Zamknięte1 pkt
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}x+y=1\\x-y=b\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że
A
\(b<-1\)
B
\(b=-1\)
C
\(-1<b<1\)
D
\(b\geq 1\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie niewiadomych
Dodajemy równania, aby wyznaczyć x, a następnie odejmujemy drugie równanie od pierwszego, aby wyznaczyć y.
\[2x=1+b\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1+b}{2},\qquad 2y=1-b\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-b}{2}\]
2 Warunek dodatniości
Obie liczby mają być dodatnie, więc ich liczniki muszą być większe od zera.
\[x>0\iff 1+b>0\iff b>-1,\qquad y>0\iff 1-b>0\iff b<1\]
Odpowiedź
Odpowiedź C: \(-1<b<1\).
\[-1<b<1\]
Sprawdzenie
Dla \(-1<b<1\) obie wyznaczone liczby są dodatnie. Na krańcach przedziału jedna z nich jest równa zeru, więc krańce są wykluczone.
\[b=-1\Rightarrow x=0,\qquad b=1\Rightarrow y=0\]