Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 50 z 70

Sortuj:

Zadanie 28

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

Trójkąt ABC z punktem S na boku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ACS i BCS mają podstawy AS i SB na tej samej prostej oraz wspólną wysokość opuszczoną z C. Ponieważ S jest środkiem AB, ich pola są równe.

\[AS=SB\quad\Longrightarrow\quad P_{ACS}=P_{BCS}\]

2 Porównanie odległości

Oznaczmy odległości punktów A i B od prostej CS przez d_A i d_B. Obliczamy oba pola, przyjmując CS za podstawę. Równość pól i wspólna długość CS dają tezę.

\[\frac12 CS\cdot d_A=\frac12 CS\cdot d_B\quad\Longrightarrow\quad d_A=d_B\]

Odpowiedź

Odległości punktów A i B od prostej CS są równe.

\[d(A,CS)=d(B,CS)\]

Sprawdzenie

Oba trójkąty mają po połowie pola ABC, a ich wspólna podstawa CS ma dodatnią długość. Zatem równość pól rzeczywiście oznacza równość wysokości, czyli szukanych odległości.

\[P_{ACS}=P_{BCS}=\frac12P_{ABC},\qquad CS>0\]

Zadanie 29

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby \(a>0\) i dla każdej liczby \(b>0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}.\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika

Ponieważ \(a>0\) i \(b>0\), mianownik \(ab(a+b)\) jest dodatni. Obliczamy różnicę stron nierówności, aby ustalić jej znak.

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\]

2 Ocena znaku

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc obliczona różnica jest nieujemna.

\[(a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=b\).

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]

Sprawdzenie

Dla \(a=b>0\) obie strony są równe \(2/a\). Gdy \(a\ne b\), licznik \((a-b)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[a=b\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{a}=\frac{4}{a+b}\]

Zadanie 30

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego wyrazu

Suma dwóch początkowych wyrazów to suma pierwszego i drugiego, więc odejmujemy pierwszy wyraz od tej sumy.

\[a_1=S_1=2,\qquad a_2=S_2-S_1=12-2=10\]

2 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, możemy przez niego podzielić.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{2}=5\]

3 Obliczenie piątego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu geometrycznego.

\[a_5=a_1q^{5-1}=2\cdot5^4=1250\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 5, a piąty wyraz wynosi 1250.

\[q=5,\qquad a_5=1250\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu drugi wyraz wynosi 10, zatem suma dwóch początkowych wyrazów jest równa podanemu 12.

\[a_1+a_2=2+2\cdot5=12=S_2\]

Zadanie 31

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z trzech rzutów ma 6 jednakowo prawdopodobnych wyników, więc liczymy uporządkowane trójki.

\[|\Omega|=6^3=216\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Suma 16 jest o 2 mniejsza od największej możliwej sumy 18. Możemy więc obniżyć wynik jednego rzutu o 2 albo wyniki dwóch rzutów po 1. Każdy przypadek daje 3 ustawienia.

\[(4,6,6):\ 3\ \text{ustawienia},\qquad (5,5,6):\ 3\ \text{ustawienia},\qquad |A|=3+3=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo otrzymania sumy 16 wynosi 1/36.

\[P(A)=\frac{1}{36}\]

Sprawdzenie

Wskazane trójki mają sumę 16, a ich liczba stanowi 6 spośród 216 możliwych wyników. Zatem wynik jest zgodny z obliczeniem.

\[4+6+6=16,\qquad 5+5+6=16,\qquad 216\cdot\frac{1}{36}=6\]

Zadanie 32

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup o podstawie prostokątnej ABCD i wierzchołku S. Punkt O jest przecięciem przekątnych podstawy, odcinek SO jest wysokością, a kąt SAO ma miarę 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Oznaczamy boki prostokąta jako 3x i 4x. Z jego pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=432\Rightarrow12x^2=432\Rightarrow x=6,\quad AB=18,\quad BC=24\]

2 Odległość punktu A od O

Przekątną prostokąta obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Punkt O jest jej środkiem.

\[AC=\sqrt{18^2+24^2}=30,\quad AO=\frac{AC}{2}=15\]

3 Wysokość ostrosłupa

Trójkąt SAO jest prostokątny w O, ponieważ SO jest wysokością. Korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan60^\circ=\frac{SO}{AO}\Rightarrow SO=15\sqrt3\]

4 Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot432\cdot15\sqrt3=2160\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(2160\sqrt3\) jednostek sześciennych.

\[V=2160\sqrt3\]

Sprawdzenie

Boki 18 i 24 dają pole 432 oraz stosunek 3:4. Dla otrzymanej wysokości tangens kąta SAO wynosi √3, więc kąt ma 60°.

\[18\cdot24=432,\quad18:24=3:4,\quad\frac{SO}{AO}=\frac{15\sqrt3}{15}=\sqrt3=\tan60^\circ\]

Zadanie 33

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie jednej zmiennej

Z warunku zadania wyrażamy \(z\) przez \(x\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej.

\[z=1-2x\]

2 Obliczenie maksimum

Po podstawieniu i uzupełnieniu kwadratu widzimy, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy, gdy wynosi zero.

\[x^2+(1-2x)^2+7x(1-2x)=1+3x-9x^2=\frac54-9\left(x-\frac16\right)^2\leq\frac54\]

3 Wyznaczenie wartości zmiennych

Równość zachodzi dla \(x=\frac16\). Obliczamy wtedy \(z\) z podanego warunku.

\[x=\frac16,\qquad z=1-2\cdot\frac16=\frac23\]

Odpowiedź

Największa wartość wyrażenia to \(\frac54\); jest osiągana dla \(x=\frac16\) i \(z=\frac23\).

\[x=\frac16,\quad z=\frac23,\quad \max(x^2+z^2+7xz)=\frac54\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby spełniają warunek, a podstawienie ich do wyrażenia daje \(\frac54\). Dla każdej innej dopuszczalnej wartości \(x\) odejmowany kwadrat jest dodatni, więc wynik jest mniejszy.

\[2\cdot\frac16+\frac23=1,\qquad \left(\frac16\right)^2+\left(\frac23\right)^2+7\cdot\frac16\cdot\frac23=\frac54\]

Zadanie 34

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\angle ACB\) ma miarę \(120^\circ\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z kątem ACB równym 120°, bokiem BC oznaczonym 10 i bokiem AB oznaczonym 10√7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Bok AB leży naprzeciw kąta 120°, więc oznaczamy szukaną długość AC przez x i stosujemy twierdzenie cosinusów. Ponieważ cosinus 120° wynosi −1/2, otrzymujemy równanie:

\[(10\sqrt{7})^2=x^2+10^2-2\cdot x\cdot10\cdot\cos120^\circ=x^2+100+10x\]

2 Rozwiązanie równania

Przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny pierwiastek, ponieważ długość boku musi być dodatnia.

\[700=x^2+10x+100\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+10x-600=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+30)(x-20)=0,\qquad x=20\]

Odpowiedź

Długość boku AC wynosi 20.

\[|AC|=20\]

Sprawdzenie

Dla AC = 20 prawa strona twierdzenia cosinusów wynosi 700, czyli tyle samo co kwadrat podanej długości AB. Wszystkie długości boków są dodatnie.

\[20^2+10^2-2\cdot20\cdot10\cdot\cos120^\circ=400+100+200=700=(10\sqrt7)^2\]

Zadanie 1

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{\sqrt{7}} 7\) jest równa

\(2\)

\(7\)

\(\sqrt{7}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji logarytmu

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 7. Podstawa \(\sqrt{7}\) jest dodatnia i różna od 1.

\[\log_{\sqrt{7}}7=x\iff(\sqrt{7})^x=7\]

2 Wyznaczenie wykładnika

Ponieważ kwadrat pierwiastka z 7 jest równy 7, szukany wykładnik wynosi 2.

\[(\sqrt{7})^2=7\implies x=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[\log_{\sqrt{7}}7=2\]

Sprawdzenie

Podniesienie podstawy logarytmu do otrzymanej potęgi daje 7, więc wynik spełnia definicję.

\[(\sqrt{7})^2=7\]

Zadanie 2

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Kwadrat liczby \(8-3\sqrt{7}\) jest równy

\(127+48\sqrt{7}\)

\(127-48\sqrt{7}\)

\(1-48\sqrt{7}\)

\(1+48\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podnieś liczbę do kwadratu

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(8-3\sqrt{7})^2=8^2-2\cdot8\cdot3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^2\]

2 Oblicz składniki

Korzystamy z równości \((\sqrt{7})^2=7\) i dodajemy liczby całkowite.

\[64-48\sqrt{7}+9\cdot7=127-48\sqrt{7}\]

Odpowiedź

Wynik to \(127-48\sqrt{7}\), czyli odpowiedź B.

\[127-48\sqrt{7}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(3\sqrt{7}<8\), kwadrat jest dodatni. Otrzymany wynik też jest dodatni: \((48\sqrt{7})^2=16128<16129=127^2\), więc \(48\sqrt{7}<127\).

\[0<127-48\sqrt{7}\]

Zadanie 3

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to

\(b-a=26\)

\(b-a=64\)

\(a-b=26\)

\(a-b=64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Dzielimy 177 przez 75%, aby znaleźć całą liczbę a.

\[a=\frac{177}{0{,}75}=236\]

2 Obliczenie liczby b

Dzielimy 177 przez 59%, aby znaleźć całą liczbę b.

\[b=\frac{177}{0{,}59}=300\]

3 Porównanie liczb

Odejmujemy mniejszą liczbę od większej, aby wskazać pasującą odpowiedź.

\[b-a=300-236=64\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: b − a = 64.

\[b-a=64\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki zadania: 75% z 236 i 59% z 300 wynosi 177.

\[0{,}75\cdot236=177,\qquad 0{,}59\cdot300=177\]

Zadanie 4

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie

jedno rozwiązanie: \(x=1\).

dwa rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-1\).

dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).

dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{5}\) i \(x=-1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby zastosować zasadę iloczynu równego zeru, wyłączamy wspólny czynnik.

\[x(5x+1)-(5x+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-1)(5x+1)=0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x-1=0\;\lor\;5x+1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\;\lor\;x=-\frac{1}{5}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź C.

\[x=1\;\lor\;x=-\frac{1}{5}\]

Sprawdzenie

Dla obu wartości lewa i prawa strona równania są równe. Rozkład na dwa czynniki liniowe wyklucza inne rozwiązania.

\[x=1:\;1(5\cdot1+1)=6=5\cdot1+1;\qquad x=-\frac{1}{5}:\;-\frac{1}{5}\left(5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+1\right)=0=5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+1\]

Zadanie 5

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}-x+12y=a^2\\2x+ay=9\end{cases}\) dla

\(a=\frac{7}{3}\)

\(a=-3\)

\(a=3\)

\(a=-\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Ponieważ podana para jest rozwiązaniem, musi spełniać pierwsze równanie. Stąd wyznaczamy możliwe wartości parametru.

\[-3+12\cdot1=a^2\quad\Longrightarrow\quad a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

2 Podstawienie do drugiego równania

Drugi warunek wskazuje, która z tych wartości pasuje do całego układu.

\[2\cdot3+a\cdot1=9\quad\Longrightarrow\quad 6+a=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, a = 3.

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla a = 3 oraz x = 3, y = 1 lewa strona pierwszego równania wynosi 9, czyli a², a lewa strona drugiego wynosi 9. Oba równania są spełnione.

\[-3+12\cdot1=9=3^2,\qquad 2\cdot3+3\cdot1=9\]

Zadanie 6

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie

jedno rozwiązanie: \(x=2\).

jedno rozwiązanie: \(x=-2\).

dwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\).

dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy wartość 4.

\[(x-4)^2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 4\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x-2)(x+4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\ \text{lub}\ x=-4\]

3 Wybór odpowiedzi

Obie otrzymane wartości należą do dziedziny, więc równanie ma dwa rozwiązania.

\[x\in\{-4,2\}\]

Odpowiedź

C — dwa rozwiązania: x = 2 i x = −4.

\[x\in\{-4,2\}\]

Sprawdzenie

Dla obu wartości licznik wynosi zero, a mianownik jest dodatni: odpowiednio 4 i 64. Obie spełniają równanie.

\[x=2:\ \frac{0}{(2-4)^2}=0;\qquad x=-4:\ \frac{0}{(-4-4)^2}=0\]

Zadanie 7

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=9-(3-x)^2\) są liczby

\(0\) oraz \(3\)

\(-6\) oraz \(6\)

\(0\) oraz \(-6\)

\(0\) oraz \(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wzór na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby łatwo wyznaczyć miejsca zerowe.

\[f(x)=3^2-(3-x)^2=(3-(3-x))(3+(3-x))=x(6-x)\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x(6-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=6\]

Odpowiedź

Miejsca zerowe to 0 oraz 6. Odpowiedź D.

\[x_1=0,\quad x_2=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu liczb do podanego wzoru otrzymujemy zero.

\[f(0)=9-3^2=0,\qquad f(6)=9-(-3)^2=0\]

Zadanie 8

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,1)\).

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół, z wierzchołkiem W=(1,1), osiami x i y oraz siatką współrzędnych.

\(( -\infty,0\rangle\)

\(\langle 0,2\rangle\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\(( -\infty,1\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największej wartości

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku W=(1,1).

\[g(1)=1,\qquad g(x)\leq 1\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, więc jej ramiona biegną nieograniczenie w dół. Funkcja przyjmuje zatem wszystkie wartości nie większe od 1.

\[Z_g=(-\infty,1]\]

Odpowiedź

Przedział od minus nieskończoności do 1 włącznie — odpowiedź D.

\[(-\infty,1]\]

Sprawdzenie

Wartość 1 należy do zbioru wartości, ponieważ g(1)=1. Żadna wartość większa od 1 do niego nie należy, gdyż wierzchołek jest najwyższym punktem paraboli.

\[g(1)=1=\max g\]