Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 59 z 98

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Koło ma promień równy \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30^\circ\) jest równy

\(\frac{3}{4}\pi\)

\(\frac{1}{2}\pi\)

\(\frac{3}{4}\pi+6\)

\(\frac{1}{2}\pi+6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości łuku

Kąt 30° stanowi jedną dwunastą pełnego kąta, więc łuk ma jedną dwunastą obwodu koła.

\[l=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{\pi}{2}\]

2 Obliczenie obwodu wycinka

Do długości łuku dodajemy dwa promienie tworzące brzegi wycinka.

\[O=l+2r=\frac{\pi}{2}+2\cdot 3=\frac{\pi}{2}+6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[O=\frac{1}{2}\pi+6\]

Sprawdzenie

Jedna dwunasta obwodu całego koła wynosi π/2, a dwa promienie mają łącznie długość 6. Ich suma zgadza się z odpowiedzią D.

\[\frac{1}{12}\cdot 6\pi+6=\frac{\pi}{2}+6\]

Zadanie 22

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\beta\) jest równa

\(40^\circ\)

\(80^\circ\)

\(100^\circ\)

\(120^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności kątów

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany.

\[\beta=2\alpha\]

2 Obliczenie miary kąta

Z treści zadania mamy również \(\beta=\alpha+40^\circ\). Porównujemy oba wyrażenia i obliczamy kąty.

\[2\alpha=\alpha+40^\circ\Rightarrow\alpha=40^\circ\Rightarrow\beta=80^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta β wynosi 80°. Odpowiedź B.

\[\beta=80^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy 80° jest dwa razy większy od kąta wpisanego 40° i przewyższa go o 40°.

\[80^\circ=2\cdot40^\circ,\qquad80^\circ-40^\circ=40^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy

\(4:3\)

\(4:7\)

\(3:4\)

\(3:7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o dwusiecznej

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych do tego kąta.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Stosunek |AD|:|DB| wynosi 3:4. Odpowiedź C.

\[|AD|:|DB|=3:4\]

Sprawdzenie

Jeśli |AD|=3t i |DB|=4t dla t>0, to ich stosunek wynosi 3:4, zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}\]

Zadanie 24

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Trapez równoramienny ABCD. Podstawa CD ma oznaczenie 6, ramię AD ma oznaczenie 4, a kąty przy A i B mają oznaczenia 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka D powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię AD jest przeciwprostokątną.

\[h=AD\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\]

2 Obliczenie dolnej podstawy

Rzut poziomy każdego ramienia ma długość 2. W trapezie równoramiennym dodajemy oba rzuty do górnej podstawy.

\[AB=CD+2\cdot AD\cos 60^\circ=6+2\cdot4\cdot\frac12=10\]

3 Obliczenie pola

Pole trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.

\[P=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 16√3 jednostek kwadratowych.

\[P=16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Różnica podstaw wynosi 4, więc na każde ramię przypada rzut długości 2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tę samą wysokość.

\[AB-CD=10-6=4=2\cdot2,\qquad h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3\]

Zadanie 25

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

\(y=-\frac{3}{4}x+8\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

\(y=\frac{4}{3}x-17\)

\(y=-\frac{4}{3}x+15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:

\[y=\frac{3}{4}x+b\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(12,-1)\), ponieważ szukana prosta przez niego przechodzi.

\[-1=\frac{3}{4}\cdot12+b=9+b\quad\Rightarrow\quad b=-10\]

Odpowiedź

Szukana prosta ma równanie \(y=\frac{3}{4}x-10\). Poprawna odpowiedź: B.

\[y=\frac{3}{4}x-10\]

Sprawdzenie

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3}{4}\), tak jak dla prostej \(k\). Po podstawieniu \(x=12\) otrzymujemy \(y=-1\), więc prosta przechodzi przez punkt \(P\).

\[\frac{3}{4}\cdot12-10=9-10=-1\]

Zadanie 26

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku \(S=(-1,2)\) i promieniu \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(O\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)

\((x-1)^2+(y+2)^2=3\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru

Okrąg o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) opisuje równanie, w którym suma kwadratów odległości współrzędnych od środka jest równa \(r^2\).

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

2 Podstawienie danych

Podstawiamy współrzędne środka \(a=-1\), \(b=2\) oraz promień \(r=3\).

\[(x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2\quad\Longrightarrow\quad(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=9\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych środka lewa strona wynosi zero. Prawa strona to kwadrat promienia \(3\), więc równanie opisuje okrąg o podanym środku i promieniu.

\[(-1+1)^2+(2-2)^2=0,\qquad r=\sqrt{9}=3\]

Zadanie 27

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach:

\(y=\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\sqrt{3}x+6\)
\(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\),

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(KLM\) jest …, ponieważ …

równoramienny

prostokątny

oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.

dwie z tych prostych są prostopadłe.

oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o niezerowych współczynnikach kierunkowych są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi −1. Sprawdzamy pierwszą i trzecią prostą.

\[\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

2 Ustalenie rodzaju trójkąta

Pierwsza i trzecia prosta wyznaczają dwa boki trójkąta. Skoro są prostopadłe, kąt między tymi bokami jest prosty.

\[\angle KLM=90^\circ\ \text{dla odpowiedniego oznaczenia wierzchołków}\]

Odpowiedź

Trójkąt KLM jest prostokątny, ponieważ dwie z podanych prostych są prostopadłe. Odpowiedź B, uzasadnienie 2.

\[\boxed{\text{B2}}\]

Sprawdzenie

Pierwsza i druga prosta przecinają się w punkcie (0,6). Punkt ten nie leży na trzeciej prostej, bo dla x=0 ma ona y=−2. Proste tworzą więc trójkąt, a obliczony iloczyn współczynników kierunkowych potwierdza jego kąt prosty.

\[(0,6)\notin\left\{(x,y):y=-\frac{x}{\sqrt{3}}-2\right\},\qquad \sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\]

Zadanie 28

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

\(\sqrt{5}\)

\(2\sqrt{5}\)

\(3\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie środka symetrii

Środek symetrii równoległoboku jest środkiem jego przekątnych, więc długość \(AC\) jest dwa razy większa od długości \(AS\).

\[|AC|=2|AS|\]

2 Obliczenie długości

Długość odcinka \(AS\) obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},\qquad |AC|=2\cdot3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej AC wynosi \(6\sqrt{5}\). Odpowiedź D.

\[|AC|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Punkt przeciwległy do A względem S ma współrzędne \((5,8)\). Środek odcinka o końcach \((-1,-4)\) i \((5,8)\) to \((2,2)\), a jego długość wynosi \(\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\).

\[\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(2,2),\qquad \sqrt{(5+1)^2+(8+4)^2}=6\sqrt{5}\]

Zadanie 29.1

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

\(216+18\sqrt{3}\)

\(216+54\sqrt{3}\)

\(216+216\sqrt{3}\)

\(216+108\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole boczne

Graniastosłup jest prosty, więc pole powierzchni bocznej to obwód podstawy pomnożony przez wysokość. Obie długości krawędzi wynoszą 6.

\[P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=216\]

2 Pole podstawy

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku 6. Pole każdego z nich obliczamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

\[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite

Do pola bocznego dodajemy pola dwóch jednakowych podstaw.

\[P_c=P_b+2P_p=216+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Odpowiedź

D. Pole powierzchni całkowitej wynosi 216 + 108√3.

\[P_c=216+108\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych ma po 36 jednostek kwadratowych, czyli razem 216. Dwie podstawy mają łącznie 108√3 jednostek kwadratowych; ich suma odpowiada odpowiedzi D.

\[6\cdot36+2\cdot54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}\]

Zadanie 29.2

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rzut przekątnej

Rzut dłuższej przekątnej graniastosłupa na podstawę łączy przeciwległe wierzchołki sześciokąta foremnego. Ma długość dwóch boków sześciokąta.

\[d=2\cdot 6=12\]

2 Długość przekątnej graniastosłupa

Rzut, krawędź boczna i przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[D=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy jest kątem między przekątną a jej rzutem. Cosinus to stosunek długości rzutu do długości przekątnej.

\[\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia wynosi \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Obliczona przekątna spełnia twierdzenie Pitagorasa, a otrzymany cosinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(6\sqrt{5})^2=12^2+6^2=180,\qquad 0<\frac{2\sqrt{5}}{5}<1\]

Zadanie 30

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

\(9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\)

\(9\cdot9\cdot9\cdot9\)

\(10\cdot9\cdot8\cdot7\)

\(9\cdot9\cdot8\cdot7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy 9 możliwości.

\[9\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na kolejne miejsca pozostaje odpowiednio 9, 8 i 7 możliwości, więc mnożymy liczby wyborów.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4536 liczb.

\[9\cdot9\cdot8\cdot7=4536\]

Sprawdzenie

Spośród wszystkich zapisów z czterema różnymi cyframi odejmujemy te, które zaczynają się od zera. Otrzymujemy ten sam wynik.

\[10\cdot9\cdot8\cdot7-9\cdot8\cdot7=5040-504=4536\]

Zadanie 31

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1,2,3,4,5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsze losowanie

W zbiorze są trzy liczby nieparzyste spośród pięciu, więc prawdopodobieństwo wylosowania nieparzystej liczby wynosi trzy piąte.

\[P(\text{pierwsza nieparzysta})=\frac{3}{5}\]

2 Drugie losowanie

Jeśli pierwsza liczba była nieparzysta, po losowaniu bez zwracania pozostają dwie liczby nieparzyste spośród czterech. Mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych zdarzeń.

\[P(A)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi trzy dziesiąte.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

Możliwych uporządkowanych par jest 5·4=20, a par złożonych z liczb nieparzystych 3·2=6. Ich iloraz to 6/20=3/10.

\[\frac{3\cdot2}{5\cdot4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\]

Zadanie 32

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Diagram słupkowy liczby pracowników według wynagrodzenia brutto za styczeń 2023 roku. Wynagrodzeniom 4800, 5100, 5500, 5900, 6400, 7500 i 8600 zł odpowiadają kolejno liczby pracowników: 10, 36, 5, 25, 18, 4 i 2.

\(5\ 690\ \mathrm{zł}\)

\(5\ 280\ \mathrm{zł}\)

\(6\ 257\ \mathrm{zł}\)

\(5\ 900\ \mathrm{zł}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy wynagrodzeń

Mnożymy każdą kwotę przez liczbę pracowników, którzy ją otrzymali, a następnie dodajemy wyniki.

\[10\cdot4800+36\cdot5100+5\cdot5500+25\cdot5900+18\cdot6400+4\cdot7500+2\cdot8600=569000\ \mathrm{zł}\]

2 Obliczenie średniej

Sumę wynagrodzeń dzielimy przez liczbę wszystkich pracowników.

\[\frac{569000\ \mathrm{zł}}{100}=5690\ \mathrm{zł}\]

Odpowiedź

Średnie wynagrodzenie wynosi 5690 zł. Odpowiedź A.

\[\boxed{5690\ \mathrm{zł}\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Liczby pracowników sumują się do 100, więc użyty dzielnik jest poprawny. Iloczyn średniej i liczby pracowników daje obliczoną sumę wynagrodzeń.

\[10+36+5+25+18+4+2=100,\qquad 5690\cdot100=569000\]

Zadanie 33

Matura 2023 · sierpień · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x)=196x\)
koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją \(K(x)=4x^2+4x+240\)

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zysku

Zysk jest różnicą przychodu i kosztu produkcji.

\[Z(x)=P(x)-K(x)=196x-(4x^2+4x+240)=-4x^2+192x-240\]

2 Znalezienie maksimum

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że kwadrat jest najmniejszy dla x=24. Ponieważ jego współczynnik jest ujemny, wtedy zysk jest największy. Liczba 24 spełnia warunek produkcji od 0 do 30 krzeseł.

\[Z(x)=-4(x-24)^2+2064\leq 2064\quad\text{dla }x\in\{0,1,\ldots,30\}\]

Odpowiedź

Zakład powinien dziennie sprzedawać 24 krzesła. Największy zysk wynosi 2064 zł.

\[x=24,\qquad Z_{\max}=2064\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

Przy sprzedaży 24 krzeseł przychód wynosi 4704 zł, a koszt 2640 zł. Ich różnica to 2064 zł; 24 krzesła mieszczą się w dziennym limicie 30.

\[P(24)=196\cdot24=4704,\quad K(24)=4\cdot24^2+4\cdot24+240=2640,\quad 4704-2640=2064\]

Zadanie 1

Matura 2023 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5\) jest równa

\(-\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ każda dodatnia podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1, a \(25^{1/2}=5\), otrzymujemy wartości obu logarytmów.

\[\log_{25}1=0,\qquad \log_{25}5=\frac{1}{2}\]

2 Podstawienie wartości

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia i wykonujemy mnożenie.

\[\log_{25}1-\frac{1}{2}\log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Kontrola: własność logarytmów daje logarytm z odwrotności pierwiastka z 5. Ponieważ \(25^{-1/4}=1/\sqrt{5}\), jego wartość wynosi \(-1/4\).

\[\log_{25}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\log_{25}\!\left(25^{-1/4}\right)=-\frac{1}{4}\]