Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 57 z 70

Sortuj:

Zadanie 31

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(2,4)\), \(B=(0,0)\), \(C=(4,-2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka boku AC

Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego końców.

\[D=\left(\frac{2+4}{2},\frac{4+(-2)}{2}\right)=(3,1)\]

2 Wyznaczenie równania prostej BD

Prosta przechodzi przez początek układu, więc ma postać \(y=ax\). Podstawiamy współrzędne punktu \(D\), aby obliczyć \(a\).

\[1=3a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{3}x\]

Odpowiedź

Równanie prostej BD: \(y=\frac{1}{3}x\).

\[y=\frac{1}{3}x\]

Sprawdzenie

Punkty \(B=(0,0)\) i \(D=(3,1)\) spełniają otrzymane równanie.

\[0=\frac{1}{3}\cdot 0,\qquad 1=\frac{1}{3}\cdot 3\]

Zadanie 32

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym punktem O w podstawie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy i wysokość ściany bocznej

Podstawa jest trójkątem równobocznym. Trzy jednakowe ściany boczne mają łączne pole dwa razy większe od pola podstawy, więc wyznaczamy ich wysokość l.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad 3\cdot\frac{al}{2}=2P_p=\frac{a^2\sqrt3}{2},\qquad l=\frac{a}{\sqrt3}.\]

2 Długość krawędzi bocznej

Wysokość ściany bocznej dzieli krawędź podstawy na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość SA.

\[SA^2=l^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{12},\qquad SA=\frac{a\sqrt{21}}6.\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Rzutem krawędzi SA na płaszczyznę podstawy jest AO. Punkt O jest środkiem trójkąta równobocznego, zatem AO jest dwiema trzecimi jego wysokości.

\[AO=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac a{\sqrt3},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{a/\sqrt3}{a\sqrt{21}/6}=\frac2{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}{7}.\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt7}{7}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt7}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość ściany bocznej daje wymagane pole powierzchni bocznej, a obliczony cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[3\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt3}=\frac{a^2\sqrt3}{2}=2P_p,\qquad 0<\frac2{\sqrt7}<1.\]

Zadanie 33

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru \(A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1,0,1,2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są – odpowiednio – współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki zdarzenia

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Wtedy miejsce zerowe jest dodatnie dokładnie wtedy, gdy wyraz wolny jest ujemny.

\[a>0,\qquad x_0=-\frac{b}{a}>0\iff b<0\]

2 Policzenie wyników

Zbiór A zawiera trzy dodatnie wartości, a w zbiorze B jedyną ujemną wartością jest −1. Wszystkich par jest 6 razy 4.

\[|\Omega|=6\cdot4=24,\qquad |E|=3\cdot1=3\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par spełniających oba warunki przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych par.

\[P(E)=\frac{3}{24}=\frac18\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/8.

\[P(E)=\frac18\]

Sprawdzenie

Dla trzech korzystnych par (a,−1), gdzie a należy do {1,2,3}, funkcja jest rosnąca, a jej miejsce zerowe wynosi 1/a i jest dodatnie. Żadna inna wartość b nie daje dodatniego miejsca zerowego przy a>0.

\[a\in\{1,2,3\},\quad b=-1\implies x_0=\frac1a>0\]

Zadanie 34

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Niech druga przyprostokątna ma długość \(x\), a przeciwprostokątna \(c\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność między bokami.

\[c^2=5^2+x^2=25+x^2\]

2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego jest równy połowie różnicy sumy przyprostokątnych i przeciwprostokątnej. Podstawiamy \(r=2\), a następnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[2=\frac{5+x-c}{2}\quad\Rightarrow\quad c=x+1\quad\Rightarrow\quad (x+1)^2=25+x^2\quad\Rightarrow\quad 2x=24\quad\Rightarrow\quad x=12\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.

\[P=\frac{5\cdot12}{2}=30\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 30.

\[P=30\]

Sprawdzenie

Dla przyprostokątnych 5 i 12 przeciwprostokątna ma długość 13, a promień okręgu wpisanego wynosi 2. Wszystkie długości są dodatnie.

\[5^2+12^2=13^2,\qquad r=\frac{5+12-13}{2}=2\]

Zadanie 1

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(|9-2|-|4-7|\) jest równa

\(4\)

\(10\)

\(-10\)

\(-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnych

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera, więc jest nieujemna.

\[|9-2|=|7|=7,\qquad |4-7|=|-3|=3\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy otrzymane wartości do wyrażenia.

\[|9-2|-|4-7|=7-3=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Ponieważ 9−2 jest dodatnie, a 4−7 ujemne, otrzymujemy 7−3=4, co odpowiada odpowiedzi A.

\[|7|-|-3|=7-3=4\]

Zadanie 2

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Iloczyn dodatnich liczb \(a\) i \(b\) jest równy 1350. Ponadto 15% liczby \(a\) jest równe 10% liczby \(b\). Stąd wynika, że \(b\) jest równe

\(9\)

\(18\)

\(45\)

\(50\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zależności między liczbami

Zamieniamy procenty na ułamki i przekształcamy równość, aby wyrazić \(a\) przez \(b\).

\[\frac{15}{100}a=\frac{10}{100}b\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2}{3}b\]

2 Obliczenie liczby b

Podstawiamy otrzymaną zależność do równania \(ab=1350\). Wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ \(b>0\).

\[\frac{2}{3}b^2=1350\quad\Longrightarrow\quad b^2=2025\quad\Longrightarrow\quad b=45\]

Odpowiedź

Liczba b jest równa 45. Odpowiedź C.

\[b=45\]

Sprawdzenie

Z zależności procentowej otrzymujemy a = 30. Obie liczby są dodatnie, ich iloczyn wynosi 1350, a 15% z 30 i 10% z 45 to po 4,5.

\[30\cdot45=1350,\qquad 0{,}15\cdot30=4{,}5=0{,}10\cdot45\]

Zadanie 3

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Suma \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\) jest równa

\(4^{24}\)

\(4^{25}\)

\(4^{48}\)

\(4^{49}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy jako iloczynu

Cztery jednakowe składniki zastępujemy iloczynem.

\[16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}\]

2 Sprowadzenie do jednej podstawy

Ponieważ \(16=4^2\), stosujemy reguły potęgowania.

\[4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[4^{49}\]

Sprawdzenie

Otrzymany wynik jest czterokrotnością jednego składnika sumy.

\[\frac{4^{49}}{16^{24}}=\frac{4^{49}}{4^{48}}=4\]

Zadanie 4

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu wyznaczamy wykładniki, do których trzeba podnieść 3, aby otrzymać 27 i 1.

\[3^3=27,\quad 3^0=1\quad\Rightarrow\quad \log_{3}27=3,\quad \log_{3}1=0\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy obliczone wartości i odejmujemy.

\[\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź D.

\[3\]

Sprawdzenie

Równości 3³ = 27 i 3⁰ = 1 potwierdzają wartości obu logarytmów; podstawa 3 jest dodatnia i różna od 1, a argumenty są dodatnie.

\[3^3=27,\quad 3^0=1\]

Zadanie 5

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \(x^{6}-2x^{3}-3\) jest równe

\((x^{3}+1)(x^{2}-3)\)

\((x^{3}-3)(x^{3}+1)\)

\((x^{2}+3)(x^{4}-1)\)

\((x^{4}+1)(x^{2}-3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie

Traktujemy wyrażenie jako trójmian kwadratowy względem \(x^3\), aby je rozłożyć na czynniki.

\[t=x^3,\qquad x^6-2x^3-3=t^2-2t-3\]

2 Rozkład na czynniki

Szukamy liczb o iloczynie \(-3\) i sumie \(-2\). Są to \(-3\) i \(1\).

\[t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=(x^3-3)(x^3+1)\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \((x^3-3)(x^3+1)\).

\[(x^3-3)(x^3+1)\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu czynników otrzymujemy wyrażenie z treści zadania dla każdego rzeczywistego \(x\).

\[(x^3-3)(x^3+1)=x^6+x^3-3x^3-3=x^6-2x^3-3\]

Zadanie 6

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wartość wyrażenia \((b-a)^{2}\) dla \(a=2\sqrt{3}\) i \(b=\sqrt{75}\) jest równa

\(9\)

\(27\)

\(63\)

\(147\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy kwadrat liczby 5 spod pierwiastka, aby zapisać obie liczby jako wielokrotności \(\sqrt{3}\).

\[b=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy dane, odejmujemy współczynniki przy \(\sqrt{3}\) i podnosimy wynik do kwadratu.

\[(b-a)^2=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2=(3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 27. Odpowiedź B.

\[27\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu różnicy otrzymujemy tę samą wartość.

\[b^2-2ab+a^2=75-2\cdot(5\sqrt{3})(2\sqrt{3})+12=75-60+12=27\]

Zadanie 7

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=21-\frac{7}{3}x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest

\(-9\)

\(-\frac{7}{3}\)

\(9\)

\(21\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Miejsce zerowe to taka wartość \(x\), dla której \(f(x)=0\).

\[21-\frac{7}{3}x=0\]

2 Rozwiązanie równania

Przenosimy wyraz z \(x\) na prawą stronę, a następnie mnożymy obie strony przez \(\frac{3}{7}\).

\[21=\frac{7}{3}x\quad\Longrightarrow\quad x=21\cdot\frac{3}{7}=9\]

Odpowiedź

Miejscem zerowym jest 9, czyli odpowiedź C.

\[x_0=9\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu 9 do wzoru funkcji otrzymujemy zero.

\[f(9)=21-\frac{7}{3}\cdot 9=21-21=0\]

Zadanie 8

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}x+y=1\\x-y=b\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

\(b<-1\)

\(b=-1\)

\(-1<b<1\)

\(b\geq 1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie niewiadomych

Dodajemy równania, aby wyznaczyć x, a następnie odejmujemy drugie równanie od pierwszego, aby wyznaczyć y.

\[2x=1+b\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1+b}{2},\qquad 2y=1-b\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-b}{2}\]

2 Warunek dodatniości

Obie liczby mają być dodatnie, więc ich liczniki muszą być większe od zera.

\[x>0\iff 1+b>0\iff b>-1,\qquad y>0\iff 1-b>0\iff b<1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(-1<b<1\).

\[-1<b<1\]

Sprawdzenie

Dla \(-1<b<1\) obie wyznaczone liczby są dodatnie. Na krańcach przedziału jedna z nich jest równa zeru, więc krańce są wykluczone.

\[b=-1\Rightarrow x=0,\qquad b=1\Rightarrow y=0\]

Zadanie 9

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^{2}+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie pierwszego argumentu

Z warunku \(f(-1)=1\) wyznaczamy zależność między współczynnikami.

\[1-b+c=1\quad\Rightarrow\quad c=b\]

2 Podstawienie drugiego argumentu

Wstawiamy \(c=b\) do równania wynikającego z \(f(3)=1\), aby obliczyć \(b\).

\[9+3b+c=1\quad\Rightarrow\quad 9+4b=1\quad\Rightarrow\quad b=-2\]

Odpowiedź

Współczynnik \(b\) jest równy \(-2\). Odpowiedź A.

\[b=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(b=c=-2\) oba warunki są spełnione: \(f(-1)=1\) i \(f(3)=1\).

\[f(-1)=1+2-2=1,\qquad f(3)=9-6-2=1\]

Zadanie 10

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równanie \(x(x-3)(x^{2}+25)=0\) ma dokładnie

cztery rozwiązania: \(x=0\), \(x=3\), \(x=5\), \(x=-5\)

trzy rozwiązania: \(x=3\), \(x=5\), \(x=-5\)

dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=3\)

jedno rozwiązanie: \(x=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x-3=0\quad\text{lub}\quad x^{2}+25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Pierwsze dwa czynniki dają 0 i 3. Trzeci nie może być zerem, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x=3;\qquad x^{2}+25\geq 25>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: 0 i 3. Odpowiedź C.

\[x\in\{0,3\}\]

Sprawdzenie

Dla 0 zeruje się czynnik x, a dla 3 czynnik x−3. Dla każdej innej liczby rzeczywistej oba te czynniki są niezerowe, a x²+25 jest dodatnie, więc innych rozwiązań nie ma.

\[0(0-3)(0^{2}+25)=0,\qquad 3(3-3)(3^{2}+25)=0\]

Zadanie 11

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu

\(y=-5\)

\(y=5\)

\(y=-4\)

\(y=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Miejsca zerowe funkcji to 3 i 7, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi.

\[x_w=\frac{3+7}{2}=5\]

2 Obliczenie wysokości wierzchołka

Podstawiamy współrzędną osi symetrii do wzoru funkcji.

\[y_w=f(5)=(5-3)(7-5)=2\cdot2=4\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne (5, 4), więc należy do prostej y = 4. Odpowiedź D.

\[W=(5,4),\quad y=4\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu wzoru otrzymujemy postać wierzchołkową, która potwierdza obie współrzędne.

\[f(x)=(x-3)(7-x)=4-(x-5)^2\]