Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 54 z 70

Sortuj:

Zadanie 20

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

\(9\)

\(6\)

\(3\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość. Ponieważ wysokość jest równa promieniowi, podstawiamy h=r.

\[V=\pi r^2h=\pi r^3=27\pi\]

2 Oblicz promień

Dzielimy obie strony przez π i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Promień jest dodatni.

\[r^3=27\quad\Longrightarrow\quad r=3\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi 3. Odpowiedź C.

\[r=3\]

Sprawdzenie

Dla promienia 3 wysokość także wynosi 3, a obliczona objętość jest zgodna z treścią zadania.

\[V=\pi\cdot 3^2\cdot 3=27\pi\]

Zadanie 21

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

\(\frac{4}{3}\)

\(12\)

\(\sqrt{17}\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości stożka

Przyrównujemy objętości stożka i kuli o tym samym promieniu. Ponieważ promień jest dodatni, możemy skrócić przez \(\pi r^2\).

\[\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{4}{3}\pi r^3\quad\Rightarrow\quad h=4r\]

2 Obliczenie tangensa

Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy jest kątem między tworzącą a jej rzutem na podstawę. W przekroju osiowym jego tangens to stosunek wysokości do promienia.

\[\tan\alpha=\frac{h}{r}=\frac{4r}{r}=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: tangens kąta wynosi 4.

\[\tan\alpha=4\]

Sprawdzenie

Dla wysokości \(h=4r\) objętość stożka wynosi \(\frac{4}{3}\pi r^3\), czyli tyle samo co objętość kuli. Warunek \(r>0\) pozwala obliczyć iloraz \(h/r\).

\[V_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot4r=\frac{4}{3}\pi r^3=V_{\text{kuli}}\]

Zadanie 22

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	0	1	2	3	4	5
Liczba osób	23	14	28	17	11	7

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

\(0{,}5\)

\(1\)

\(2\)

\(2{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby książek

Mnożymy każdą liczbę książek przez liczbę osób, które ją przeczytały, a następnie dodajemy wyniki.

\[0\cdot23+1\cdot14+2\cdot28+3\cdot17+4\cdot11+5\cdot7=200\]

2 Obliczenie średniej

Dzielimy łączną liczbę książek przez liczbę ankietowanych osób.

\[\frac{200}{100}=2\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 2 książki na osobę. Odpowiedź C.

\[\boxed{2}\]

Sprawdzenie

Liczebności w tabeli sumują się do 100 osób, więc w obliczeniu średniej użyto właściwego mianownika.

\[23+14+28+17+11+7=100\]

Zadanie 23

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

\(9\)

\(7\)

\(6\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby krawędzi i wierzchołków

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n wierzchołków w każdej podstawie oraz po n krawędzi w obu podstawach i między nimi.

\[W=2n,\qquad K=3n\]

2 Wyznaczenie liczby krawędzi

Podstawiamy te liczby do warunku z treści i rozwiązujemy równanie.

\[3n+2n=15\quad\Rightarrow\quad 5n=15\quad\Rightarrow\quad n=3,\qquad K=3\cdot3=9\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 9 krawędzi. Odpowiedź A.

\[K=9\]

Sprawdzenie

Dla trójkątnej podstawy graniastosłup ma 6 wierzchołków i 9 krawędzi, a ich suma wynosi 15.

\[6+9=15\]

Zadanie 24

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa

\(8\cdot8\cdot8\cdot3\)

\(8\cdot7\cdot6\cdot3\)

\(8\cdot10\cdot10\cdot4\)

\(9\cdot8\cdot7\cdot4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Po wykluczeniu 0 i 2 na każdej z pierwszych trzech pozycji można umieścić jedną z 8 cyfr. Cyfry mogą się powtarzać.

\[\{1,3,4,5,6,7,8,9\},\qquad 8\cdot8\cdot8\]

2 Warunek parzystości

Liczba jest parzysta, gdy jej ostatnią cyfrą jest 4, 6 lub 8. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich możliwości.

\[8\cdot8\cdot8\cdot3=1536\]

Odpowiedź

1536 liczb, odpowiedź A.

\[8\cdot8\cdot8\cdot3=1536\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności istnieje 8³ = 512 zapisów pierwszych trzech cyfr; 3 · 512 = 1536. Każdy taki zapis jest czterocyfrowy, bo 0 jest wykluczone.

\[3\cdot8^3=3\cdot512=1536\]

Zadanie 25

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

\(\frac{1}{16}\)

\(\frac{3}{8}\)

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prawdopodobieństwo jednego układu

Po każdym losowaniu kulę zwracamy, więc losowania są niezależne. W każdym z nich prawdopodobieństwo wylosowania białej lub czarnej kuli wynosi \(\frac12\).

\[P(\text{trzy białe, potem czarna})=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}\]

2 Liczba możliwych układów

Jedyna czarna kula może wypaść w dowolnym z czterech losowań. Dodajemy prawdopodobieństwa tych rozłącznych układów.

\[P(\text{dokładnie trzy białe})=\binom43\cdot\frac1{16}=4\cdot\frac1{16}=\frac14\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac14\]

Sprawdzenie

Są dokładnie cztery pasujące kolejności: BBB C, BB C B, B C BB i C BBB (B oznacza białą, C czarną). Każda ma prawdopodobieństwo \(\frac1{16}\), więc łącznie otrzymujemy \(\frac14\).

\[4\cdot\frac1{16}=\frac14\]

Zadanie 26

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x<0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawiasy i mnożymy nierówność przez −1, zmieniając jej zwrot.

\[2x(1-x)+1-x<0\iff -2x^2+x+1<0\iff 2x^2-x-1>0\]

2 Rozkład na czynniki

Rozkład pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia.

\[2x^2-x-1=(2x+1)(x-1),\qquad x=-\frac12\ \text{lub}\ x=1\]

3 Wyznaczenie rozwiązania

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Miejsc zerowych nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.

\[(2x+1)(x-1)>0\iff x<-\frac12\ \text{lub}\ x>1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup(1,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla liczb z obu wskazanych przedziałów wyrażenie po lewej stronie jest ujemne: dla −1 wynosi −2, a dla 2 wynosi −5. Dla 0, leżącego między miejscami zerowymi, wynosi 1. Na obu końcach przedziałów wynosi 0, więc końce są wykluczone.

\[f(-1)=-2<0,\quad f(0)=1>0,\quad f(2)=-5<0,\quad f\!\left(-\frac12\right)=f(1)=0\]

Zadanie 27

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika c

Punkt A leży na paraboli, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji.

\[f(0)=0^2+b\cdot 0+c=-5\quad\Rightarrow\quad c=-5\]

2 Wyznaczenie współczynnika b

Dla funkcji kwadratowej o współczynniku przy kwadracie równym 1 oś symetrii ma równanie x=-b/2. Korzystamy z podanej osi x=7.

\[-\frac{b}{2}=7\quad\Rightarrow\quad b=-14\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą b = −14 oraz c = −5.

\[b=-14,\quad c=-5\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji wartość w punkcie x = 0 wynosi −5, a oś symetrii ma równanie x = 7, zgodnie z treścią zadania.

\[f(0)=0^2-14\cdot 0-5=-5,\qquad x=-\frac{-14}{2}=7\]

Zadanie 28

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Oznaczamy kolejne liczby przez n, n+1, n+2, n+3 i rozwijamy ich kwadraty.

\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=4n(n+3)+14\]

2 Ustalenie podzielności

Liczby n i n+3 mają różną parzystość, więc ich iloczyn jest parzysty. Zatem 4n(n+3) jest podzielne przez 8.

\[n(n+3)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{Z}\]

3 Wyznaczenie reszty

Podstawiamy 2k za iloczyn i zapisujemy sumę jako wielokrotność 8 powiększoną o 6.

\[4n(n+3)+14=8k+14=8(k+1)+6\]

Odpowiedź

Reszta z dzielenia sumy przez 8 wynosi 6.

\[r=6\]

Sprawdzenie

Liczba k+1 jest całkowita, a 6 należy do przedziału od 0 do 7, więc otrzymany zapis jest poprawnym dzieleniem z resztą przez 8.

\[0\leq 6<8\]

Zadanie 29

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Prostokąt ABCD z punktami E na boku CD i F na boku AB oraz punktem P na przedłużeniu BC; odcinki AE i EP.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie odcinków

Z warunków zadania wyrażamy EC i BF przez długość DE.

\[EC=2DE,\qquad BF=DE,\qquad \frac{EC}{BF}=2\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ECP i FBP mają kąty proste przy C i B oraz jednakowe kąty przy P, więc są podobne.

\[\frac{CP}{BP}=\frac{EC}{BF}=2\]

3 Wyznaczenie BP

P leży na przedłużeniu BC, zatem CP=CB+BP. W prostokącie BC=AD.

\[CB+BP=2BP\quad\Longrightarrow\quad BP=CB=AD\]

4 Dowód przystawania

Trójkąty AED i PFB mają równe odpowiednie boki przy kątach prostych. Z cechy bok–kąt–bok są przystające; odpowiadają sobie wierzchołki A i P, E i F oraz D i B.

\[AD=PB,\qquad DE=BF,\qquad \angle ADE=\angle PBF=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Odpowiedź

Trójkąty AED i FPB są przystające. Przy zapisie uwzględniającym kolejność odpowiadających sobie wierzchołków: AED ≅ PFB.

\[\triangle AED\cong\triangle PFB\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wynika też równość odpowiadających sobie przeciwprostokątnych AE i PF, zgodna z ustalonym przyporządkowaniem.

\[AE^2=AD^2+DE^2=PB^2+BF^2=PF^2\quad\Longrightarrow\quad AE=PF\]

Zadanie 30

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie iloczynu

Podnosimy daną równość do kwadratu i korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2\;\Longrightarrow\;1+2\sin\alpha\cos\alpha=2\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\]

2 Obliczenie wyrażenia

Kąt jest ostry, więc sinus i cosinus są niezerowe. Zapisujemy tangens i jego odwrotność jako ilorazy.

\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{\frac12}=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla ostrego kąta 45° suma sinusa i cosinusa wynosi √2, a tangens jest równy 1. Otrzymujemy 1+1=2.

\[\sin45^\circ+\cos45^\circ=\sqrt2,\qquad \operatorname{tg}45^\circ+\frac1{\operatorname{tg}45^\circ}=1+1=2\]

Zadanie 31

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy z czterech rzutów ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, więc wszystkie ciągi wyników są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=2^4=16\]

2 Wyniki sprzyjające

Orłów jest więcej niż reszek, gdy w czterech rzutach wypadną dokładnie trzy albo cztery orły. Wybieramy miejsca, na których wypadną orły.

\[\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P=\frac{5}{16}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/16.

\[\frac{5}{16}\]

Sprawdzenie

Dokładnie dwa orły można uzyskać na 6 sposobów. Z symetrii przypadków więcej orłów i więcej reszek jest po 5; łącznie daje to wszystkie 16 wyników.

\[5+\binom{4}{2}+5=5+6+5=16\]

Zadanie 32

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przekątnej podstawy

Wierzchołek ostrosłupa rzutuje się na środek O kwadratu. Rzutem krawędzi bocznej SA na podstawę jest OA, więc w trójkącie prostokątnym SOA korzystamy z definicji cosinusa i twierdzenia Pitagorasa.

\[\frac{OA}{SA}=\frac35,\qquad OA^2+16^2=SA^2\quad\Longrightarrow\quad SA=20,\ OA=12\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

Odcinek OA jest połową przekątnej kwadratu, zatem wyznaczamy bok a. Jeśli M jest środkiem boku podstawy, to SM jest wysokością ściany bocznej; obliczamy ją z trójkąta prostokątnego SOM.

\[a\sqrt2=2OA=24\quad\Longrightarrow\quad a=12\sqrt2,\qquad SM=\sqrt{16^2+\left(\frac a2\right)^2}=2\sqrt{82}\]

3 Obliczenie pola bocznego

Cztery jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie a i wysokości SM.

\[P_b=4\cdot\frac{a\cdot SM}{2}=2\cdot12\sqrt2\cdot2\sqrt{82}=96\sqrt{41}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej wynosi \(96\sqrt{41}\).

\[P_b=96\sqrt{41}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta, bo \(OA/SA=12/20=3/5\). Ponadto \(SM^2=16^2+(6\sqrt2)^2=328\), więc użyta wysokość ściany jest poprawna.

\[\frac{OA}{SA}=\frac{12}{20}=\frac35,\qquad SM^2=256+72=328\]

Zadanie 33

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek dotyczący wyrazów

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy \(d\). Zapisujemy więc zależność między wyrazem szóstym i piątym.

\[a_1+5d=2(a_1+4d)\quad\Longrightarrow\quad a_1=-3d\]

2 Suma dziesięciu wyrazów

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i podstawiamy \(a_1=-3d\).

\[S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)=5(-6d+9d)=15d=\frac{15}{4}\]

3 Obliczenie niewiadomych

Dzielimy równanie przez 15, a następnie obliczamy pierwszy wyraz.

\[d=\frac14,\qquad a_1=-3\cdot\frac14=-\frac34\]

Odpowiedź

Wyraz pierwszy wynosi \(-\frac34\), a różnica ciągu wynosi \(\frac14\).

\[a_1=-\frac34,\qquad d=\frac14\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wartości wyraz piąty to \(\frac14\), a szósty to \(\frac12\), więc warunek podwojenia jest spełniony. Suma dziesięciu wyrazów również ma wymaganą wartość.

\[a_5=-\frac34+4\cdot\frac14=\frac14,\quad a_6=-\frac34+5\cdot\frac14=\frac12=2a_5,\quad S_{10}=5\left(2\cdot\left(-\frac34\right)+9\cdot\frac14\right)=\frac{15}{4}\]

Zadanie 34

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych punktu B

Ponieważ B leży na prostej zawierającej podstawę AB, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.

\[B=\left(x,\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right)\]

2 Wykorzystanie równości ramion

Warunek |AC|=|BC| pozwala wyznaczyć x ze wzoru na odległość punktów. Odrzucamy rozwiązanie odpowiadające punktowi A, ponieważ wierzchołki trójkąta są różne.

\[|AC|^2=2^2+8^2=68,\quad (x-1)^2+\left(\frac{x}{2}-\frac{15}{2}\right)^2=68\quad\Longrightarrow\quad 5x^2-38x-43=(x+1)(5x-43)=0.\quad x=-1\ (B=A)\ \text{lub}\ x=\frac{43}{5}.\]

3 Obliczenie drugiej współrzędnej

Podstawiamy dopuszczalną wartość x do równania prostej.

\[y=\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5}.\]

Odpowiedź

Wierzchołek B ma współrzędne (43/5, 29/5).

\[B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt B leży na podanej prostej, jest różny od A, a kwadraty długości ramion AC i BC są równe 68.

\[\frac{1}{2}\cdot\frac{43}{5}+\frac{3}{2}=\frac{29}{5},\qquad |BC|^2=\left(\frac{38}{5}\right)^2+\left(-\frac{16}{5}\right)^2=68=|AC|^2.\]