Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 53 z 98

Sortuj:

Zadanie 5

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

\(0\)

\((-10)\)

\(4\sqrt{5}\)

\(2+2\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) pozwala uprościć wyrażenie bez rozwijania obu kwadratów.

\[(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})][(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})]\]

2 Obliczenie czynników

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy iloczyn.

\[(2\sqrt{5})\cdot 2=4\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Liczba jest równa \(4\sqrt{5}\). Odpowiedź C.

\[4\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratów wyrazy \(6\) się redukują, a pozostałe dają \(4\sqrt{5}\).

\[(6+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}\]

Zadanie 6

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x-3)(x-2)(x+20)<0\) należy liczba

\((-20)\)

\((-23)\)

\(20\)

\(23\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn zmienia znak tylko przy miejscach zerowych czynników.

\[(x-3)(x-2)(x+20)=0\iff x\in\{-20,2,3\}\]

2 Ustalenie znaku

Sprawdzamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe. Jest ujemny dla liczb mniejszych od \(-20\) oraz między \(2\) a \(3\).

\[(x-3)(x-2)(x+20)<0\iff x\in(-\infty,-20)\cup(2,3)\]

Odpowiedź

Do zbioru rozwiązań należy \(-23\), czyli odpowiedź B.

\[-23\in(-\infty,-20)\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(-23\) otrzymujemy liczbę ujemną, więc spełnia ona nierówność.

\[(-23-3)(-23-2)(-23+20)=(-26)(-25)(-3)=-1950<0\]

Zadanie 7

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych

\((-3,-1)\cup(1,3)\)

\((-3,3)\)

\((-5,-1)\cup(1,5)\)

\((-5,5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt pierwszego przedziału

Lewa część wykresu istnieje dla argumentów od −5 do −1. Puste kółka oznaczają, że końce nie należą do dziedziny.

\[x\in(-5,-1)\]

2 Odczyt drugiego przedziału

Prawa część wykresu istnieje dla argumentów od 1 do 5, również bez końców. Łączymy oba przedziały.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

Sprawdzenie

Dla x = −3 i x = 3 na wykresie są punkty, a dla x = −5, −1, 1 i 5 widnieją puste kółka. Potwierdza to odczytaną dziedzinę.

\[-3,3\in D_f,\qquad -5,-1,1,5\notin D_f\]

Zadanie 8

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Wykres funkcji f z dwiema częściami, osiami i oznaczeniami współrzędnych

\((-3,-1)\cup(1,3)\)

\(\langle-3,-1\rangle\cup\langle1,3\rangle\)

\((-5,-1)\cup(1,5)\)

\(\langle-5,-1\rangle\cup\langle1,5\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości ujemnych

Lewy fragment wykresu przyjmuje wszystkie wartości od −3 do −1. Oba końce należą do zbioru wartości, ponieważ występują na poziomych odcinkach wykresu.

\[y\in[-3,-1]\]

2 Odczyt wartości dodatnich

Prawy fragment przyjmuje wszystkie wartości od 1 do 3. Wartości 1 i 3 również występują na poziomych odcinkach.

\[y\in[1,3]\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to suma tych przedziałów. Odpowiedź B.

\[W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Sprawdzenie

Wykres ma punkty o wartościach −3, −1, 1 i 3 oraz przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy końcami każdego z dwóch przedziałów. Nie przyjmuje wartości między −1 a 1.

\[-3,-1,1,3\in W_f,\qquad(-1,1)\cap W_f=\varnothing\]

Zadanie 9

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2+4}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(4\) jest równa

\(6\)

\(2\)

\(10\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie dziedziny

Argument 4 jest dopuszczalny, ponieważ mianownik nie jest zerem.

\[4-2=2\neq 0\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy 4 za x i wykonujemy działania.

\[f(4)=\frac{4^2+4}{4-2}=\frac{20}{2}=10\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi 10. Odpowiedź C.

\[f(4)=10\]

Sprawdzenie

Otrzymana wartość spełnia równość po pomnożeniu przez niezerowy mianownik: 10 razy 2 to 20, tyle samo co 4 do kwadratu plus 4.

\[10\cdot(4-2)=20=4^2+4\]

Zadanie 10

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\). Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

\((-4)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(2\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ punkty mają różne współrzędne x, współczynnik a jest ilorazem różnicy współrzędnych y i różnicy współrzędnych x.

\[a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Współczynnik a wynosi 4/7. Odpowiedź D.

\[a=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Dla punktu A otrzymujemy b=5/7. Po podstawieniu współrzędnych punktu B równanie daje y=3, więc wynik jest zgodny z oboma punktami.

\[-1=\frac{4}{7}\cdot(-3)+b\Rightarrow b=\frac{5}{7},\qquad \frac{4}{7}\cdot4+\frac{5}{7}=3\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla

\(m=-2\)

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tutaj 5 i 0, więc są różne.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy równanie współczynników kierunkowych.

\[2m=-4\quad\Rightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

A, m = −2.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 funkcje mają postać f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Równość ich wartości wymagałaby 5 = 0, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[-x+5=-x\quad\Rightarrow\quad 5=0\]

Zadanie 12

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a<0\) i \(b>0\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.

Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po lewej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Układ współrzędnych i parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem po prawej stronie osi y.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kierunek ramion

Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, parabola ma ramiona skierowane w dół.

\[a<0\]

2 Położenie wierzchołka

Współrzędna x wierzchołka jest dodatnia, bo b jest dodatnie, a 2a ujemne. Wierzchołek leży więc na prawo od osi y.

\[x_w=\frac{-b}{2a}>0\]

3 Punkt przecięcia z osią y

Wyraz wolny równy 1 oznacza, że wykres przecina oś y w punkcie o rzędnej 1.

\[f(0)=1\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D ramiona są skierowane w dół, wierzchołek leży na prawo od osi y, a wykres przechodzi przez punkt (0,1). Wszystkie trzy cechy zgadzają się z warunkami zadania.

\[a<0,\quad x_w>0,\quad f(0)=1\]

Zadanie 13

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

\(28\)

\(31\)

\(32\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksów

Szukamy dodatnich liczb całkowitych \(n\), dla których wyraz ciągu jest mniejszy od \(10\). Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę \(3\).

\[\frac{n-2}{3}<10\iff n-2<30\iff n<32\]

2 Policzenie wyrazów

Warunek spełniają indeksy od \(1\) do \(31\), więc takich wyrazów jest \(31\).

\[n\in\{1,2,\ldots,31\}\]

Odpowiedź

31 wyrazów, odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Wyraz o indeksie 31 jest mniejszy od 10, a następny jest równy 10. To potwierdza granicę liczenia.

\[a_{31}=\frac{29}{3}<10,\qquad a_{32}=\frac{30}{3}=10\]

Zadanie 14

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\), określony wzorem \(a_n=-2^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest

ciągiem arytmetycznym o różnicy \(2\).

ciągiem arytmetycznym o różnicy \((-2)\).

ciągiem geometrycznym o ilorazie \(2\).

ciągiem geometrycznym o ilorazie \((-2)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

Aby ustalić, czy ciąg jest geometryczny, dzielimy kolejny wyraz przez poprzedni. Każdy wyraz jest różny od zera.

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-2^{n+1}}{-2^n}=2\]

Odpowiedź

C. Jest to ciąg geometryczny o ilorazie 2.

\[q=2\]

Sprawdzenie

Pierwsze wyrazy to −2, −4, −8. W obu przypadkach iloraz kolejnych wyrazów wynosi 2.

\[\frac{-4}{-2}=\frac{-8}{-4}=2\]

Zadanie 15

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((1,4,a+5)\) jest arytmetyczny. Liczba \(a\) jest równa

\(0\)

\(7\)

\(2\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe różnice

W ciągu arytmetycznym różnice kolejnych wyrazów są równe, więc porównujemy je.

\[4-1=(a+5)-4\]

2 Obliczenie liczby a

Upraszczamy równanie i odejmujemy 1 od obu stron.

\[3=a+1\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Odpowiedź

a = 2, odpowiedź C.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a = 2 ciąg ma wyrazy 1, 4, 7. Obie różnice wynoszą 3.

\[4-1=3,\qquad 7-4=3\]

Zadanie 16

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

\(11{,}25\)

\((-18{,}75)\)

\(15\)

\((-15)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, możemy obliczyć iloraz.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2\]

2 Obliczenie sumy

Mnożymy drugi wyraz przez iloraz, a następnie dodajemy trzy początkowe wyrazy.

\[a_3=a_2q=(-7{,}5)\cdot(-2)=15,\qquad a_1+a_2+a_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25\]

Odpowiedź

Suma wynosi 11,25. Odpowiedź A.

\[S_3=11{,}25\]

Sprawdzenie

Iloraz trzeciego i drugiego wyrazu również wynosi −2, więc obliczony trzeci wyraz jest zgodny z ciągiem geometrycznym. Suma 11,25 odpowiada opcji A.

\[\frac{15}{-7{,}5}=-2,\qquad 3{,}75+(-7{,}5)+15=11{,}25\]

Zadanie 17

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha\) jest równe

\(\cos^3\alpha\)

\(\sin^2\alpha\)

\(1-\sin^2\alpha\)

\(\cos\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają \(\cos\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[\cos\alpha-\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Z równości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wynika, że wyrażenie w nawiasie jest równe \(\cos^2\alpha\).

\[\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos^2\alpha=\cos^3\alpha\]

Odpowiedź

A. Wyrażenie jest równe \(\cos^3\alpha\).

\[\cos^3\alpha\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) do wyrażenia z zadania otrzymujemy \(\cos^3\alpha\). Tożsamość zachodzi dla każdego kąta ostrego.

\[\cos\alpha-\cos\alpha(1-\cos^2\alpha)=\cos^3\alpha\]

Zadanie 18

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{2}{3}\). Wtedy \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy

\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(2\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Sprawdzenie

Obliczony sinus i podany cosinus spełniają jedynkę trygonometryczną; obie wartości są dodatnie, zgodnie z warunkiem kąta ostrego.

\[\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1\]

Zadanie 19

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie że \(|\angle ADB|=20^\circ\) i \(|\angle DBC|=40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\).

Miara kąta \(DKC\) jest równa

Okrąg z punktami A, B, C, D oraz cięciwami AC i BD przecinającymi się w punkcie K. Zaznaczono kąty 20° i 40°.

\(80^\circ\)

\(60^\circ\)

\(50^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miar łuków

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[m(\overset{\frown}{AB})=2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad m(\overset{\frown}{CD})=2\cdot40^\circ=80^\circ\]

2 Obliczenie kąta DKC

Miara kąta utworzonego przez przecinające się wewnątrz okręgu cięciwy jest połową sumy miar łuków wyznaczonych przez ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[|\angle DKC|=\frac{m(\overset{\frown}{CD})+m(\overset{\frown}{AB})}{2}=\frac{80^\circ+40^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

60°, odpowiedź B.

\[|\angle DKC|=60^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt wierzchołkowy AKB ma również 60°, a dwa kąty przyległe mają po 120°. Ich suma wynosi 360°, zgodnie z pełnym kątem wokół punktu K.

\[2\cdot60^\circ+2\cdot120^\circ=360^\circ\]