Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 54 z 98

Sortuj:

Zadanie 20

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole równoległoboku \(ABCD\) jest równe \(40\sqrt{6}\). Bok \(AD\) tego równoległoboku ma długość \(10\), a kąt \(ABC\) równoległoboku ma miarę \(135^\circ\) (zobacz rysunek).

Długość boku \(AB\) jest równa

Równoległobok ABCD z oznaczoną długością boku AD równą 10 i kątem ABC równym 135°.

\(8\sqrt{3}\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie kąta między bokami

Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do \(180^\circ\), więc kąt między bokami \(AB\) i \(AD\) ma miarę \(45^\circ\).

\[\angle DAB=180^\circ-135^\circ=45^\circ\]

2 Obliczenie długości boku

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Podstawiamy dane i wyznaczamy \(AB\).

\[40\sqrt{6}=AB\cdot10\cdot\sin45^\circ=AB\cdot5\sqrt{2},\qquad AB=\frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=8\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Długość boku \(AB\) wynosi \(8\sqrt{3}\). Odpowiedź A.

\[AB=8\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Bok ma dodatnią długość, a po podstawieniu otrzymujemy podane pole.

\[10\cdot8\sqrt{3}\cdot\sin45^\circ=80\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{6}\]

Zadanie 21

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna w A, a prosta l przecina okrąg w C i B. Proste przecinają się w D. Odcinki DC i CB oznaczono odpowiednio 3 i 4.

\(\frac{7}{2}\)

\(5\)

\(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{3}+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość odcinka DB

Punkt C leży między D i B, więc dodajemy długości odcinków.

\[DB=DC+CB=3+4=7\]

2 Długość średnicy AB

Z twierdzenia o stycznej i siecznej wyznaczamy DA. Ponieważ styczna w A jest prostopadła do średnicy AB, trójkąt DAB jest prostokątny.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot7=21,\qquad AB^2=DB^2-DA^2=49-21=28\]

3 Odległość punktu A od prostej l

Kąt ACB jest prosty, gdyż AB jest średnicą. Odcinek AC jest więc prostopadły do prostej l, a jego długość jest szukaną odległością.

\[AC^2=AB^2-BC^2=28-16=12,\qquad AC=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi \(\sqrt{12}\). Odpowiedź C.

\[\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wyznaczona długość spełnia twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC: suma kwadratów przyprostokątnych wynosi \(28\), czyli tyle co kwadrat średnicy AB.

\[AC^2+BC^2=12+16=28=AB^2\]

Zadanie 22

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\). Wzorem funkcji \(g\) jest

\(g(x)=x+1\)

\(g(x)=-x-1\)

\(g(x)=-x+1\)

\(g(x)=x-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Wykresy niepionowych prostych prostopadłych mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn wynosi −1. Dla funkcji f współczynnik ten wynosi −1, więc dla g wynosi 1.

\[(-1)\cdot a_g=-1\quad\Rightarrow\quad a_g=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Ponieważ wykres g przechodzi przez punkt P=(0,−1), wartość g(0) wynosi −1. Jest ona wyrazem wolnym funkcji liniowej.

\[g(x)=x+b,\qquad g(0)=b=-1,\qquad g(x)=x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: g(x)=x−1.

\[g(x)=x-1\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy g(0)=−1, więc punkt P leży na wykresie. Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi (−1)·1=−1, więc wykresy są prostopadłe.

\[g(0)=0-1=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1\]

Zadanie 23

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).

Punkt \(B\) ma współrzędne

\((9,-5)\)

\((9,-17)\)

\((7,-11)\)

\((5,-5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wektora AP

Odejmujemy współrzędne punktu A od współrzędnych punktu P.

\[\overrightarrow{AP}=(3-1,1-7)=(2,-6)\]

2 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ P leży na odcinku AB i |AP|:|PB|=1:3, wektor od P do B jest trzy razy dłuższy od wektora od A do P i ma ten sam zwrot.

\[\overrightarrow{PB}=3\overrightarrow{AP}=(6,-18),\qquad B=P+\overrightarrow{PB}=(3+6,1-18)=(9,-17)\]

Odpowiedź

B=(9,−17), odpowiedź B.

\[B=(9,-17)\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego punktu wektor PB jest trzykrotnością wektora AP, więc punkty leżą w odpowiedniej kolejności na jednej prostej, a wymagany stosunek długości wynosi 1:3.

\[\overrightarrow{AP}=(2,-6),\quad \overrightarrow{PB}=(6,-18)=3\overrightarrow{AP},\quad |AP|:|PB|=1:3\]

Zadanie 24

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

\(8\sqrt{10}\)

\(16\sqrt{5}\)

\(40\)

\(80\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości przekątnej

Punkty A i C są przeciwległymi wierzchołkami, więc odcinek AC jest przekątną kwadratu. Jej długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AC^2=(3-(-1))^2+(-3-5)^2=4^2+(-8)^2=80\]

2 Obliczenie pola

Przekątna kwadratu o boku a spełnia równość AC²=2a², zatem pole a² jest połową AC².

\[P=a^2=\frac{AC^2}{2}=\frac{80}{2}=40\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 40. Odpowiedź C.

\[P=40\]

Sprawdzenie

Dla pola 40 bok ma długość √40. Przekątna ma wtedy kwadrat długości 2·40=80, zgodnie z obliczeniem z współrzędnych.

\[AC^2=2a^2=2\cdot40=80\]

Zadanie 25

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S'=(3,7)\) jest obrazem punktu \(S=(3a-1,b+7)\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) układu współrzędnych, gdy

\(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=0\).

\(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=-14\).

\(a=-\frac{2}{3}\) oraz \(b=-14\).

\(a=-\frac{2}{3}\) oraz \(b=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

W symetrii względem osi \(Ox\) pierwsza współrzędna pozostaje taka sama, a druga zmienia znak.

\[(3a-1,-(b+7))=(3,7)\]

2 Obliczenie parametrów

Przyrównujemy odpowiadające sobie współrzędne i rozwiązujemy równania.

\[3a-1=3\Rightarrow a=\frac{4}{3},\qquad -(b+7)=7\Rightarrow b=-14\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(a=\frac{4}{3}\) oraz \(b=-14\).

\[a=\frac{4}{3},\quad b=-14\]

Sprawdzenie

Dla obliczonych wartości punkt \(S=(3,-7)\). Odbicie względem osi \(Ox\) daje \((3,7)=S'\).

\[S=\left(3\cdot\frac{4}{3}-1,-14+7\right)=(3,-7)\longmapsto(3,7)=S'\]

Zadanie 26

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(8\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(3\)

\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

\(1\)

\(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), więc korzystamy ze wzoru na jego pole.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

2 Obliczenie krawędzi

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość, a następnie rozwiązujemy równanie. Przyjmujemy dodatnią długość krawędzi.

\[2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot8=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=3\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi \(\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[a=\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=\sqrt{3}\) pole podstawy wynosi \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\), a objętość \(2\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot8=2\sqrt{3}\]

Zadanie 27

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\), w którym krawędź podstawy ma długość \(5\). Przekątna \(AD'\) tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z oznaczonymi wierzchołkami, przekątną AD', kątem 45° przy wierzchołku A oraz krawędzią podstawy o długości 5.

\(12{,}5\)

\(25\)

\(50\)

\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej podstawy

W sześciokącie foremnym odcinek łączący przeciwległe wierzchołki ma długość dwóch boków.

\[AD=2\cdot 5=10\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej \(AD'\) na płaszczyznę podstawy jest \(AD\). W trójkącie prostokątnym \(ADD'\) korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[\tan 45^\circ=\frac{DD'}{AD}=\frac{h}{10}=1\quad\Rightarrow\quad h=10\]

3 Pole ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P=5\cdot 10=50\]

Odpowiedź

Pole ściany bocznej wynosi 50. Odpowiedź C.

\[P=50\]

Sprawdzenie

Dla wysokości 10 i rzutu przekątnej długości 10 tangens kąta nachylenia wynosi 1, więc kąt ma 45°.

\[\frac{DD'}{AD}=\frac{10}{10}=1=\tan 45^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa \(s\). Każdą z liczb tego zestawu zwiększamy o \(4\), w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb. Średnia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa

\(s+4\)

\(s+\frac{4}{100}\)

\(\frac{s+4}{100}\)

\(4s\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma początkowych liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc suma stu liczb wynosi 100s.

\[\frac{x_1+\cdots+x_{100}}{100}=s\quad\Rightarrow\quad x_1+\cdots+x_{100}=100s\]

2 Średnia po zwiększeniu liczb

Dodanie 4 do każdej ze stu liczb zwiększa ich sumę o 400. Dzielimy nową sumę przez 100.

\[\frac{100s+100\cdot4}{100}=s+4\]

Odpowiedź

Średnia wynosi s+4. Odpowiedź A.

\[s+4\]

Sprawdzenie

Nowa suma to 100s+400, a 100(s+4)=100s+400, więc podana średnia daje dokładnie nową sumę stu liczb.

\[100(s+4)=100s+400\]

Zadanie 29

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

\(8\)

\(4\)

\(5\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

Cyfra setek musi być co najmniej równa 1, a suma trzech cyfr wynosi 3.

\[a+b+c=3,\quad a\ge 1,\quad b,c\ge 0\]

2 Policzenie możliwości

Dla cyfry setek 1 są trzy pary pozostałych cyfr, dla 2 są dwie, a dla 3 jest jedna.

\[a=1:\ (b,c)=(0,2),(1,1),(2,0);\quad a=2:\ (b,c)=(0,1),(1,0);\quad a=3:\ (b,c)=(0,0).\quad 3+2+1=6\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 6. Odpowiedź D.

\[6\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 102, 111, 120, 201, 210 i 300. Każda jest trzycyfrowa i ma sumę cyfr równą 3; rozpatrzono wszystkie możliwe cyfry setek.

\[1+0+2=1+1+1=1+2+0=2+0+1=2+1+0=3+0+0=3\]

Zadanie 30

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)<2x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci iloczynowej, aby wyznaczyć jej znak.

\[x(2x-1)<2x\iff 2x^2-3x<0\iff x(2x-3)<0\]

2 Wyznacz przedział rozwiązania

Miejsca zerowe czynników to \(0\) i \(\frac{3}{2}\). Iloczyn jest ujemny między nimi.

\[0<x<\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \(\left(0,\frac{3}{2}\right)\).

\[x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) otrzymujemy \(1<2\), więc nierówność jest spełniona. Na końcach przedziału zachodzi równość, dlatego nie należą one do zbioru rozwiązań.

\[x=1:\quad 1(2\cdot1-1)=1<2;\qquad x=0:\quad 0=0;\qquad x=\frac{3}{2}:\quad 3=3\]

Zadanie 31

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((2x^2+3x)(x^2-7)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[2x^2+3x=0\quad\text{lub}\quad x^2-7=0\]

2 Rozwiązanie pierwszego równania

Wyłączamy x przed nawias i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.

\[2x^2+3x=x(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=-\frac{3}{2}\]

3 Rozwiązanie drugiego równania

Liczby, których kwadrat wynosi 7, to \(\sqrt{7}\) i \(-\sqrt{7}\).

\[x^2=7\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{7}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{7}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest \(\left\{-\sqrt{7},-\frac{3}{2},0,\sqrt{7}\right\}\).

\[x\in\left\{-\sqrt{7},-\frac{3}{2},0,\sqrt{7}\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) oraz \(x=-\frac{3}{2}\) pierwszy czynnik wynosi zero. Dla \(x=\pm\sqrt{7}\) drugi czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; zasada iloczynu zerowego wyklucza inne rozwiązania.

\[0(2\cdot0+3)=0,\quad -\frac32\left(2\cdot-\frac32+3\right)=0,\quad (\pm\sqrt7)^2-7=0\]

Zadanie 32

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\ne a\), prawdziwa jest nierówność

\(a^2+3b^2+4>2a+6b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, badamy różnicę jej stron.

\[a^2+3b^2+4-2a-6b>0\]

2 Uzupełnij do kwadratów

Suma kwadratów jest nieujemna, co pozwala ocenić różnicę.

\[a^2+3b^2+4-2a-6b=(a-1)^2+3(b-1)^2\]

3 Uzasadnij nierówność ostrą

Suma byłaby równa zeru tylko wtedy, gdyby \(a=1\) i \(b=1\). Warunek \(b\ne a\) wyklucza tę możliwość.

\[b\ne a\implies (a-1)^2+3(b-1)^2>0\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\ne a\) podana nierówność jest prawdziwa.

\[a^2+3b^2+4>2a+6b\]

Sprawdzenie

Równość stron zachodziłaby wyłącznie dla \(a=b=1\), co przeczy warunkowi \(b\ne a\). Zatem nierówność jest ściśle spełniona w całej wskazanej dziedzinie.

\[(a-1)^2+3(b-1)^2=0\iff a=b=1\]

Zadanie 33

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(A=(0,3)\). Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie funkcji \(f\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać kanoniczną

Wierzchołek paraboli to \(A=(0,3)\), więc funkcja ma postać \(f(x)=a(x-0)^2+3\), gdzie \(a\neq 0\).

\[f(x)=ax^2+3\]

2 Wyznacz współczynnik

Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie, zatem \(f(2)=0\). Podstawiamy jego współrzędne i obliczamy \(a\).

\[0=a\cdot 2^2+3\quad\Longrightarrow\quad 4a=-3\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3\).

\[f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) wartość funkcji wynosi \(3\), a dla \(x=2\) wynosi \(0\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest różny od zera, jest to funkcja kwadratowa o wymaganym wierzchołku.

\[f(0)=3,\qquad f(2)=-\frac{3}{4}\cdot 4+3=0\]

Zadanie 34

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie prostokątnym równoramiennym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(BC\) punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(AB\). Odcinek \(CD\) ma długość \(5\) (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Trójkąt prostokątny równoramienny ABC z punktem D na środku boku AB, odcinkiem CD oznaczonym liczbą 5 i zaznaczonym kątem prostym przy A.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie długości ramion

Trójkąt jest prostokątny równoramienny, więc jego przyprostokątne są równe. Ponieważ D jest środkiem AB, odcinek AD ma połowę długości AB.

\[AB=AC=x,\qquad AD=\frac{x}{2}\]

2 Obliczenie długości ramienia

Trójkąt ACD jest prostokątny w A, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2+AD^2=CD^2\quad\Longrightarrow\quad x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=25\quad\Longrightarrow\quad \frac54x^2=25\quad\Longrightarrow\quad x=2\sqrt5\]

3 Obliczenie obwodu

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną BC, a następnie dodajemy długości boków.

\[BC=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2=2\sqrt{10},\qquad P=AB+AC+BC=4\sqrt5+2\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Obwód trójkąta ABC wynosi \(4\sqrt5+2\sqrt{10}\).

\[P=4\sqrt5+2\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ramienia \(AD=\sqrt5\). Wtedy \(AC^2+AD^2=20+5=25=CD^2\), więc dana długość CD jest zachowana.

\[(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2=25=5^2\]