Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 51 z 70

Sortuj:

Zadanie 9

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbą większą od \(5\) jest

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\)

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}\)

\(125^{\frac{2}{3}}\)

\(125^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Sprowadzamy podstawy do potęg liczby 5 i korzystamy z reguły \((a^m)^n=a^{mn}\).

\[A=(5^{-2})^{-\frac12}=5,\quad B=(5^{-2})^{-\frac15}=5^{\frac25},\quad C=(5^3)^{\frac23}=25,\quad D=(5^3)^{\frac13}=5\]

2 Porównanie z 5

Ponieważ \(\frac25<1\), mamy \(5^{\frac25}<5\). Jedynie \(25\) jest większe od \(5\).

\[B<5,\quad A=D=5,\quad C=25>5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 25.

\[125^{\frac23}=25\]

Sprawdzenie

Sześcian 5 to 125, więc pierwiastek sześcienny z 125 wynosi 5, a jego kwadrat wynosi 25. Pozostałe odpowiedzi są równe 5 lub od niego mniejsze.

\[(125^{\frac13})^2=5^2=25>5\]

Zadanie 10

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że

\(a=-4\)

\(a=4\)

\(a=\frac{33}{4}\)

\(a=\frac{39}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Ponieważ punkt A leży na prostej, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.

\[3=\frac{3}{4}a+6\]

2 Obliczenie a

Odejmujemy 6 od obu stron, a następnie mnożymy przez \(\frac{4}{3}\).

\[-3=\frac{3}{4}a\quad\Rightarrow\quad a=-3\cdot\frac{4}{3}=-4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(a=-4\).

\[a=-4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=-4\) równanie prostej daje \(y=3\), więc punkt rzeczywiście leży na prostej.

\[\frac{3}{4}\cdot(-4)+6=-3+6=3\]

Zadanie 11

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=-11\) i \(a_9=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

\(-24\)

\(-27\)

\(-16\)

\(-18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

W ciągu arytmetycznym suma dziewięciu wyrazów jest równa dziewięciokrotności średniej pierwszego i dziewiątego wyrazu.

\[S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(-11+5)}{2}=-27\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi −27.

\[S_9=-27\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi 2, więc środkowy wyraz to −3. Suma dziewięciu wyrazów jest równa 9 · (−3) = −27.

\[r=\frac{5-(-11)}{8}=2,\quad a_5=-11+4\cdot2=-3,\quad S_9=9\cdot(-3)=-27\]

Zadanie 12

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Od drugiego do piątego wyrazu wykonujemy trzy kroki ciągu geometrycznego, więc mnożymy przez iloraz trzy razy.

\[a_5=a_2q^3\quad\Rightarrow\quad 48=162q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy przez 162 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Dodatniość wyrazów potwierdza, że iloraz jest dodatni.

\[q^3=\frac{48}{162}=\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\quad\Rightarrow\quad q=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 2/3. Odpowiedź A.

\[q=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu piąty wyraz wynosi 48, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wszystkich wyrazów.

\[a_5=162\left(\frac{2}{3}\right)^3=162\cdot\frac{8}{27}=48\]

Zadanie 13

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{12}{13}\). Wtedy

\(\sin\alpha=\frac{13}{12}\)

\(\sin\alpha=\frac{1}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{25}{169}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć sinus z podanego cosinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{5}{13}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a jego kwadrat wraz z kwadratem podanego cosinusa daje 1.

\[\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25+144}{169}=1\]

Zadanie 14

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\angle BCD=72^\circ\) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na podstawie AB, odcinkiem CD i zaznaczonym kątem BCD równym 72°.

\(38^\circ\)

\(36^\circ\)

\(42^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCD

Ponieważ |BC|=|BD|, kąty przy podstawie CD są równe. Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy B.

\[\angle BDC=\angle BCD=72^\circ,\qquad \angle CBD=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\]

2 Kąty w trójkącie ABC

Punkt D leży na AB, więc kąt ABC jest równy CBD. Z równości |AC|=|BC| wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=36^\circ,\qquad \angle ACB=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ\]

3 Szukany kąt

Odcinek CD dzieli kąt ACB na kąty ACD i BCD, więc odejmujemy znany kąt.

\[\angle ACD=108^\circ-72^\circ=36^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACD ma miarę 36°, odpowiedź B.

\[\angle ACD=36^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ A, D i B leżą na jednej prostej, kąt ADC ma 108°. W trójkącie ACD kąty przy A i C mają zatem po 36°, co potwierdza warunek |AD|=|CD|.

\[\angle ADC=180^\circ-72^\circ=108^\circ,\qquad \angle ACD=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okrąg, którego środkiem jest punkt \(S=(a,5)\), jest styczny do osi \(Oy\) i do prostej o równaniu \(y=2\). Promień tego okręgu jest równy

\(3\)

\(5\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka od prostej

Promień okręgu stycznego do prostej jest równy odległości jego środka od tej prostej. Dla prostej poziomej odejmujemy współrzędne pionowe.

\[r=|5-2|=3\]

Odpowiedź

Promień wynosi 3. Odpowiedź A.

\[r=3\]

Sprawdzenie

Styczność do osi Oy jest możliwa: środek musi leżeć w odległości 3 od tej osi, czyli mieć pierwszą współrzędną 3 lub −3.

\[|a|=r=3\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

Zadanie 16

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(SAC\) jest równa

Ostrosłup o wierzchołku S i kwadratowej podstawie ABCD; zaznaczono krawędzie oraz przekątną AC.

\(60^\circ\)

\(45^\circ\)

\(90^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta ASC

Ściany boczne są równoboczne, więc krawędzie boczne mają długość boku podstawy. Przekątna kwadratu wynika z twierdzenia Pitagorasa.

\[AB=a>0,\quad AS=CS=a,\quad AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\]

2 Obliczenie kąta SAC

W trójkącie ASC zachodzi odwrotność twierdzenia Pitagorasa, zatem kąt ASC jest prosty. Ponieważ AS=CS, pozostałe kąty są równe.

\[AS^2+CS^2=2a^2=AC^2,\qquad \angle SAC=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt SAC ma miarę 45°. Odpowiedź B.

\[\angle SAC=45^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie prostokątnym ASC stosunek przyprostokątnej AS do przeciwprostokątnej AC wynosi 1/√2, co odpowiada kątowi 45° przy A.

\[\cos\angle SAC=\frac{AS}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos45^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(4m+1)x-19\) oraz \(y=(5m-4)x+20\) są równoległe, gdy

\(m=5\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

\(m=-5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy współczynniki przy \(x\).

\[4m+1=5m-4\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę równania, a liczby na drugą.

\[4m+1=5m-4\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=5\).

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla \(m=5\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(21\). Wyrazy wolne, \(-19\) i \(20\), są różne, więc proste są różne i równoległe.

\[4\cdot5+1=21=5\cdot5-4\]

Zadanie 18

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych punkt \(S=(40,40)\) jest środkiem odcinka \(KL\), którego jednym z końców jest punkt \(K=(0,8)\). Zatem

\(L=(20,24)\)

\(L=(-80,-72)\)

\(L=(-40,-24)\)

\(L=(80,72)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi współrzędnych końców. Oznaczamy szukany punkt przez \(L=(x,y)\).

\[40=\frac{0+x}{2},\qquad 40=\frac{8+y}{2}\]

2 Wyznaczenie współrzędnych punktu L

Mnożymy oba równania przez 2 i obliczamy niewiadome.

\[x=80,\qquad y=80-8=72\]

Odpowiedź

Punkt \(L=(80,72)\), więc poprawna jest odpowiedź D.

\[L=(80,72)\]

Sprawdzenie

Średnie współrzędnych punktów K i L wynoszą 40, zatem ich środkiem jest podany punkt S.

\[\left(\frac{0+80}{2},\frac{8+72}{2}\right)=(40,40)=S\]

Zadanie 19

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(P=(-6,-8)\), przekształcono najpierw w symetrii względem osi \(Ox\), a potem w symetrii względem osi \(Oy\). W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt \(Q\). Zatem

\(Q=(6,8)\)

\(Q=(-6,-8)\)

\(Q=(8,6)\)

\(Q=(-8,-6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Symetria względem osi Ox

W symetrii względem osi Ox pierwsza współrzędna pozostaje bez zmian, a druga zmienia znak.

\[(-6,-8)\longmapsto(-6,8)\]

2 Symetria względem osi Oy

W symetrii względem osi Oy pierwsza współrzędna zmienia znak, a druga pozostaje bez zmian.

\[(-6,8)\longmapsto(6,8)=Q\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: Q=(6,8).

\[Q=(6,8)\]

Sprawdzenie

Po obu symetriach każda współrzędna punktu P zmieniła znak: −6 na 6 oraz −8 na 8. Wynik zgadza się z odpowiedzią A.

\[(-6,-8)\longmapsto(6,8)\]

Zadanie 20

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\).

Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie ćwiartki punktu P

Obie współrzędne punktu P są ujemne, więc leży on w III ćwiartce.

\[x_P=-30<0,\quad y_P=-76<0\]

2 Wybór punktu

Punkt B również ma obie współrzędne ujemne, więc leży w tej samej ćwiartce.

\[x_B=-5<0,\quad y_B=-1<0\]

Odpowiedź

Punkt B, odpowiedź B.

\[B=(-5,-1)\]

Sprawdzenie

Pozostałe punkty leżą w innych ćwiartkach: A w I, C w II, a D w IV.

\[A:(+,+),\quad C:(-,+),\quad D:(+,-)\]

Zadanie 21

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30\text{ cm}\times 40\text{ cm}\times 120\text{ cm}\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), o długościach – odpowiednio – 119 cm, 121 cm, 129 cm i 131 cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Prostopadłościan z oznaczonymi wymiarami 120 cm, 40 cm i 30 cm.

tylko od odcinka \(a\).

tylko od odcinków \(a\) i \(b\).

tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\).

od wszystkich czterech danych odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do przekątnej podstawy, a następnie do przekątnej prostopadłościanu, otrzymujemy:

\[p=\sqrt{30^2+40^2+120^2}=\sqrt{16900}=130\text{ cm}\]

2 Porównanie długości

Przekątna jest dłuższa od odcinków a, b i c, ale krótsza od odcinka d.

\[119<121<129<130<131\]

Odpowiedź

Przekątna jest dłuższa tylko od odcinków a, b i c. Odpowiedź C.

\[\boxed{C}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.

\[130^2=16900=30^2+40^2+120^2\]

Zadanie 22

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

\(12\)

\(11\)

\(24\)

\(22\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole kuli

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni kuli o promieniu 2.

\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot 2^2=16\pi\]

2 Pole stożka

Pole całkowite stożka jest trzykrotnością pola kuli. Podstawiamy promień podstawy 2 do wzoru na pole stożka i obliczamy tworzącą.

\[\pi r^2+\pi rl=3P_k\quad\Rightarrow\quad 4\pi+2\pi l=48\pi\quad\Rightarrow\quad l=22\]

Odpowiedź

Tworząca ma długość 22. Odpowiedź D.

\[l=22\]

Sprawdzenie

Dla tworzącej 22 pole stożka wynosi 48π, czyli trzy razy tyle co pole kuli 16π. Tworząca jest też dłuższa od promienia podstawy.

\[4\pi+2\pi\cdot22=48\pi=3\cdot16\pi,\qquad 22>2\]

Zadanie 23

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\) jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa

\(14\)

\(12\)

\(16\)

\(x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości x

Średnia dziesięciu liczb wynosi 12, więc ich suma wynosi 120. Sześć znanych liczb ma sumę 56, a x występuje cztery razy.

\[3+10+5+4x+12+19+7=10\cdot12,\quad 56+4x=120,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu dziesięciu liczb mediana jest średnią piątej i szóstej liczby.

\[3,5,7,10,12,16,16,16,16,19;\qquad \frac{12+16}{2}=14\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 14. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 120, więc ich średnia to 12. Piąta i szósta liczba to 12 i 16, co potwierdza medianę 14.

\[\frac{3+5+7+10+12+16+16+16+16+19}{10}=12,\qquad \frac{12+16}{2}=14\]