Zamknięte1 pkt
Pole trójkąta prostokątnego \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równe
Uwaga redakcyjna: W oryginalnym arkuszu warianty B i C są równoważne. Zachowano oryginalne odpowiedzi; w tym zbiorze wskaż wszystkie poprawne warianty.
A
\(\frac{32\sqrt{3}}{6}\)
B
\(\frac{16\sqrt{3}}{6}\)
C
\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
D
\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej
Kąt przy C jest prosty, więc AC i BC są przyprostokątnymi. Dla kąta 30° przy A stosujemy tangens.
\[\tan 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{4},\qquad BC=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]
2 Obliczenie pola
Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.
\[P=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]
Odpowiedź
Pole wynosi \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Poprawne są odpowiedzi B i C.
\[P=\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{6}\]
Sprawdzenie
Obliczona długość BC daje wymagany tangens kąta przy A, a wartości w odpowiedziach B i C są równe.
\[\frac{BC}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ,\qquad \frac{16\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\]