Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 56 z 98

Sortuj:

Zadanie 13.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<-1\).

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Szukamy punktów wykresu leżących poniżej prostej y=-1. Są to punkty lewej części wykresu dla x od -5 do -3.

\[-5<x<-3\]

2 Uwzględnienie końców przedziału

Dla x=-5 punkt jest niezamalowany, a dla x=-3 funkcja przyjmuje wartość -1, która nie spełnia nierówności ostrej.

\[x\in(-5,-3)\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział (-5,-3).

\[(-5,-3)\]

Sprawdzenie

Na przedziale (-5,-4] wykres ma wysokość -3, a od -4 do -3 rośnie do -1, więc pozostaje poniżej -1. Dla pozostałych argumentów wykres nie leży poniżej tej wysokości.

\[-3<-1,\qquad f(-3)=-1\]

Zadanie 14

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a<0\) i \(b>0\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

Rysunek A: parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Rysunek B: parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Rysunek C: parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Rysunek D: parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kierunek ramion

Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół.

\[a<0\]

2 Położenie wierzchołka

Współrzędna x wierzchołka jest dodatnia, ponieważ b jest dodatnie, a 2a ujemne. Wierzchołek leży więc po prawej stronie osi y.

\[x_w=-\frac{b}{2a}>0\]

3 Wybór rysunku

Parabolę o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku po prawej stronie osi y przedstawiono na rysunku D.

Odpowiedź

Rysunek D.

\[\mathrm{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D wykres przecina oś y w punkcie o wysokości 1, zgodnie z wyrazem wolnym funkcji.

\[f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+1=1\]

Zadanie 15.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

Masa \(m\) leku \(\mathcal{L}\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
\(m_0\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek \(\mathcal{L}\) w dawce \(200\) mg.

Oblicz, ile mg leku \(\mathcal{L}\) pozostanie w organizmie chorego po \(12\) godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie danych

Podstawiamy dawkę 200 mg oraz czas 12 godzin do podanego wzoru.

\[m(12)=200\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot12}=200\cdot(0{,}6)^3\]

2 Obliczenie masy

Obliczamy trzecią potęgę liczby 0,6 i mnożymy przez dawkę początkową.

\[m(12)=200\cdot0{,}216=43{,}2\ \mathrm{mg}\]

Odpowiedź

Po 12 godzinach w organizmie pozostanie 43,2 mg leku.

\[m(12)=43{,}2\ \mathrm{mg}\]

Sprawdzenie

Otrzymana masa stanowi 0,216 dawki początkowej, czyli dokładnie tyle, ile wynosi czynnik we wzorze dla 12 godzin; jest też mniejsza od 200 mg.

\[\frac{43{,}2}{200}=0{,}216=(0{,}6)^3<1\]

Zadanie 15.2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Ciągi

Masa \(m\) leku \(\mathcal{L}\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

\[m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25t}\]

gdzie:
\(m_0\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku,
\(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.

Liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Różnica czasu

Kolejne wartości masy odpowiadają chwilom oddalonym o 2 godziny, więc w ilorazie potęg wykładniki różnią się o \(0{,}25\cdot2\).

\[4{,}5-2{,}5=6{,}5-4{,}5=2\]

2 Iloraz ciągu

Dzielimy drugą masę przez pierwszą. Korzystamy z reguły dzielenia potęg o tej samej podstawie; masa dawki \(m_0>0\) się skraca.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{\sqrt{15}}5\).

\[q=\frac{\sqrt{15}}5\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciej masy i drugiej ma tę samą wartość, ponieważ także te chwile dzielą 2 godziny. Iloraz jest bez jednostki.

\[\frac{m(6{,}5)}{m(4{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25(6{,}5-4{,}5)}=\frac{\sqrt{15}}5\]

Zadanie 16

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

\(28\)

\(31\)

\(32\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksów

Szukamy wyrazów mniejszych od 10, więc rozwiązujemy nierówność dla indeksu n. Mnożymy przez dodatnią liczbę 3, dlatego znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]

2 Policzenie wyrazów

Indeks n jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 1, więc możliwe są wszystkie indeksy od 1 do 31.

\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\quad\Rightarrow\quad 31\text{ wyrazów}\]

Odpowiedź

Liczba takich wyrazów wynosi 31. Odpowiedź B.

\[31\quad\text{— B}\]

Sprawdzenie

Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. Zatem ostatnim spełniającym warunek jest wyraz o indeksie 31.

\[a_{31}=\frac{31-2}{3}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{32-2}{3}=10\]

Zadanie 17

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((1,4,a+5)\) jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(a\) jest równa

\(0\)

\(7\)

\(2\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie różnic

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe, więc porównujemy różnice między podanymi wyrazami.

\[4-1=(a+5)-4\]

2 Obliczenie a

Upraszczamy równanie i odejmujemy 1 od obu stron.

\[3=a+1\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 2. Odpowiedź C.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a równego 2 trzeci wyraz wynosi 7. Obie różnice są równe 3, więc ciąg jest arytmetyczny.

\[(1,4,7),\qquad 4-1=7-4=3\]

Zadanie 18

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(11{,}25\)

\((-18{,}75)\)

\(15\)

\((-15)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, więc dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2\]

2 Obliczenie sumy

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz, aby otrzymać trzeci wyraz, a następnie dodajemy trzy wyrazy.

\[a_3=a_2q=(-7{,}5)\cdot(-2)=15,\qquad a_1+a_2+a_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25\]

Odpowiedź

Suma wynosi 11,25. Odpowiedź A.

\[S_3=11{,}25\]

Sprawdzenie

Trzeci wyraz spełnia warunek ciągu geometrycznego: jego iloraz przez drugi wyraz wynosi −2. Otrzymana suma odpowiada odpowiedzi A.

\[\frac{15}{-7{,}5}=-2=\frac{-7{,}5}{3{,}75}\]

Zadanie 19

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha\) jest równe

\(\cos^3\alpha\)

\(\sin^2\alpha\)

\(1-\sin^2\alpha\)

\(\cos\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

W obu składnikach występuje \(\cos\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\).

\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^3\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) do otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z treści zadania. Tożsamość obowiązuje dla każdego kąta ostrego \(\alpha\).

\[\cos^3\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha\]

Zadanie 20

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: .................... oraz .................... .

Trójkąt z kątami 45° przy lewym dolnym wierzchołku, 30° przy prawym dolnym wierzchołku i 105° przy górnym wierzchołku; boki oznaczone a, b oraz c.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c\)

\(\frac{1}{4}\cdot a\cdot c\)

\(\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c\)

\(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c\)

\(\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\)

\(\frac{1}{4}\cdot b\cdot c\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole z boków a i c

Boki a i c tworzą kąt 45°. Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=\frac12 ac\sin45^\circ=\frac12 ac\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

2 Pole z boków b i c

Boki b i c tworzą kąt 30°. Ten sam wzór daje drugie wyrażenie na pole.

\[P=\frac12 bc\sin30^\circ=\frac12 bc\cdot\frac12=\frac14bc\]

Odpowiedź

Poprawne odpowiedzi: C oraz F.

\[P=\frac{\sqrt2}{4}ac=\frac14bc\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia sinusów wynika b=√2a, więc oba wskazane wyrażenia są równe.

\[\frac{b}{a}=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2,\qquad \frac14bc=\frac{\sqrt2}{4}ac\]

Zadanie 21

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie A. Prosta l przechodzi przez punkty D, C i B. Odcinki CD i BC oznaczono odpowiednio liczbami 3 i 4.

\(\frac{7}{2}\)

\(5\)

\(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{3}+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość stycznej

Z twierdzenia o stycznej i siecznej obliczamy długość odcinka DA. Punkty D, C, B leżą na jednej prostej, więc DB=DC+CB=7.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot(3+4)=21\]

2 Średnica okręgu

Styczna w punkcie A jest prostopadła do średnicy AB. W trójkącie prostokątnym DAB stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AB^2=DB^2-DA^2=7^2-21=28\]

3 Odległość punktu od prostej

Szukana odległość h jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną z A na prostą DB, czyli na prostą l. Porównujemy dwa wzory na pole tego trójkąta.

\[\frac{DA\cdot AB}{2}=\frac{DB\cdot h}{2},\qquad h=\frac{\sqrt{21}\cdot\sqrt{28}}{7}=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi √12. Odpowiedź C.

\[h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obliczonych długości do wzoru na wysokość otrzymujemy h²=12, zgodnie z wynikiem.

\[h^2=\frac{DA^2\cdot AB^2}{DB^2}=\frac{21\cdot28}{49}=12\]

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\).	P	F
Pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).	P	F

Trapez ABCD o podstawach AB i CD; przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, odpowiednie kąty przy przekątnych są równe. Z cechy kąt–kąt wynika podobieństwo, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[AB\parallel CD\ \Longrightarrow\ \angle BAE=\angle DCE,\quad \angle ABE=\angle CDE\ \Longrightarrow\ \triangle ABE\sim\triangle CDE.\]

2 Porównanie pól

Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę CD. Wierzchołki A i B leżą na prostej równoległej do CD, więc wysokości obu trójkątów są równe. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[P_{ACD}=\frac12\,CD\cdot h=P_{BCD}.\]

Odpowiedź

Kolejno: P, P.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{P}}\]

Sprawdzenie

Równość kątów wynika z równoległości podstaw, a równość pól z tej samej długości podstawy CD i tej samej odległości prostej AB od CD.

\[\angle AEB=\angle CED,\qquad h_A=h_B\ \Longrightarrow\ P_{ACD}=P_{BCD}.\]

Zadanie 23

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\) takie, że \(|\angle ADB|=20^\circ\) i \(|\angle DBC|=40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(DKC\) jest równa

Okrąg z punktami A, B, C i D na obwodzie. Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K; zaznaczono kąty ADB o mierze 20° i DBC o mierze 40°.

\(80^\circ\)

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miar łuków

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[|\overset{\frown}{AB}|=2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad |\overset{\frown}{CD}|=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

2 Obliczenie kąta DKC

Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu ma miarę równą połowie sumy miar łuków wyznaczonych przez ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[|\angle DKC|=\frac{|\overset{\frown}{CD}|+|\overset{\frown}{AB}|}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta DKC wynosi 60°, więc poprawna jest odpowiedź B.

\[|\angle DKC|=60^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe dwa łuki mają razem 240°. Sąsiedni kąt CKB ma zatem 120°, a suma kątów sąsiednich wynosi 180°, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[|\angle CKB|=\frac{360^\circ-40^\circ-80^\circ}{2}=120^\circ,\qquad 60^\circ+120^\circ=180^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole trójkąta równobocznego \(T_1\) jest równe \(\frac{(1{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Pole trójkąta równobocznego \(T_2\) jest równe \(\frac{(4{,}5)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali

ponieważ

\(3\),

\(9\),

każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.

pole trójkąta \(T_2\) jest \(9\) razy większe od pola trójkąta \(T_1\).

bok trójkąta \(T_2\) jest o \(3\) dłuższy od boku trójkąta \(T_1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie stosunku pól

Dzielimy pola, aby ustalić, ile razy pole trójkąta T₂ jest większe od pola trójkąta T₁.

\[\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{(4{,}5)^2\sqrt{3}/4}{(1{,}5)^2\sqrt{3}/4}=\left(\frac{4{,}5}{1{,}5}\right)^2=9\]

2 Wyznaczenie skali

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali. Zatem skala wynosi 3, a uzasadnia ją odpowiedź 2.

\[k^2=9,\qquad k=\sqrt{9}=3\]

Odpowiedź

A, uzasadnienie 2. Trójkąt T₂ jest podobny do T₁ w skali 3, ponieważ jego pole jest 9 razy większe.

\[\boxed{\mathrm{A2}}\]

Sprawdzenie

Z podanych wzorów na pola boki mają długości 1,5 i 4,5. Ich iloraz wynosi 3, więc potwierdza wyznaczoną skalę.

\[\frac{4{,}5}{1{,}5}=3\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku \(AB\) jest równa

Równoległobok ABCD z bokiem AD oznaczonym jako 10 i kątem ABC oznaczonym jako 135°.

\(8\sqrt{3}\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

W równoległoboku pole jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Bok BC ma taką samą długość jak AD, więc BC = 10.

\[P=AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=AB\cdot10\cdot\sin135^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Ponieważ sinus kąta 135° wynosi √2/2, podstawiamy dane do wzoru i dzielimy przez 5√2.

\[40\sqrt6=AB\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2\cdot AB,\qquad AB=\frac{40\sqrt6}{5\sqrt2}=8\sqrt3\]

Odpowiedź

Długość boku AB wynosi 8√3. Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt3\quad\text{(A)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej długości wzór daje pole 40√6, zgodne z treścią zadania.

\[8\sqrt3\cdot10\cdot\sin135^\circ=8\sqrt3\cdot10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=40\sqrt6\]

Zadanie 26

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji \(g\) jest

\(g(x)=x+1\)

\(g(x)=-x-1\)

\(g(x)=-x+1\)

\(g(x)=x-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy funkcji liniowych są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\). Funkcja \(f\) ma współczynnik \(-1\).

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Punkt \(P=(0,-1)\) leży na wykresie \(g\), więc \(g(0)=-1\).

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1\quad\Rightarrow\quad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

D. Wzorem funkcji jest \(g(x)=x-1\).

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(g(0)=-1\), więc wykres przechodzi przez \(P\). Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), zatem wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]