Zamknięte1 pkt
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(2a_3=a_2+a_1+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa
A
\(0\)
B
\(\frac{1}{3}\)
C
\(\frac{1}{2}\)
D
\(1\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie wyrazów ciągu
W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o różnicę \(r\).
\[a_2=a_1+r,\qquad a_3=a_1+2r\]
2 Wyznaczenie różnicy
Podstawiamy te wyrażenia do podanego warunku i rozwiązujemy równanie.
\[2(a_1+2r)=(a_1+r)+a_1+1\;\Longrightarrow\;4r=r+1\;\Longrightarrow\;r=\frac{1}{3}\]
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi \(\frac{1}{3}\). Odpowiedź B.
\[r=\frac{1}{3}\]
Sprawdzenie
Dla \(r=\frac{1}{3}\) obie strony podanego warunku są równe \(2a_1+\frac{4}{3}\).
\[2a_3=2\left(a_1+\frac{2}{3}\right)=2a_1+\frac{4}{3}=\left(a_1+\frac{1}{3}\right)+a_1+1=a_2+a_1+1\]