Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 58 z 70

Sortuj:

Zadanie 12

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem

\(f(x)=(x+2017)^2\)

\(f(x)=x^2-2017\)

\(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)

\(f(x)=x^2+2017\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przynależności

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy \(f(2017)=0\).

\[f(2017)=0\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedzi C jeden z czynników przyjmuje wartość zero. W pozostałych odpowiedziach wartości są dodatnie.

\[\begin{aligned}f_A(2017)&=4034^2>0,\\ f_B(2017)&=2017\cdot2016>0,\\ f_C(2017)&=(2017+2017)(2017-2017)=0,\\ f_D(2017)&=2017^2+2017>0.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(x)=(x+2017)(x-2017)\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnej x punktu A do wzoru z odpowiedzi C otrzymujemy jego współrzędną y, czyli 0.

\[f(2017)=4034\cdot0=0\]

Zadanie 13

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

\(0\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o różnicę \(r\).

\[a_2=a_1+r,\qquad a_3=a_1+2r\]

2 Wyznaczenie różnicy

Podstawiamy te wyrażenia do podanego warunku i rozwiązujemy równanie.

\[2(a_1+2r)=(a_1+r)+a_1+1\;\Longrightarrow\;4r=r+1\;\Longrightarrow\;r=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(\frac{1}{3}\). Odpowiedź B.

\[r=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(r=\frac{1}{3}\) obie strony podanego warunku są równe \(2a_1+\frac{4}{3}\).

\[2a_3=2\left(a_1+\frac{2}{3}\right)=2a_1+\frac{4}{3}=\left(a_1+\frac{1}{3}\right)+a_1+1=a_2+a_1+1\]

Zadanie 14

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((x,2x^2,4x^3,8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy

\(x=0\)

\(x=1\)

\(x=2\)

\(x=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykluczenie zera

Gdyby x=0, trzy pierwsze wyrazy byłyby zerowe. W ciągu geometrycznym następny wyraz też musiałby być zerem, a wynosi 8. Ponieważ wyrazy są nieujemne, mamy x>0.

\[x>0\]

2 Wyznaczenie x

W ciągu geometrycznym ilorazy kolejnych wyrazów są równe. Korzystamy z x>0, aby podzielić przez wyrazy zawierające x.

\[\frac{2x^2}{x}=\frac{8}{4x^3}\quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{2}{x^3}\quad\Longrightarrow\quad x^4=1\quad\Longrightarrow\quad x=1\]

Odpowiedź

x=1, odpowiedź B.

\[x=1\]

Sprawdzenie

Dla x=1 otrzymujemy ciąg (1,2,4,8). Wszystkie wyrazy są nieujemne, a każdy kolejny jest dwa razy większy od poprzedniego.

\[\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=2\]

Zadanie 15

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sin\alpha\) jest równy

\(\frac{5}{17}\)

\(\frac{12}{17}\)

\(\frac{5}{13}\)

\(\frac{12}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

Tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Możemy przyjąć, że mają one długości 12 i 5; z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną.

\[c=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{12}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sin\alpha=\frac{12}{13}\]

Sprawdzenie

Dla tych boków tangens wynosi 12/5, zgodnie z treścią zadania; sinus 12/13 jest dodatni i mniejszy od 1, jak dla kąta ostrego.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5},\qquad 0<\frac{12}{13}<1\]

Zadanie 16

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt wpisany \(ABC\) o mierze \(20^\circ\) (patrz rysunek).

Miara kąta \(CAO\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu oraz odcinkami AB, BC, AO i CO.

\(85^\circ\)

\(70^\circ\)

\(80^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy COA i kąt wpisany CBA są oparte na tym samym łuku CA, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle COA=2\angle CBA=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta CAO

Odcinki OA i OC są promieniami, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle CAO=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\]

Odpowiedź

Kąt CAO ma miarę 70°. Odpowiedź B.

\[\angle CAO=70^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOC sumują się do 180°, a kąt środkowy 40° jest dwa razy większy od danego kąta wpisanego 20°.

\[70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\).

Wówczas miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C, odcinkiem BD, punktem D na AC, oznaczeniami długości 3 i 5 oraz kątem φ przy B.

\(20^\circ<\varphi<25^\circ\)

\(25^\circ<\varphi<30^\circ\)

\(30^\circ<\varphi<35^\circ\)

\(35^\circ<\varphi<40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta ABC

W trójkącie prostokątnym tangens kąta przy B jest ilorazem długości przeciwległej i przyległej przyprostokątnej.

\[\tan\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{3},\qquad \angle ABC=\arctan\frac{5}{3}\approx59{,}04^\circ\]

2 Obliczenie kąta φ

Odcinek BD leży na dwusiecznej kąta ABC, więc dzieli ten kąt na połowy.

\[\varphi=\frac{1}{2}\angle ABC\approx\frac{59{,}04^\circ}{2}=29{,}52^\circ\]

Odpowiedź

Zachodzi 25° < φ < 30°, zatem poprawna odpowiedź to B.

\[25^\circ<\varphi<30^\circ\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanej miary daje około 59,04°, czyli obliczony kąt ABC. Ponadto 29,52° należy do przedziału (25°, 30°).

\[2\cdot29{,}52^\circ=59{,}04^\circ,\qquad 25^\circ<29{,}52^\circ<30^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta przechodząca przez punkt \(A=(-10,5)\) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu

\(y=-2x+4\)

\(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+1\)

\(y=2x-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Prosta przechodzi przez punkty \(A=(-10,5)\) i \(O=(0,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy obliczamy z różnicy współrzędnych.

\[a=\frac{5-0}{-10-0}=-\frac{1}{2}\]

2 Wyznaczenie prostej prostopadłej

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\). Szukany współczynnik to \(2\), który występuje w odpowiedzi D.

\[-\frac{1}{2}\cdot b=-1\quad\Rightarrow\quad b=2\]

Odpowiedź

D. Prosta o równaniu \(y=2x-4\).

\[y=2x-4\]

Sprawdzenie

Współczynniki kierunkowe obu prostych mają iloczyn \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[-\frac{1}{2}\cdot 2=-1\]

Zadanie 19

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-21,11)\) i \(B=(3,17)\) są końcami odcinka \(AB\). Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi \(Ox\) układu współrzędnych jest odcinek \(A'B'\). Środkiem odcinka \(A'B'\) jest punkt o współrzędnych

\((-9,-14)\)

\((-9,14)\)

\((9,-14)\)

\((9,14)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odbicie punktów

W symetrii względem osi Ox współrzędna x pozostaje bez zmian, a y zmienia znak.

\[A'=(-21,-11),\quad B'=(3,-17)\]

2 Środek odcinka

Każda współrzędna środka jest średnią odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

\[S=\left(\frac{-21+3}{2},\frac{-11-17}{2}\right)=(-9,-14)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: środek odcinka A′B′ ma współrzędne (−9, −14).

\[S=(-9,-14)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to (−9, 14). Odbicie tego punktu względem osi Ox daje (−9, −14), zgodnie z wynikiem.

\[\left(\frac{-21+3}{2},\frac{11+17}{2}\right)=(-9,14)\longmapsto(-9,-14)\]

Zadanie 20

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\), przy czym \(|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|\). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(A'B'C'\) jest równy

\(\frac{4}{25}\)

\(\frac{2}{5}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{25}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie skali podobieństwa

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali, ponieważ w tej samej skali zmieniają się podstawa i wysokość trójkąta.

\[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}}=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\]

Odpowiedź

Stosunek pól wynosi 25:4. Odpowiedź D.

\[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}}=\frac{25}{4}\]

Sprawdzenie

Bok AB jest 5/2 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku A′B′, a odpowiadająca mu wysokość także jest 5/2 razy większa. Ich iloczyn daje stosunek pól 25/4.

\[\frac{\frac12\cdot\frac52 a\cdot\frac52 h}{\frac12 ah}=\frac{25}{4}\]

Zadanie 21

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}\pi^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa

\(\frac{\pi}{3}\)

\(\pi\)

\(\sqrt{3}\pi\)

\(3\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Korzystamy ze wzoru na pole koła i z tego, że promień jest dodatni.

\[\pi R^2=\frac{1}{3}\pi^3\quad\Rightarrow\quad R^2=\frac{\pi^2}{3}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\]

2 Wyznaczenie boku

W trójkącie równobocznym promień koła opisanego spełnia zależność \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

\[a=R\sqrt{3}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=\pi\]

Odpowiedź

Długość boku wynosi \(\pi\). Odpowiedź B.

\[a=\pi\]

Sprawdzenie

Dla boku \(a=\pi\) promień wynosi \(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\), a pole koła jest zgodne z treścią zadania.

\[\pi\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3}\pi^3\]

Zadanie 22

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta prostokątnego \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem 30° przy A i bokiem AC o długości 4.

Uwaga redakcyjna: W oryginalnym arkuszu warianty B i C są równoważne. Zachowano oryginalne odpowiedzi; w tym zbiorze wskaż wszystkie poprawne warianty.

\(\frac{32\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{16\sqrt{3}}{6}\)

\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc AC i BC są przyprostokątnymi. Dla kąta 30° przy A stosujemy tangens.

\[\tan 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{4},\qquad BC=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.

\[P=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Poprawne są odpowiedzi B i C.

\[P=\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{6}\]

Sprawdzenie

Obliczona długość BC daje wymagany tangens kąta przy A, a wartości w odpowiedziach B i C są równe.

\[\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ,\qquad \frac{16\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 23

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

\(72\)

\(48\)

\(152\)

\(108\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc obliczamy \(a\) z podanej długości.

\[a\sqrt{3}=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie pola

Sześcian ma sześć ścian o polu \(a^2\).

\[P_c=6a^2=6(2\sqrt{3})^2=72\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 72. Odpowiedź A.

\[P_c=72\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej krawędzi przekątna ma długość 6, zgodnie z treścią zadania.

\[2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\]

Zadanie 24

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16\pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Wysokość tego walca jest równa

\(4\)

\(8\)

\(4\pi\)

\(8\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wzór na pole boczne

Pole powierzchni bocznej walca jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości.

\[P_b=2\pi rh\]

2 Obliczenie wysokości

Podstawiamy dane i dzielimy obie strony równania przez \(4\pi\).

\[16\pi=2\pi\cdot2\cdot h=4\pi h\quad\Rightarrow\quad h=4\]

Odpowiedź

Wysokość walca wynosi 4. Odpowiedź A.

\[h=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 2 i wysokości 4 pole boczne wynosi \(16\pi\), zgodnie z treścią zadania.

\[2\pi\cdot2\cdot4=16\pi\]

Zadanie 25

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od \(20\), jest równe

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{5}{36}\)

\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy rzut ma 6 wyników, więc dwóch rzutów daje 36 jednakowo prawdopodobnych par uporządkowanych.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Pary sprzyjające

Wypisujemy pary, których iloczyn przekracza 20. Kolejność ma znaczenie, ponieważ rzuty są kolejne.

\[(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę 6 par sprzyjających przez liczbę 36 wszystkich wyników.

\[P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Wypisane iloczyny to 24, 25, 30, 24, 30 i 36, więc wszystkie przekraczają 20. Dla pierwszego wyniku co najwyżej 3 iloczyn nie przekracza 18; pozostałe przypadki są uwzględnione.

\[3\cdot 6=18<20\]

Zadanie 26

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(\left(x-\frac{1}{2}\right)x>3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie na jedną stronę

Aby zbadać znak wyrażenia, przenosimy prawą stronę nierówności na lewą i wyłączamy wspólny czynnik.

\[x\left(x-\frac12\right)-3\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac13\right)>0\iff\left(x-\frac12\right)(-2x-1)>0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Po zmianie znaku nierówności szukamy liczb, dla których iloczyn dwóch czynników jest ujemny. Dzieje się tak między ich miejscami zerowymi.

\[\left(x-\frac12\right)(2x+1)<0\iff-\frac12<x<\frac12\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty od \(-\frac12\) do \(\frac12\).

\[x\in\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\), leżącego w otrzymanym przedziale, pierwotna nierówność daje \(0>-\frac12\). Poza przedziałem oba czynniki \(x-\frac12\) i \(2x+1\) mają ten sam znak, więc ich iloczyn nie jest ujemny. Na końcach przedziału wynosi zero, dlatego końce nie należą do rozwiązania.

\[x=0:\quad 0>3\left(-\frac12\right)\left(\frac13\right)=-\frac12\]