Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 48 z 70

Sortuj:

Zadanie 32

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość 12, a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą 10. Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z podstawą AB oznaczoną 12 i ramionami oznaczonymi 10. Punkt D leży na ramieniu BC. Odcinek AD tworzy z AC kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z C dzieli podstawę na odcinki długości 6. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[h=\sqrt{10^2-6^2}=8\]

2 Obliczenie długości środkowej

Przyjmujemy A=(0,0), B=(12,0) i C=(6,8). Ponieważ D jest środkiem BC, ma współrzędne (9,4).

\[D=\left(\frac{12+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(9,4),\qquad AD=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\]

3 Obliczenie sinusa kąta

Odcinki BD i CD są równe, więc trójkąt ACD ma połowę pola ABC. Korzystamy też ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{12\cdot8}{2}=24,\qquad 24=\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Odpowiedź

Sinus kąta α wynosi \(\frac{24}{5\sqrt{97}}\).

\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Sprawdzenie

Podstawienie wyniku do wzoru na pole daje 24, czyli połowę pola trójkąta ABC. Ponadto otrzymany sinus jest mniejszy od 1.

\[\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}=24,\qquad \frac{24^2}{25\cdot97}=\frac{576}{2425}<1\]

Zadanie 33

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie tworzącej

Pole boczne stożka wynosi \(\pi r l\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej zależności i warunku \(r>0\) otrzymujemy długość tworzącej.

\[\pi r l=3\pi r^2\quad\Rightarrow\quad l=3r\]

2 Obliczenie promienia

Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[l^2=r^2+h^2\quad\Rightarrow\quad (3r)^2=r^2+12^2\quad\Rightarrow\quad 8r^2=144\quad\Rightarrow\quad r^2=18\]

3 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot18\cdot12=72\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi \(72\pi\) jednostek sześciennych.

\[V=72\pi\]

Sprawdzenie

Dla dodatniego promienia \(r=3\sqrt{2}\) tworząca wynosi \(l=9\sqrt{2}\), zatem stosunek pola bocznego do pola podstawy jest równy 3. Z twierdzenia Pitagorasa wysokość wynosi 12.

\[\frac{\pi r l}{\pi r^2}=\frac{l}{r}=3,\qquad \sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{162-18}=12\]

Zadanie 34

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Symetralna jest prostopadła do odcinka \(PQ\). Prosta o współczynniku kierunkowym \(-2\) jest prostopadła do prostej o współczynniku \(\frac12\). Dla \(Q=(a,b)\) otrzymujemy:

\[b-5=\frac12(a-4),\quad b=\frac12a+3.\]

2 Warunek środka odcinka

Środek odcinka \(PQ\) leży na symetralnej, więc jego współrzędne spełniają równanie danej prostej.

\[\frac{5+b}{2}=-2\cdot\frac{4+a}{2}+7,\quad b=1-2a.\]

3 Wyznaczenie punktu

Porównujemy otrzymane wyrażenia na \(b\), a następnie obliczamy drugą współrzędną.

\[\frac12a+3=1-2a\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac45,\qquad b=1-2\left(-\frac45\right)=\frac{13}{5}.\]

Odpowiedź

Punkt Q ma współrzędne \(\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\).

\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka leży na podanej prostej. Współczynnik kierunkowy odcinka wynosi \(\frac12\), a iloczyn współczynników prostych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[S=\left(\frac85,\frac{19}{5}\right),\quad -2\cdot\frac85+7=\frac{19}{5},\qquad \frac{\frac{13}{5}-5}{-\frac45-4}=\frac12,\quad (-2)\cdot\frac12=-1.\]

Zadanie 1

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^{2}-2x-3)\cdot(x^{2}-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba

\(-3\)

\(-1\)

\(1\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy liczbę 1.

\[x-1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1\]

2 Rozłożenie licznika na czynniki

Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x^{2}-2x-3)(x^{2}-9)=(x-3)(x+1)(x-3)(x+3)=0\]

3 Odczytanie rozwiązań

Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem. Wszystkie otrzymane liczby należą do dziedziny.

\[x\in\{-3,-1,3\}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania nie jest liczba 1 — odpowiedź C.

\[\boxed{\mathrm{C}:\ 1}\]

Sprawdzenie

Dla liczb −3, −1 i 3 licznik jest zerem, a mianownik odpowiednio wynosi −4, −2 i 2. Dla liczby 1 mianownik jest zerem, więc wyrażenie nie jest określone.

\[(-3)-1=-4\neq 0,\quad(-1)-1=-2\neq 0,\quad 3-1=2\neq 0,\quad 1-1=0\]

Zadanie 2

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\log_{3}27}{\log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa

\(-\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(-2\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg trójki

Dzięki temu można zastosować wzór na logarytm potęgi.

\[27=3^3,\qquad \sqrt{27}=3^{\frac32}\]

2 Obliczenie ilorazu

Ponieważ \(\log_3 3^a=a\), licznik wynosi \(3\), a mianownik \(\frac32\).

\[\frac{\log_3 27}{\log_3\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac32}=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, bo logarytm z \(3^{3/2}\) wynosi \(3/2\). Otrzymany wynik odpowiada opcji B.

\[\log_3\sqrt{27}=\frac32\ne 0\]

Zadanie 3

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jedną z liczb spełniających nierówność \((x-6)\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+4)\cdot(x+10)>0\) jest

\(-5\)

\(0\)

\(3\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie odpowiedzi A

Podstawiamy \(-5\), aby ustalić znak iloczynu. Dwa czynniki są ujemne, a pozostałe dodatnie, więc iloczyn jest dodatni.

\[(-5-6)(-5-2)^2(-5+4)(-5+10)=(-11)\cdot49\cdot(-1)\cdot5=2695>0\]

Odpowiedź

Liczba \(-5\), czyli odpowiedź A.

\[x=-5\]

Sprawdzenie

Dla pozostałych odpowiedzi iloczyn jest ujemny: przy \(x=0,3,5\) czynnik \(x-6\) jest ujemny, a wszystkie pozostałe czynniki są dodatnie. Żadna z tych liczb nie spełnia nierówności.

\[x\in\{0,3,5\}\implies (x-6)(x-2)^2(x+4)(x+10)<0\]

Zadanie 4

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że

\(b=\frac{1}{4}a\)

\(b=\frac{1}{3}a\)

\(b=\frac{1}{2}a\)

\(b=\frac{2}{3}a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby jako ułamka

Oznaczamy licznik przez \(m\), a niezerowy mianownik przez \(n\), aby obliczyć wpływ zmian procentowych.

\[a=\frac{m}{n},\quad n\ne 0\]

2 Obliczenie nowej wartości

Zmniejszenie licznika o 50% daje \(\frac{m}{2}\), a zwiększenie mianownika o 50% daje \(\frac{3n}{2}\).

\[b=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{3n}{2}}=\frac{m}{3n}=\frac{1}{3}a\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[b=\frac{1}{3}a\]

Sprawdzenie

Nowy licznik stanowi połowę poprzedniego, a nowy mianownik jest półtora raza większy. Ich iloraz stanowi więc jedną trzecią pierwotnej liczby. Ponieważ \(n\ne 0\), przekształcenie jest poprawne.

\[\frac{b}{a}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 5

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że

\(a=-\frac{41}{3}\)

\(a=\frac{41}{3}\)

\(a=-\frac{47}{3}\)

\(a=\frac{47}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

W miejscu zerowym wartość funkcji wynosi zero, więc podstawiamy \(x=\frac{3}{4}\).

\[f\left(\frac{3}{4}\right)=0\quad\Longrightarrow\quad (a+1)\cdot\frac{3}{4}+11=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Odejmujemy 11, mnożymy obie strony przez \(\frac{4}{3}\), a następnie odejmujemy 1.

\[a+1=-11\cdot\frac{4}{3}=-\frac{44}{3},\qquad a=-\frac{44}{3}-1=-\frac{47}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[a=-\frac{47}{3}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości parametru funkcja ma miejsce zerowe równe \(\frac{3}{4}\).

\[f\left(\frac{3}{4}\right)=\left(-\frac{47}{3}+1\right)\cdot\frac{3}{4}+11=-11+11=0\]

Zadanie 6

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek

\(m>\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(m>1-\sqrt{5}\)

\(m<\sqrt{5}-1\)

\(m<\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek rosnącej funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy x jest dodatni.

\[m\sqrt{5}-1>0\]

2 Wyznaczenie m

Dodajemy 1 do obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę \(\sqrt{5}\), więc znak nierówności się nie zmienia.

\[m\sqrt{5}>1\quad\Longleftrightarrow\quad m>\frac{1}{\sqrt{5}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m>\frac{1}{\sqrt{5}}\).

\[m>\frac{1}{\sqrt{5}}\]

Sprawdzenie

Na granicy \(m=\frac{1}{\sqrt{5}}\) współczynnik przy x wynosi 0, więc funkcja jest stała. Dla większych m współczynnik jest dodatni, a funkcja rosnąca.

\[\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}-1=0\]

Zadanie 7

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}2x-y=2\\x+my=1\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=\frac{1}{2}\)

\(m=-\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek nieskończenie wielu rozwiązań

Oba równania muszą opisywać tę samą prostą. Dzielimy pierwsze równanie przez 2, aby porównać je z drugim.

\[2x-y=2\quad\Longleftrightarrow\quad x-\frac{1}{2}y=1\]

2 Porównanie współczynników

Współczynnik przy y w drugim równaniu musi wynosić tyle samo co w przekształconym pierwszym równaniu.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=-\frac{1}{2}\).

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu tej wartości oba równania są równoważne. Dla każdego \(y=t\) otrzymujemy \(x=1+\frac{t}{2}\), więc rozwiązań jest nieskończenie wiele.

\[(x,y)=\left(1+\frac{t}{2},t\right),\quad t\in\mathbb{R}\]

Zadanie 8

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.

Równanie \(f(x)=-1\) ma

Wykres funkcji w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami, punktami B i C oraz niezamalowanym punktem na osi y.

dokładnie jedno rozwiązanie.

dokładnie dwa rozwiązania.

dokładnie trzy rozwiązania.

nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt poziomu

Rozwiązaniami równania są argumenty punktów wykresu leżących na wysokości −1.

\[f(x)=-1\]

2 Wskazanie odcinka

Odcinek łączący punkty B i C jest poziomy, więc dla każdego argumentu od 2 do 4 funkcja ma wartość −1.

\[x\in[2,4]\implies f(x)=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Odpowiedź D.

\[\boxed{\text{D — nieskończenie wiele rozwiązań}}\]

Sprawdzenie

Na przykład punkty o argumentach 2, 3 i 4 leżą na tym odcinku i mają rzędną −1; tak samo jest dla każdego argumentu pomiędzy 2 a 4.

\[f(2)=f(3)=f(4)=-1\]

Zadanie 9

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe

\(8\)

\(7\)

\(6\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc jego różnica \(r\) jest dodatnia. Każdy wyraz zapisujemy za pomocą \(a_1\) i \(r\).

\[a_n=a_1+(n-1)r,\quad r>0\]

2 Wyznaczenie indeksu

Podstawiamy wzór do podanej równości. Ponieważ \(r>0\), możemy podzielić obie strony przez \(r\).

\[(a_1+r)+(a_1+8r)=(a_1+3r)+(a_1+(k-1)r)\quad\Longrightarrow\quad 9r=(k+2)r\quad\Longrightarrow\quad k=7\]

Odpowiedź

B. \(k=7\).

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla \(k=7\) obie strony równości wynoszą \(2a_1+9r\), a indeks \(7\) jest liczbą naturalną.

\[a_2+a_9=2a_1+9r=a_4+a_7\]

Zadanie 10

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu \((a_n)\) określonym dla każdej liczby \(n\geq 1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy

\(a_5=-54\)

\(a_5=-27\)

\(a_5=27\)

\(a_5=54\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie indeksu

Aby obliczyć piąty wyraz, podstawiamy do warunku n=2, ponieważ n+3=5. Wartość ta spełnia warunek n≥1.

\[n+3=5\quad\Rightarrow\quad n=2\]

2 Obliczenie wyrazu

Podstawiamy n=2 i obliczamy potęgę.

\[a_5=-2\cdot 3^{2+1}=-2\cdot 27=-54\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a₅ = −54.

\[a_5=-54\]

Sprawdzenie

Dla n=2 lewa strona warunku to a₅, a prawa to −2·3³=−54, więc wynik spełnia podany warunek.

\[a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1}=-54\]

Zadanie 11

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe

\(5x^2-12x-5\)

\(5x^2-13\)

\(5x^2-12x+13\)

\(5x^2+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby usunąć pierwszy nawias.

\[(3x-2)^2=9x^2-12x+4\]

2 Oblicz iloczyn

Nawiasy tworzą różnicę kwadratów.

\[(2x-3)(2x+3)=4x^2-9\]

3 Uprość wyrażenie

Odejmujemy cały iloczyn, więc zmieniamy znaki jego wyrazów, a następnie łączymy wyrazy podobne.

\[9x^2-12x+4-(4x^2-9)=5x^2-12x+13\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5x^2-12x+13\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 wyrażenie z zadania i otrzymany wzór dają tę samą wartość 6.

\[(3-2)^2-(2-3)(2+3)=6,\qquad 5-12+13=6\]

Zadanie 12

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\) oraz wiadomo, że \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2\) jest równa

\(\frac{15}{4}\)

\(\frac{9}{4}\)

\(\frac{27}{8}\)

\(\frac{21}{8}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2=\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha+2=3-2\sin\alpha\cos\alpha\]

2 Podstaw daną wartość

Podstawiamy iloczyn podany w treści zadania.

\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{15}{4}\). Odpowiedź A.

\[\frac{15}{4}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{8}<0\) i \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\), kąt leży w II ćwiartce, gdzie taki znak iloczynu jest możliwy. Ponowne podstawienie do postaci \(3-2\sin\alpha\cos\alpha\) daje \(\frac{15}{4}\).

\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=\frac{15}{4}\]