Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 56 z 70

Sortuj:

Zadanie 16

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\). Wtedy

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{16}{15}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{15}{16}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{15}\)

\(\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{6}{20}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus. Ponieważ kąt jest ostry, sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45\]

2 Obliczenie iloczynu

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, więc podstawiamy obliczone wartości.

\[\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac45\cdot\frac{\frac45}{\frac35}=\frac45\cdot\frac43=\frac{16}{15}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha=\frac{16}{15}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a obie są dodatnie, jak dla kąta ostrego.

\[\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac9{25}=1\]

Zadanie 17

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek \(\alpha+\beta=114^\circ\). Wynika stąd, że

Okrąg o środku S z punktami K, L i M na okręgu oraz zaznaczonymi kątami α i β.

\(\beta=19^\circ\)

\(\beta=38^\circ\)

\(\beta=57^\circ\)

\(\beta=76^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku KL, więc kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.

\[\alpha=2\beta\]

2 Obliczenie kąta

Podstawiamy tę zależność do podanej sumy i rozwiązujemy równanie.

\[2\beta+\beta=114^\circ\quad\Rightarrow\quad 3\beta=114^\circ\quad\Rightarrow\quad\beta=38^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: β = 38°.

\[\boxed{\beta=38^\circ}\]

Sprawdzenie

Wtedy α = 76°, a suma kątów wynosi 114°, zgodnie z warunkiem.

\[\alpha=2\cdot38^\circ=76^\circ,\qquad 76^\circ+38^\circ=114^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę

\(120^\circ\)

\(125^\circ\)

\(130^\circ\)

\(135^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równań

Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do 180°, a ich różnica wynosi 80°. Oznaczamy kąt rozwarty przez x, a ostry przez y.

\[\begin{cases}x+y=180^\circ\\x-y=80^\circ\end{cases}\]

2 Obliczenie kąta rozwartego

Dodajemy równania, aby wyeliminować y.

\[2x=260^\circ,\qquad x=130^\circ\]

Odpowiedź

Kąt rozwarty ma miarę 130°. Odpowiedź C.

\[130^\circ\]

Sprawdzenie

Drugi kąt ma miarę 50°. Ich suma wynosi 180°, a różnica 80°.

\[130^\circ+50^\circ=180^\circ,\qquad 130^\circ-50^\circ=80^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze \(60^\circ\) jest równe

\(18\)

\(9\)

\(18\sqrt{3}\)

\(9\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Znamy długości dwóch boków i miarę kąta między nimi, więc stosujemy wzór na pole z sinusem tego kąta.

\[P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \sin 60^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 9√3. Pasuje odpowiedź D.

\[P=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 4 wynosi 9√3/2. Obliczone z niej pole jest takie samo.

\[h=9\sin 60^\circ=\frac{9\sqrt{3}}{2},\qquad P=\frac{4h}{2}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 20

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(3m-4)x+2\) oraz \(y=(12-m)x+3m\) są równoległe, gdy

\(m=4\)

\(m=3\)

\(m=-4\)

\(m=-3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają równe współczynniki przy \(x\).

\[3m-4=12-m\]

2 Obliczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę równania i dzielimy przez 4.

\[4m=16\quad\Rightarrow\quad m=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=4\).

\[m=4\]

Sprawdzenie

Dla \(m=4\) obie proste mają współczynnik kierunkowy 8, a ich wyrazy wolne to 2 i 12. Są więc różne i równoległe.

\[y=8x+2,\qquad y=8x+12\]

Zadanie 21

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(-3,2)\) jest końcem odcinka \(AB\), a punkt \(M=(4,1)\) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka \(AB\) jest równa

\(2\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AM

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AM|=\sqrt{(4-(-3))^2+(1-2)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Obliczenie długości AB

Ponieważ M jest środkiem odcinka AB, jego długość jest dwa razy większa od długości AM.

\[|AB|=2|AM|=2\cdot5\sqrt{2}=10\sqrt{2}\]

Odpowiedź

D. Długość odcinka AB wynosi \(10\sqrt{2}\).

\[|AB|=10\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na środek odcinka otrzymujemy \(B=(11,0)\). Odległość od A do B wynosi \(10\sqrt{2}\), zgodnie z wynikiem.

\[B=(2\cdot4-(-3),\,2\cdot1-2)=(11,0),\quad |AB|=\sqrt{(11+3)^2+(0-2)^2}=10\sqrt{2}\]

Zadanie 22

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to

Sześcian z zaznaczonym kątem alfa między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej.

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości

Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(a>0\). Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ściany ma długość \(a\sqrt2\), a przekątna sześcianu \(a\sqrt3\).

\[d_{\text{ściany}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad d_{\text{sześcianu}}=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt3\]

2 Obliczenie sinusa kąta

Zaznaczone przekątne i dolna przednia krawędź tworzą trójkąt prostokątny: ta krawędź jest prostopadła do ściany zawierającej jej przekątną. Krawędź długości \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.

\[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\]

Sprawdzenie

Długości boków utworzonego trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, a obliczony sinus należy do przedziału \((0,1)\).

\[(a\sqrt2)^2+a^2=3a^2=(a\sqrt3)^2,\qquad 0<\frac{\sqrt3}{3}<1\]

Zadanie 23

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

\(50\pi\)

\(100\pi\)

\(200\pi\)

\(250\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Bok kwadratu

Przekątna kwadratu jest równa długości boku pomnożonej przez pierwiastek z 2, więc bok przekroju ma długość 10.

\[a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=10\]

2 Wymiary walca

Boki przekroju osiowego walca są jego wysokością i średnicą podstawy. Ponieważ przekrój jest kwadratem, wysokość wynosi 10, a promień 5.

\[h=10,\qquad 2r=10\quad\Rightarrow\quad r=5\]

3 Pole powierzchni bocznej

Mnożymy obwód podstawy przez wysokość walca.

\[P_b=2\pi rh=2\pi\cdot5\cdot10=100\pi\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P_b=100\pi\]

Sprawdzenie

Przekrój o bokach 10 i 10 ma podaną przekątną, a obwód podstawy pomnożony przez wysokość daje obliczone pole.

\[\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2},\qquad (2\pi\cdot5)\cdot10=100\pi\]

Zadanie 24

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	6	5	4	3	2
Liczba ocen	2	3	5	5	1

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(4{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba ocen

Mediana zależy od liczby danych i ich kolejności, więc najpierw sumujemy liczby ocen.

\[2+3+5+5+1=16\]

2 Środkowe oceny

Przy 16 ocenach mediana jest średnią 8. i 9. oceny w szeregu rosnącym. Ocena 2 zajmuje miejsce 1., oceny 3 miejsca od 2. do 6., a oceny 4 miejsca od 7. do 11.

\[\frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[4\]

Sprawdzenie

Ósma i dziewiąta ocena należą do pięciu ocen równych 4, więc ich średnia rzeczywiście wynosi 4.

\[7\leq 8<9\leq 11\]

Zadanie 25

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie liczącej 29 uczniów (dziewcząt i chłopców) jest 15 chłopców. Z tej grupy trzeba wylosować jedną osobę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zostanie wylosowana dziewczyna, jest równe

\(\frac{14}{15}\)

\(\frac{1}{14}\)

\(\frac{14}{29}\)

\(\frac{15}{29}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba dziewcząt

Od liczby wszystkich uczniów odejmujemy liczbę chłopców.

\[29-15=14\]

2 Prawdopodobieństwo

Każdy uczeń ma jednakową szansę na wylosowanie, więc dzielimy liczbę dziewcząt przez liczbę wszystkich uczniów.

\[P(\text{dziewczyna})=\frac{14}{29}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{14}{29}\). Odpowiedź C.

\[\frac{14}{29}\]

Sprawdzenie

W grupie jest 14 dziewcząt i 15 chłopców, razem 29 osób. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{14}{29}+\frac{15}{29}=1\]

Zadanie 26

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-16<0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Rozkładamy trójmian na czynniki, aby znaleźć punkty, w których może zmienić znak.

\[x^2+6x-16=(x+8)(x-2),\qquad x=-8\ \text{lub}\ x=2\]

2 Ustalenie znaku

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny, gdy mają przeciwne znaki. Zachodzi to między miejscami zerowymi.

\[(x+8)(x-2)<0\iff -8<x<2\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-8,2)\).

\[x\in(-8,2)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z podanego przedziału otrzymujemy \(-16<0\). Na lewo od przedziału, dla \(x=-9\), oraz na prawo, dla \(x=3\), wartość trójmianu wynosi \(11>0\). Na końcach przedziału wynosi 0, więc końce są wykluczone.

\[f(0)=-16<0,\qquad f(-9)=f(3)=11>0,\qquad f(-8)=f(2)=0\]

Zadanie 27

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((x^3+27)(x^2-16)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[(x^3+27)(x^2-16)=0\iff x^3+27=0\ \text{lub}\ x^2-16=0\]

2 Rozwiązanie równań

Funkcja sześcienna przyjmuje każdą wartość rzeczywistą tylko raz, a równanie kwadratowe daje dwa pierwiastki.

\[x^3=-27\iff x=-3,\qquad x^2=16\iff x=-4\ \text{lub}\ x=4\]

Odpowiedź

Rozwiązania to −4, −3 i 4.

\[x\in\{-4,-3,4\}\]

Sprawdzenie

Dla x = −3 pierwszy czynnik jest zerem. Dla x = −4 i x = 4 drugi czynnik jest zerem, więc wszystkie trzy liczby spełniają równanie.

\[(-3)^3+27=0,\qquad (-4)^2-16=0,\qquad 4^2-16=0\]

Zadanie 28

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\). Z wierzchołka \(D\) poprowadzono prostą przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

Równoległobok ABCD; punkt E na boku BC, prosta DE przedłużona do punktu F na przedłużeniu boku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie trójkątów

Ponieważ \(DC\parallel AB\), a \(B,F\) leżą na prostej \(AB\), odpowiednie kąty trójkątów \(DCE\) i \(FBE\) są równe. Kąty przy \(E\) są wierzchołkowe, więc trójkąty są podobne.

\[\angle DCE=\angle FBE,\quad \angle DEC=\angle FEB\quad\Longrightarrow\quad \triangle DCE\sim\triangle FBE\]

2 Równość odcinków

Punkt \(E\) jest środkiem \(BC\), zatem \(CE=BE\). Z podobieństwa wynika, że odpowiadające im boki \(DC\) i \(BF\) też są równe.

\[\frac{DC}{BF}=\frac{CE}{BE}=1\quad\Longrightarrow\quad DC=BF\]

3 Wniosek

Przeciwległe boki równoległoboku są równe, więc \(AB=DC=BF\). Z rysunku wynika, że \(B\) leży między \(A\) i \(F\); jest zatem środkiem \(AF\).

\[AB=DC=BF\]

Odpowiedź

Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).

\[AB=BF\]

Sprawdzenie

Podobieństwo daje \(BF=DC\), a własność równoległoboku daje \(DC=AB\). Odcinki \(AB\) i \(BF\) są więc równe i tworzą cały odcinek \(AF\).

\[AF=AB+BF=2AB=2BF\]

Zadanie 29

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie lewej strony

Rozwijamy iloczyn i sprowadzamy różnicę względem 4 do wspólnego mianownika, aby ocenić jej znak.

\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-4=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\]

2 Ocena znaku

Ponieważ a i b są dodatnie, mianownik jest dodatni, a kwadrat w liczniku jest nieujemny. Otrzymujemy żądaną nierówność.

\[ab>0,\quad (a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b. Równość występuje dokładnie wtedy, gdy a=b.

\[(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4\iff\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\]

Sprawdzenie

Dla a=b=t>0 lewa strona wynosi 4. Gdy a≠b, kwadrat różnicy jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[(t+t)\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t}\right)=4\]

Zadanie 30

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równania

Korzystamy ze wzoru na dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego oraz ze wzoru na sumę ośmiu początkowych wyrazów.

\[a_1+8d=34,\qquad S_8=\frac{8}{2}(2a_1+7d)=110\]

2 Oblicz różnicę

Upraszczamy równanie sumy i odejmujemy je od podwojonego pierwszego równania, aby wyeliminować pierwszy wyraz.

\[2a_1+7d=\frac{55}{2},\qquad (2a_1+16d)-(2a_1+7d)=68-\frac{55}{2},\qquad 9d=\frac{81}{2},\qquad d=\frac{9}{2}\]

3 Oblicz pierwszy wyraz

Podstawiamy wyznaczoną różnicę do równania na dziewiąty wyraz.

\[a_1=34-8\cdot\frac{9}{2}=-2\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz wynosi −2, a różnica ciągu wynosi 9/2.

\[a_1=-2,\qquad d=\frac{9}{2}\]

Sprawdzenie

Dziewiąty wyraz wynosi 34, a suma ośmiu początkowych wyrazów wynosi 110, zgodnie z treścią zadania.

\[a_9=-2+8\cdot\frac{9}{2}=34,\qquad S_8=4\left(2\cdot(-2)+7\cdot\frac{9}{2}\right)=110\]