Zadanie 33 — matura 2017, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-2,-8)\) i \(B=(14,-8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB|=|AC|\). Wysokość \(AD\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostej BC

Wysokość AD jest prostopadła do boku BC. Prosta zawierająca AD ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prosta BC ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez B.

\[y+8=-2(x-14),\qquad y=-2x+20\]

2 Wykorzystanie równości boków

Ponieważ \(|AB|=16\), punkt C leży na okręgu o środku A i promieniu 16. Podstawiamy równanie prostej BC.

\[(x+2)^2+(y+8)^2=16^2\quad\Longrightarrow\quad(x+2)^2+4(x-14)^2=256\]

3 Obliczenie współrzędnych C

Rozwiązujemy równanie. Pierwiastek \(x=14\) odpowiada punktowi B, więc nie może wyznaczać drugiego wierzchołka trójkąta.

\[5x^2-108x+532=(x-14)(5x-38)=0,\qquad x_C=\frac{38}{5},\qquad y_C=-2\cdot\frac{38}{5}+20=\frac{24}{5}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne \(\left(\frac{38}{5},\frac{24}{5}\right)\).

\[C=\left(\frac{38}{5},\frac{24}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Obliczony punkt leży na prostej BC, a jego odległość od A wynosi 16. Współczynniki kierunkowe prostych BC i AD mają iloczyn \(-1\), więc AD jest wysokością.

\[-2\cdot\frac{38}{5}+20=\frac{24}{5},\qquad |AC|=\sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^2+\left(\frac{64}{5}\right)^2}=16=|AB|,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]