Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 49 z 70

Sortuj:

Zadanie 13

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \(2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ\) jest równa

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana funkcji kąta dopełniającego

Ponieważ kąty 72° i 18° sumują się do 90°, możemy zapisać sinus 72° jako cosinus 18°.

\[\sin 72^\circ=\cos 18^\circ\]

2 Obliczenie wartości

Grupujemy równe składniki i korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ=2\sin^2 18^\circ+2\cos^2 18^\circ=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź C.

\[2\]

Sprawdzenie

Po odjęciu jednej pary składników \(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ\) pozostaje druga taka sama para. Każda para ma wartość 1, więc suma wynosi 2.

\[(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)+(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)=1+1=2\]

Zadanie 14

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki \(AB\) i \(SC\) są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ\) (zobacz rysunek). Wtedy

Okrąg o środku S z punktami B, C i D na okręgu oraz punktem A poza nim. Zaznaczono odcinki, promienie r, kąt 34° przy C i kąt α przy A.

\(\alpha=12^\circ\)

\(\alpha=17^\circ\)

\(\alpha=22^\circ\)

\(\alpha=34^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCS

Ponieważ SB i SC są promieniami okręgu, trójkąt BCS jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie BC są równe.

\[\angle SBC=\angle BCS=34^\circ\]

2 Kąt przy punkcie B

Punkty A, B i C leżą na jednej prostej, więc kąty ABS i SBC są przyległe.

\[\angle ABS=180^\circ-34^\circ=146^\circ\]

3 Obliczenie kąta α

Z warunku AB=SC oraz równości promieni SC=SB wynika AB=SB. Trójkąt ABS jest więc równoramienny, a jego kąty przy podstawie AS są równe.

\[\alpha=\angle BAS=\frac{180^\circ-146^\circ}{2}=17^\circ\]

Odpowiedź

α = 17°, odpowiedź B.

\[\boxed{\alpha=17^\circ}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ABS sumują się do 180°, a oba kąty przy podstawie mają po 17°, zgodnie z równością AB=SB.

\[17^\circ+17^\circ+146^\circ=180^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe

\(5\)

\(10\)

\(15\)

\(20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Ponieważ A jest początkiem układu współrzędnych, pole trójkąta jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów AB i AC.

\[P=\frac12\left|4\cdot6-2\cdot2\right|=\frac12\cdot20=10\]

Odpowiedź

Pole wynosi 10 jednostek kwadratowych. Odpowiedź B.

\[P=10\]

Sprawdzenie

Podstawa AB ma długość 2√5, a wysokość opuszczona z C na prostą AB ma długość 2√5. Ich iloczyn podzielony przez 2 daje 10.

\[|AB|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5,\quad h=\frac{|2-2\cdot6|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=2\sqrt5,\quad P=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot2\sqrt5=10\]

Zadanie 16

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\angle AOB|=70^\circ\), \(|\angle OAC|=25^\circ\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\angle OBC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C; odcinki OA, OB, AC i BC, kąty 70° i 25° oraz szukany kąt przy B.

\(\alpha=25^\circ\)

\(\alpha=60^\circ\)

\(\alpha=70^\circ\)

\(\alpha=85^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy środku

Ponieważ OA i OC są promieniami, trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają po 25°.

\[\angle AOC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ\]

2 Kąt BOC

Cięciwa AC przecina promień OB, więc promień OB leży wewnątrz kąta AOC. Odejmujemy kąt AOB.

\[\angle BOC=130^\circ-70^\circ=60^\circ\]

3 Szukany kąt

OB i OC są promieniami, zatem trójkąt BOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle OBC=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\]

Odpowiedź

Kąt OBC ma miarę 60°. Odpowiedź B.

\[\alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie BOC otrzymujemy trzy kąty po 60°, więc ich suma wynosi 180°.

\[60^\circ+60^\circ+60^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot|BS|\). Wówczas

\(S=(8,6)\)

\(S=(9,8)\)

\(S=(10,10)\)

\(S=(13,16)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie położenia punktu S

Ponieważ S leży wewnątrz odcinka i |AS|=3|BS|, odcinek AS stanowi trzy czwarte odcinka AB.

\[\frac{|AS|}{|AB|}=\frac{3}{3+1}=\frac34\]

2 Obliczenie współrzędnych

Przesuwamy się od A o trzy czwarte wektora AB.

\[S=A+\frac34(B-A)=(7,4)+\frac34(4,8)=(10,10)\]

Odpowiedź

Punkt S ma współrzędne (10,10). Odpowiedź C.

\[S=(10,10)\]

Sprawdzenie

Punkt S leży wewnątrz odcinka, bo użyty ułamek jest między 0 a 1. Długości AS i BS są w wymaganym stosunku 3:1.

\[|AS|=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5,\quad |BS|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\]

Zadanie 18

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa

\(14\)

\(12\)

\(10\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość od prostej pionowej

Odległość punktu od prostej \(x=4\) jest różnicą ich współrzędnych \(x\) w wartości bezwzględnej.

\[d_1=|-4-4|=8\]

2 Odległość od prostej poziomej

Odległość punktu od prostej \(y=-4\) jest różnicą ich współrzędnych \(y\) w wartości bezwzględnej.

\[d_2=|2-(-4)|=6\]

3 Obliczenie sumy

Dodajemy obie odległości.

\[d_1+d_2=8+6=14\]

Odpowiedź

Suma odległości wynosi 14. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Punkty (4, 2) i (-4, -4) leżą na wskazanych prostych. Odcinki łączące je z punktem A są prostopadłe do tych prostych i mają długości odpowiednio 8 oraz 6, więc ich suma wynosi 14.

\[|4-(-4)|+|2-(-4)|=8+6=14\]

Zadanie 19

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

\(48\text{ cm}^2\)

\(64\text{ cm}^2\)

\(384\text{ cm}^2\)

\(512\text{ cm}^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość krawędzi

Sześcian ma 12 krawędzi jednakowej długości, więc sumę ich długości dzielimy przez 12.

\[a=\frac{96\text{ cm}}{12}=8\text{ cm}\]

2 Pole powierzchni całkowitej

Sześcian ma 6 kwadratowych ścian, każda o polu \(a^2\).

\[P_c=6a^2=6\cdot(8\text{ cm})^2=384\text{ cm}^2\]

Odpowiedź

C. Pole powierzchni całkowitej wynosi 384 cm².

\[P_c=384\text{ cm}^2\]

Sprawdzenie

Dwanaście krawędzi po 8 cm ma łącznie 96 cm, zgodnie z treścią zadania.

\[12\cdot8\text{ cm}=96\text{ cm}\]

Zadanie 20

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44^\circ\). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę

\(78^\circ\)

\(34^\circ\)

\(68^\circ\)

\(102^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta przy podstawie

Ponieważ \(AC=BC\), kąty przy podstawie są równe. Kąt między ramionami leży przy wierzchołku \(C\).

\[\angle BAC=\angle ABC=\frac{180^\circ-44^\circ}{2}=68^\circ\]

2 Zastosowanie dwusiecznej

Dwusieczna \(AD\) dzieli kąt przy wierzchołku \(A\) na dwie równe części.

\[\angle CAD=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ\]

3 Obliczenie szukanego kąta

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), więc \(\angle ACD=44^\circ\). Korzystamy z sumy kątów trójkąta \(ACD\).

\[\angle ADC=180^\circ-34^\circ-44^\circ=102^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ADC ma miarę 102°. Odpowiedź D.

\[\angle ADC=102^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ACD sumują się do 180°.

\[34^\circ+44^\circ+102^\circ=180^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

\(60\)

\(45\)

\(30\)

\(15\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Liczby dwucyfrowe należą do przedziału od 10 do 99. Pierwszą i ostatnią wielokrotnością 6 w tym przedziale są 12 i 96.

\[12=2\cdot 6,\qquad 96=16\cdot 6\]

2 Policzenie wielokrotności

Każdej szukanej liczbie odpowiada jedna liczba całkowita od 2 do 16, więc liczymy te liczby wraz z końcami.

\[16-2+1=15\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 15. Odpowiedź D.

\[15\]

Sprawdzenie

Poprzednia wielokrotność 6 to 6, czyli liczba jednocyfrowa, a następna po 96 to 102, czyli liczba trzycyfrowa. Uwzględniono więc wszystkie dwucyfrowe wielokrotności 6.

\[6<10\leq 12,\qquad 96\leq 99<102\]

Zadanie 22

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości 4. Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).

Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe

Ostrosłup o podstawie kwadratowej ABCD i wierzchołku S. Krawędź DS jest oznaczona długością 3, a krawędź AB długością 4. Krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

\(20\)

\(10\)

\(16\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości ściany BCS

W kwadracie \(DC\perp BC\), a ponieważ \(DS\perp ABCD\), także \(DS\perp BC\). Zatem \(SC\perp BC\) i jest wysokością trójkąta \(BCS\). Trójkąt \(DCS\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SC\).

\[SC=\sqrt{DC^2+DS^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\]

2 Obliczenie pola

Bok \(BC\) ma długość 4. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

\[P_{BCS}=\frac12\cdot BC\cdot SC=\frac12\cdot4\cdot5=10\]

Odpowiedź

Pole ściany BCS wynosi 10. Pasuje odpowiedź B.

\[P_{BCS}=10\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość 5 spełnia twierdzenie Pitagorasa: \(3^2+4^2=5^2\). Podstawienie jej do wzoru na pole daje \(\frac12\cdot4\cdot5=10\).

\[3^2+4^2=5^2,\qquad \frac12\cdot4\cdot5=10\]

Zadanie 23

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy

Sześcian ABCDEFGH z przekątnymi AC i BD dolnej ściany, punktem ich przecięcia P oraz odcinkiem PH. Niewidoczne krawędzie są zaznaczone linią przerywaną.

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

\(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

Punkt H leży pionowo nad D, więc rzutem odcinka PH na płaszczyznę ABCD jest PD. Szukany kąt to kąt HPD.

\[HD\perp(ABCD),\qquad \tan\angle HPD=\frac{HD}{PD}\]

2 Obliczenie tangensa

Jeśli krawędź sześcianu ma długość a>0, to HD=a. Przekątna kwadratu ABCD ma długość a√2, a P jest jej środkiem.

\[PD=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \tan\angle HPD=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ PD jest krótsze od HD, tangens musi być większy od 1; otrzymana wartość √2 spełnia ten warunek. Obliczenie obowiązuje dla każdej krawędzi a>0.

\[\frac{HD}{PD}=\frac{a}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1\]

Zadanie 24

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa

\(36\pi\sqrt{2}\)

\(108\pi\sqrt{2}\)

\(54\pi\)

\(108\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Bok przekroju

Przekrój osiowy jest kwadratem, więc z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy jego bok z przekątnej.

\[a^2+a^2=12^2,\quad 2a^2=144,\quad a=6\sqrt{2}\]

2 Wymiary walca

Boki przekroju osiowego są wysokością walca i średnicą jego podstawy.

\[h=a=6\sqrt{2},\quad 2r=a,\quad r=3\sqrt{2}\]

3 Objętość

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość walca.

\[V=\pi r^2h=\pi(3\sqrt{2})^2\cdot6\sqrt{2}=108\pi\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[V=108\pi\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Przekrój o bokach równych wysokości i średnicy ma przekątną 12, zgodną z treścią zadania.

\[\sqrt{h^2+(2r)^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\]

Zadanie 25

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,\ldots,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{2}{7}\)

\(\frac{6}{19}\)

\(\frac{3}{10}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Liczymy wszystkie liczby naturalne od 20 do 40 włącznie.

\[40-20+1=21\]

2 Liczby podzielne przez 4

Wypisujemy wielokrotności 4 należące do podanego zbioru.

\[20,24,28,32,36,40\quad\Rightarrow\quad 6\text{ liczb}\]

3 Prawdopodobieństwo

Przy losowaniu jednej liczby każda z 21 liczb ma jednakową szansę, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 2/7. Odpowiedź B.

\[\boxed{\frac{2}{7}}\]

Sprawdzenie

Kolejne liczby podzielne przez 4 od 20 do 40 różnią się o 4, więc jest ich (40−20)/4+1=6. Razem z pozostałymi 15 liczbami daje to 21 możliwych wyników.

\[\frac{40-20}{4}+1=6,\qquad 6+15=21\]

Zadanie 26

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)>7x+2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby porównać iloczyn z zerem, odejmujemy \(7x+2\) od obu stron.

\[x(7x+2)-(7x+2)>0\]

2 Wyłącz wspólny czynnik

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak.

\[(x-1)(7x+2)>0\]

3 Wyznacz przedziały rozwiązań

Czynniki zerują się dla \(x=1\) i \(x=-\frac{2}{7}\). Oba są ujemne dla \(x<-\frac{2}{7}\), a oba dodatnie dla \(x>1\).

\[x\in\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\cup(1,\infty)\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma wskazanych przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\cup(1,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\), leżącego między miejscami zerowymi, iloczyn wynosi \(-2<0\). Na obu wyznaczonych przedziałach czynniki mają ten sam znak, więc iloczyn jest dodatni. Miejsca zerowe są wykluczone, ponieważ nierówność jest ostra.

\[(0-1)(7\cdot0+2)=-2<0\]

Zadanie 27

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}=x-3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy tę wartość.

\[x-3\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 3\]

2 Uproszczenie równania

Rozkładamy licznik na czynniki i skracamy przez niezerowe \(x-3\).

\[\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}=\frac{(3x+1)(x-3)}{x-3}=3x+1\]

3 Wyznaczenie liczby

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[3x+1=x-3\quad\Longrightarrow\quad 2x=-4\quad\Longrightarrow\quad x=-2\]

Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem jest \(x=-2\).

\[x=-2\]

Sprawdzenie

Liczba \(-2\) należy do dziedziny. Po podstawieniu obie strony równania są równe \(-5\).

\[\frac{3(-2)^2-8(-2)-3}{-2-3}=\frac{25}{-5}=-5=-2-3\]