqrt3,\qquad a=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{12+4}=4,\qquad P_b=4ah=64\]

4 Pole całkowite

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.

\[P_c=2P_p+P_b=2\cdot8\sqrt3+64=64+16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(64+16\sqrt3\).

\[P_c=64+16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów \(AC'=\sqrt{AC^2+h^2}=8\), a \(\tan\angle(BD',BD)=h/BD=1\), więc oba podane kąty i długość przekątnej się zgadzają.

\[\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=8,\qquad \frac{h}{BD}=\frac44=\tan45^\circ\]