Zadanie 32 — matura 2017, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku podstaw

Trójkąty utworzone przez podstawy i punkt przecięcia przekątnych są podobne, więc stosunek długości podstaw jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków przekątnych. Oznaczamy krótszą podstawę przez 2x, a dłuższą przez 3x, bez przypisywania ich do AB lub CD.

\[a:b=2:3,\qquad a=2x,\quad b=3x,\quad x>0\]

2 Wyznaczenie wysokości

W trapezie równoramiennym przekątne mają jednakowe przesunięcia poziome równe połowie sumy podstaw. Są symetryczne, więc ich prostopadłość oznacza, że wysokość jest równa temu przesunięciu.

\[h=\frac{a+b}{2}=\frac{5x}{2}\]

3 Obliczenie skali

Poziome przesunięcie końców ramienia to połowa różnicy podstaw. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta złożonego z ramienia, wysokości i tego przesunięcia.

\[26=h^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2=\left(\frac{5x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{13x^2}{2},\qquad x^2=4,\quad x=2\]

4 Obliczenie pola

Podstawy mają długości 4 i 6, a wysokość 5. Podstawiamy je do wzoru na pole trapezu.

\[P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{4+6}{2}\cdot5=25\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 25 jednostek kwadratowych.

\[P=25\]

Sprawdzenie

Dla podstaw 4 i 6 wysokość wynosi 5. Poziome przesunięcie końców ramienia wynosi 1, zatem jego długość to √26. Przekątne mają przesunięcia poziome równe 5 i pionowe równe 5, więc są prostopadłe. Z podobieństwa trójkątów odcinki każdej przekątnej są w stosunku 4:6 = 2:3.

\[\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26},\qquad 5\cdot5-5\cdot5=0,\qquad 4:6=2:3\]