Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 52 z 70

Sortuj:

Zadanie 24

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest

\(54\)

\(81\)

\(8\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry jedności

Liczba jest parzysta, więc jej ostatnią cyfrą musi być jedyna dostępna cyfra parzysta, czyli 2.

\[c_4=2\]

2 Policzenie możliwości

Na każdą z trzech pozostałych pozycji można niezależnie wybrać jedną z cyfr 1, 2, 3. Każdy taki wybór daje liczbę czterocyfrową.

\[3\cdot3\cdot3\cdot1=27\]

Odpowiedź

D. Jest 27 takich liczb.

\[27\]

Sprawdzenie

Wszystkich liczb z podanych cyfr jest 81. Każda z trzech możliwych cyfr jedności występuje w tylu samo układach, więc z cyfrą jedności 2 jest ich 81 : 3 = 27.

\[3^4:3=81:3=27\]

Zadanie 25

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

\(\frac{1}{60}\)

\(\frac{1}{25}\)

\(\frac{7}{12}\)

\(\frac{5}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba mężczyzn

Od liczby wszystkich osób odejmujemy liczbę kobiet.

\[60-35=25\]

2 Prawdopodobieństwo

Każda osoba ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę mężczyzn przez liczbę wszystkich osób i skracamy ułamek.

\[P(\text{mężczyzna})=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/12. Odpowiedź D.

\[\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

W grupie jest 25 mężczyzn i 35 kobiet, razem 60 osób. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{5}{12}+\frac{35}{60}=\frac{25}{60}+\frac{35}{60}=1\]

Zadanie 26

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((x^2-16)(x^3-1)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2-16=0\quad\text{lub}\quad x^3-1=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

W pierwszym równaniu korzystamy z różnicy kwadratów, a w drugim z faktu, że jedyną liczbą rzeczywistą, której sześcian jest równy 1, jest 1.

\[(x-4)(x+4)=0\Rightarrow x=-4\ \text{lub}\ x=4;\qquad x^3=1\Rightarrow x=1\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to −4, 1 i 4.

\[x\in\{-4,1,4\}\]

Sprawdzenie

Dla −4 i 4 pierwszy czynnik wynosi zero, a dla 1 drugi czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia równanie; oba rozpatrzone równania czynników dały wszystkie swoje rozwiązania rzeczywiste.

\[(-4)^2-16=0,\qquad 4^2-16=0,\qquad 1^3-1=0\]

Zadanie 27

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(2x^2-5x+3\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia.

\[2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1),\qquad (2x-3)(x-1)\leq 0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2},\qquad x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od 1 do 3/2 wraz z końcami.

\[x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]

Sprawdzenie

Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Między nimi pierwszy czynnik jest ujemny, a drugi dodatni, więc iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, więc iloczyn jest dodatni.

\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2}\Rightarrow(2x-3)(x-1)=0;\qquad 1<x<\frac{3}{2}\Rightarrow 2x-3<0<x-1\]

Zadanie 28

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie nierówności

Odejmujemy 1 od lewej strony, aby wykazać, że otrzymana różnica jest nieujemna.

\[x+\frac{1-x}{x}-1=x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\]

2 Ocena znaku

Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, ponieważ \(x>0\). Zatem różnica jest nieujemna.

\[\frac{(x-1)^2}{x}\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x>0\). Równość zachodzi dla \(x=1\).

\[x+\frac{1-x}{x}\geq 1\quad\text{dla }x>0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) lewa strona wynosi 1. Dla każdego innego \(x>0\) licznik \((x-1)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[1+\frac{1-1}{1}=1\]

Zadanie 29

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120^\circ\).

Okrąg o środku S oraz trójkąt ABC; punkty A i C leżą na okręgu, S leży na boku AB, a prosta BC jest styczna do okręgu w punkcie C.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy środku okręgu

Promienie SA i SC mają długość r. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC obliczamy kąt ASC.

\[\cos\angle ASC=\frac{r^2+r^2-(r\sqrt{3})^2}{2r^2}=-\frac12,\qquad \angle ASC=120^\circ\]

2 Wyznaczenie kątów przy A i B

Trójkąt ASC jest równoramienny. Ponieważ A, S i B leżą na jednej prostej, kąt CSB jest przyległy do kąta ASC. Promień SC jest prostopadły do stycznej BC.

\[\angle BAC=\angle SAC=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \angle CSB=60^\circ,\qquad \angle ABC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\]

3 Obliczenie kąta ACB

Korzystamy z sumy kątów trójkąta ABC.

\[\angle ACB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 120°.

\[\angle ACB=120^\circ\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty trójkąta ABC sumują się do 180°. Ponadto w trójkącie ASC kąt 120° daje z twierdzenia cosinusów wymaganą długość AC.

\[30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ,\qquad AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2\]

Zadanie 30

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\), i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \(\{0,2,4,6,8\}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99, więc wszystkich wyników losowania jest 90.

\[99-10+1=90\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Cyfrę dziesiątek można wybrać na 5 sposobów, a cyfrę jedności niezależnie na 5 sposobów. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wyników sprzyjających.

\[|A|=5\cdot 5=25\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/18.

\[P(A)=\frac{5}{18}\]

Sprawdzenie

Pozostałych liczb jest 65, a 25+65=90. Otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[90-25=65,\qquad 0<\frac{5}{18}<1\]

Zadanie 31

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przekątnej BD

Przekątne rombu są prostopadłe, więc iloczyn współczynników kierunkowych prostych AC i BD wynosi −1.

\[\frac{1}{3}\cdot a_{BD}=-1\quad\Rightarrow\quad a_{BD}=-3\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta BD przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych S. Podstawiamy jego współrzędne do równania prostej o wyznaczonym nachyleniu.

\[y+1=-3\left(x+\frac{21}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-3x-\frac{65}{2}\]

Odpowiedź

Równanie prostej BD:

\[y=-3x-\frac{65}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt S należy do obu prostych, a ich współczynniki kierunkowe mają iloczyn −1, więc proste są prostopadłe.

\[-3\cdot\left(-\frac{21}{2}\right)-\frac{65}{2}=-1,\qquad \frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\]

Zadanie 32

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_{39},a_{40}\right)\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

Każdy wyraz o numerze nieparzystym jest o różnicę ciągu mniejszy od następującego po nim wyrazu parzystego. Takich par jest 20, więc różnica sum pozwala obliczyć różnicę ciągu.

\[1340-1400=20d,\quad d=-3\]

2 Obliczenie ostatniego wyrazu

Wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetyczny złożony z 20 wyrazów. Korzystamy ze wzoru na jego sumę oraz z zależności między pierwszym i ostatnim wyrazem.

\[1340=\frac{20(a_2+a_{40})}{2},\quad a_2+a_{40}=134;\qquad a_{40}=a_2+38d=a_2-114;\qquad 2a_2-114=134,\quad a_2=124,\quad a_{40}=10\]

Odpowiedź

Ostatni wyraz ciągu wynosi 10.

\[a_{40}=10\]

Sprawdzenie

Z obliczonych wartości wynika, że pierwszy wyraz to 127, a wyraz trzydziesty dziewiąty to 13. Suma 20 wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 1400, zgodnie z treścią zadania.

\[a_1=124-(-3)=127,\quad a_{39}=127+38(-3)=13,\quad \frac{20(127+13)}{2}=1400\]

Zadanie 33

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu dzieli cięciwę na połowy. Promień, odległość 10 cm i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2=10^2+\left(\frac{r+22}{2}\right)^2\]

2 Obliczenie promienia

Usuwamy mianownik i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Ujemny pierwiastek odrzucamy, ponieważ promień jest dodatni.

\[4r^2=400+(r+22)^2\quad\Longrightarrow\quad 3r^2-44r-884=0\quad\Longrightarrow\quad (r-26)(3r+34)=0\quad\Longrightarrow\quad r=26\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Promień okręgu wynosi 26 cm.

\[r=26\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Dla promienia 26 cm cięciwa ma długość 48 cm, czyli o 22 cm więcej niż promień. Jej połowa ma 24 cm, a odległość środka od cięciwy wynosi 10 cm, ponieważ 10² + 24² = 26².

\[26+22=48,\qquad 10^2+\left(\frac{48}{2}\right)^2=100+576=676=26^2\]

Zadanie 34

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa 12. (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z zaznaczonym środkiem podstawy O, wysokością SO, krawędzią boczną długości 12 i kątem α przy wierzchołku S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i odcinka AO

W ostrosłupie prawidłowym wysokość SO jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt SAO jest prostokątny. Z tangensa kąta przy S mamy stosunek przyprostokątnych 2 do √5; twierdzenie Pitagorasa daje wtedy stosunek boków 2:√5:3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{AO}{SO}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad SA=12=3\cdot4,\qquad AO=8,\quad SO=4\sqrt5.\]

2 Obliczenie pola podstawy

Punkt O jest środkiem kwadratu, więc AO stanowi połowę jego przekątnej. Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu przekątnej.

\[AC=2AO=16,\qquad P_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128.\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13P_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot128\cdot4\sqrt5=\frac{512\sqrt5}{3}.\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 512√5/3 jednostek sześciennych.

\[V=\frac{512\sqrt5}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta i długości krawędzi bocznej.

\[\frac{AO}{SO}=\frac{8}{4\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad AO^2+SO^2=8^2+(4\sqrt5)^2=144=SA^2.\]

Zadanie 1

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

\(4\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie wartości x

Usuwamy niewymierność z mianownika, aby łatwo porównać x i y.

\[x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\sqrt{2}+1\]

2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Podane wyrażenie jest kwadratem różnicy. Obliczamy tę różnicę i podnosimy ją do kwadratu.

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=((\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1))^2=2^2=4\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 4. Odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Różnica x−y wynosi 2, więc jej kwadrat rzeczywiście wynosi 4. Obie podane liczby są określone, ponieważ mianownik √2 jest różny od zera.

\[x-y=2,\quad (x-y)^2=4,\quad \sqrt{2}\ne 0\]

Zadanie 2

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dane są liczby: \(a=\log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=\log_4 8\), \(c=\log_4\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek

\(a>b>c\)

\(b>a>c\)

\(c>b>a\)

\(b>c>a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Zapisujemy podstawy i liczby logarytmowane jako potęgi 2, aby wyznaczyć wykładniki.

\[\left(\frac12\right)^{-3}=8\Rightarrow a=-3,\qquad 4^{\frac32}=8\Rightarrow b=\frac32,\qquad 4^{-\frac12}=\frac12\Rightarrow c=-\frac12\]

2 Porównanie liczb

Porównujemy otrzymane wartości i wybieramy odpowiadającą im odpowiedź.

\[\frac32>-\frac12>-3\quad\Rightarrow\quad b>c>a\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: b > c > a.

\[b>c>a\]

Sprawdzenie

Podstawienie wykładników potwierdza wszystkie trzy wartości: odpowiednie potęgi dają 8, 8 oraz 1/2.

\[\left(\frac12\right)^{-3}=8,\qquad 4^{\frac32}=8,\qquad 4^{-\frac12}=\frac12\]

Zadanie 3

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)>0\).

\(5\)

\(16\)

\(-4\)

\(-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykluczenie trzech odpowiedzi

Dla 5 i 16 czynnik \(4-x\) jest ujemny, a pozostałe dodatnie, więc iloczyn jest ujemny. Dla \(x=-4\) iloczyn wynosi zero.

\[x\in\{5,16\}\Rightarrow(4-x)(x+3)(x+4)<0,\qquad x=-4\Rightarrow(4-x)(x+3)(x+4)=0\]

2 Sprawdzenie pozostałej liczby

Podstawiamy \(x=-2\), aby potwierdzić nierówność ostrą.

\[(4-(-2))(-2+3)(-2+4)=6\cdot1\cdot2=12>0\]

Odpowiedź

Liczba \(-2\), odpowiedź D.

\[x=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(-2\) iloczyn jest równy \(12>0\); pozostałe trzy odpowiedzi nie spełniają nierówności.

\[12>0\]

Zadanie 4

Matura 2018 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

2200 złotych.

2300 złotych.

2400 złotych.

3000 złotych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka o 10% pozostawia 90% aktualnej ceny. Jeśli cena początkowa wynosiła x zł, to po dwóch obniżkach jest równa 1944 zł.

\[x\cdot 0{,}9\cdot 0{,}9=1944\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Dzielimy obie strony równania przez 0,81.

\[x=\frac{1944}{0{,}81}=2400\]

Odpowiedź

Komputer kosztował 2400 złotych. Odpowiedź C.

\[x=2400\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 2160 zł, a po drugiej 1944 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[2400\cdot 0{,}9=2160,\qquad 2160\cdot 0{,}9=1944\]