Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 53 z 70

Sortuj:

Zadanie 5

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.

Stąd wynika, że

Oś liczbowa z grotem i oznaczeniem x. Przedział zaznaczono od pustego kółka przy −10 do pełnego kółka przy k; nad osią biegnie odcinek łączący jego końce.

\(k=9\)

\(k=11\)

\(k=21\)

\(k=31\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczb w przedziale

Koniec −10 jest wyłączony, więc pierwszą liczbą całkowitą w przedziale jest −9. Liczby od −9 do 9 sumują się do zera, ponieważ każda liczba dodatnia ma swoją przeciwną.

\[(-9)+(-8)+\cdots+8+9=0\]

2 Wyznaczenie k

Aby suma wyniosła 21, do tych liczb trzeba dodać 10 i 11. Zatem prawym końcem przedziału jest 11.

\[0+10+11=21,\qquad k=11\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: k = 11.

\[k=11\]

Sprawdzenie

Dla k = 11 przedział zawiera liczby całkowite od −9 do 11. Ich suma wynosi 21, a −10 nie należy do przedziału.

\[\sum_{n=-9}^{11}n=0+10+11=21\]

Zadanie 6

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

nie ma rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być równy zeru.

\[2x+1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne-\frac12\]

2 Usunięcie mianownika

Dla liczb z dziedziny mnożymy obie strony równania przez \(2x+1\), aby otrzymać równanie kwadratowe.

\[x-\frac{1}{2x+1}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x(2x+1)=1\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2+x-1=0\]

3 Wyznaczenie pierwiastków

Rozkładamy trójmian na czynniki i korzystamy z zasady zerowego iloczynu.

\[2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac12\ \text{lub}\ x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: \(x=\frac12\) i \(x=-1\). Odpowiedź A.

\[x\in\left\{-1,\frac12\right\},\quad \mathrm{A}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu do pierwotnego równania w obu przypadkach otrzymujemy zero.

\[\frac12-\frac{1}{2\cdot\frac12+1}=0,\qquad -1-\frac{1}{2\cdot(-1)+1}=0\]

Zadanie 7

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

\(2\)

\(0\)

\(1\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie okresu

Mnożymy licznik i mianownik przez 9, aby otrzymać mianownik 9999. Ułamek o takim mianowniku ma czterocyfrowy okres.

\[\frac{224}{1111}=\frac{2016}{9999}=0{,}\overline{2016}\]

2 Odczytanie dwudziestej cyfry

Okres ma cztery cyfry. Ponieważ 20 jest wielokrotnością 4, szukana cyfra jest ostatnią cyfrą okresu.

\[20=5\cdot4,\qquad \overline{2016}\ \Rightarrow\ 6\]

Odpowiedź

Dwudziestą cyfrą po przecinku jest 6. Odpowiedź D.

\[6\]

Sprawdzenie

Pięć pełnych okresów zawiera 20 cyfr i kończy się cyfrą 6. Ponadto zapis okresowy daje wyjściowy ułamek.

\[0{,}\overline{2016}=\frac{2016}{9999}=\frac{224}{1111}\]

Zadanie 8

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

\(0\)

\(2^{20}-2\)

\(2^{19}\)

\(4-2^{10}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie potęg do podstawy 2

Ponieważ 8 i 4 są potęgami liczby 2, zapisujemy wszystkie czynniki z tą samą podstawą.

\[\frac{8^{20}-2\cdot4^{20}}{2^{20}\cdot4^{10}}=\frac{2^{60}-2^{41}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2^{41}}{2^{40}}\]

2 Podzielenie składników licznika

Mianownik jest różny od zera, więc dzielimy przez niego każdy składnik licznika i odejmujemy wykładniki potęg.

\[\frac{2^{60}}{2^{40}}-\frac{2^{41}}{2^{40}}=2^{20}-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{20}-2\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy wyjściowy licznik.

\[(2^{20}-2)\cdot2^{40}=2^{60}-2^{41}=8^{20}-2\cdot4^{20}\]

Zadanie 9

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

\(-8\)

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Liczba 2 należy do dziedziny, ponieważ 2 ≠ −2, więc podstawiamy ją do wzoru funkcji.

\[f(2)=-2(2+2)^{-1}(2-3)^2\]

2 Obliczenie wartości

Korzystamy z równości \(4^{-1}=\frac14\) oraz \((-1)^2=1\).

\[f(2)=-2\cdot\frac14\cdot1=-\frac12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: wartość funkcji wynosi −1/2.

\[f(2)=-\frac12\]

Sprawdzenie

Mianownik dla x = 2 wynosi 4, więc nie jest zerem. Wynik −1/2 odpowiada odpowiedzi B.

\[-\frac{2(2-3)^2}{2+2}=-\frac{2}{4}=-\frac12\]

Zadanie 10

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle\) jest

\(4\)

\(3\)

\(0\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ograniczenie wartości

Dla x z przedziału od 3 do 5 mamy x−2≥1. Po podniesieniu do kwadratu i zmianie znaku otrzymujemy górne ograniczenie wartości funkcji.

\[x\in[3,5]\Rightarrow x-2\ge 1\Rightarrow (x-2)^2\ge 1\Rightarrow y=4-(x-2)^2\le 3\]

2 Osiągnięcie maksimum

Sprawdzamy, czy funkcja przyjmuje wartość 3 w podanym przedziale.

\[y(3)=-(3-2)^2+4=3\]

Odpowiedź

Największa wartość wynosi 3. Odpowiedź B.

\[\max_{x\in[3,5]}y=3\]

Sprawdzenie

Liczba 3 należy do przedziału, więc wartość 3 jest osiągana. Dla każdego punktu tego przedziału wykazane ograniczenie daje wartość nie większą niż 3.

\[3\in[3,5],\qquad y(3)=3,\qquad y(x)\le 3\ \text{dla}\ x\in[3,5]\]

Zadanie 11

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

\(m=1\)

\(m=0\)

\(m=-1\)

\(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsc zerowych

Funkcja postaci \(ax+b\) nie ma miejsc zerowych tylko wtedy, gdy jest stałą różną od zera. Dlatego współczynnik przy \(x\) musi być równy zero.

\[1-m^2=0\iff m^2=1\iff m\in\{-1,1\}\]

2 Sprawdzenie wyrazu wolnego

Dla \(m=1\) funkcja jest równa zeru dla każdego \(x\). Dla \(m=-1\) jest stałą różną od zera.

\[m=1:\ f(x)=0,\qquad m=-1:\ f(x)=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(m=-1\).

\[m=-1\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-1\) równanie \(f(x)=0\) ma postać \(-2=0\), więc nie ma rozwiązania.

\[f(x)=(1-(-1)^2)x-1-1=-2\ne 0\]

Zadanie 12

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

Wykres funkcji kwadratowej, wariant A

Wykres funkcji kwadratowej, wariant B

Wykres funkcji kwadratowej, wariant C

Wykres funkcji kwadratowej, wariant D

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru. Wykres przecina więc oś x w punktach o odciętych 1 i 3.

\[-(x-1)(3-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\ \text{lub}\ x=3\]

2 Ustalenie kształtu wykresu

Po przekształceniu wzoru współczynnik przy kwadracie x jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, a wierzchołek ma współrzędne (2,−1).

\[f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3,\qquad x_w=\frac{1+3}{2}=2,\qquad f(2)=-1\]

Odpowiedź

Pasuje rysunek D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D parabola ma ramiona skierowane w górę, przecina oś x przy 1 i 3 oraz ma wierzchołek w punkcie (2,−1). Zgadza się też przecięcie z osią y: f(0)=3.

\[f(0)=-(0-1)(3-0)=3\]

Zadanie 13

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\geq 1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{2}{3}\)

\(q=\frac{3}{2}\)

\(q=6\)

\(q=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz iloraz ciągu

W ciągu geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i ilorazu.

\[a_3=a_2q\]

2 Wyznacz iloraz

Podstawiamy wzór na trzeci wyraz. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, możemy podzielić równanie przez \(2a_2\).

\[3a_2=2a_2q\quad\Rightarrow\quad q=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi \(\frac{3}{2}\). Odpowiedź B.

\[q=\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Dla \(q=\frac{3}{2}\) mamy \(a_3=\frac{3}{2}a_2\), więc \(2a_3=3a_2\). Iloraz jest dodatni, zgodnie z warunkiem zadania.

\[2a_3=2\cdot\frac{3}{2}a_2=3a_2\]

Zadanie 14

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

\(r=-16\)

\(r=-\frac{1}{2}\)

\(r=-\frac{1}{32}\)

\(r=15\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica dwóch kolejnych wyrazów. Podstawiamy dany wzór dla indeksów \(n+1\) i \(n\).

\[r=a_{n+1}-a_n=\left(16-\frac{1}{2}(n+1)\right)-\left(16-\frac{1}{2}n\right)=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Różnica wynosi \(-\frac{1}{2}\). Odpowiedź B.

\[r=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Pierwsze dwa wyrazy to \(a_1=\frac{31}{2}\) i \(a_2=15\), więc ich różnica wynosi \(-\frac{1}{2}\).

\[a_2-a_1=15-\frac{31}{2}=-\frac{1}{2}\]

Zadanie 15

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba \(1-\operatorname{tg}40^\circ\) jest

ujemna.

dodatnia, ale mniejsza od \(0{,}1\).

większa od \(0{,}1\), ale mniejsza od \(0{,}5\).

większa od \(0{,}5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości

Obliczamy tangens kąta 40° i odejmujemy go od 1, aby ustalić przedział, do którego należy liczba.

\[\operatorname{tg}40^\circ\approx 0{,}8391,\qquad 1-\operatorname{tg}40^\circ\approx 0{,}1609\]

Odpowiedź

Liczba jest większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5. Odpowiedź C.

\[0{,}1<1-\operatorname{tg}40^\circ<0{,}5\]

Sprawdzenie

Wartość 0,1609 jest dodatnia, większa od 0,1 i mniejsza od 0,5, więc spełnia warunki odpowiedzi C.

\[0{,}1<0{,}1609<0{,}5\]

Zadanie 16

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

Okrąg o średnicy AB i środku O; punkt C leży na okręgu poniżej średnicy. Zaznaczono odcinki AC, OC i BC.

\(\frac{1}{2}r^2\)

\(\frac{1}{4}r^2\)

\(\frac{\pi}{4}r^2\)

\(\frac{\sqrt{3}}{4}r^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta

Odcinki OB i OC są promieniami, a z treści zadania BC ma tę samą długość. Trójkąt OBC jest więc równoboczny. Ponieważ AB jest średnicą, kąty BOC i AOC sumują się do 180°.

\[|OB|=|OC|=|BC|=r,\quad \angle BOC=60^\circ,\quad \angle AOC=120^\circ\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{AOC}=\frac12|OA|\cdot|OC|\sin\angle AOC=\frac12r^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}r^2\]

Odpowiedź

Pole trójkąta AOC wynosi \(\frac{\sqrt3}{4}r^2\). Odpowiedź D.

\[\boxed{D.\ \frac{\sqrt3}{4}r^2}\]

Sprawdzenie

Kąt AOC jest rozwarty, lecz jego sinus jest dodatni i równy \(\frac{\sqrt3}{2}\), więc obliczone pole jest dodatnie i ma jednostkę pola.

\[\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

\(r=1\)

\(r=2\)

\(r=3\)

\(r=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości środków

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów, aby wyznaczyć odległość między środkami okręgów.

\[|S_1S_2|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

2 Wyznaczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość środków jest sumą promieni.

\[r+4=5\quad\Rightarrow\quad r=1\]

Odpowiedź

Promień wynosi 1. Odpowiedź A.

\[r=1\]

Sprawdzenie

Promienie są dodatnie, a ich suma wynosi 1+4=5, czyli tyle, ile odległość środków. Warunek styczności zewnętrznej jest spełniony.

\[1+4=|S_1S_2|=5\]

Zadanie 18

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12\), \(13\), \(2\), \(13\).

Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa

Trapez równoramienny z zaznaczoną wysokością h.

\(5\)

\(8\)

\(10\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka przy podstawie

W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 12 i 2, a ramiona po 13. Po opuszczeniu wysokości różnica podstaw dzieli się na dwa równe odcinki.

\[x=\frac{12-2}{2}=5\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek długości 5 i ramię długości 13 tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+5^2=13^2,\quad h=\sqrt{169-25}=12\]

Odpowiedź

Wysokość trapezu wynosi 12. Odpowiedź D.

\[h=12\]

Sprawdzenie

Obliczona wysokość i odcinek przy podstawie tworzą z ramieniem trójkąt prostokątny: 144 + 25 = 169.

\[12^2+5^2=13^2\]

Zadanie 19

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(2:3:3:4\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

\(40^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie jednej części

Suma kątów czworokąta wynosi 360°, a podany stosunek obejmuje łącznie 12 części.

\[2+3+3+4=12,\qquad 360^\circ:12=30^\circ\]

2 Obliczenie najmniejszego kąta

Najmniejszemu kątowi odpowiadają 2 części.

\[2\cdot30^\circ=60^\circ\]

Odpowiedź

Najmniejszy kąt ma miarę 60°. Odpowiedź A.

\[60^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty wyznaczone z podanego stosunku sumują się do 360°.

\[60^\circ+90^\circ+90^\circ+120^\circ=360^\circ\]