Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 47 z 70

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

\(\cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{5}}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2=1-\frac45=\frac15\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Kwadraty otrzymanego cosinusa i podanego sinusa sumują się do 1, a cosinus jest dodatni, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^2=\frac45+\frac15=1\]

Zadanie 18

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dane dwa wyrazy: \(a_1=2\) i \(a_2=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

\(a_n=3n-1\)

\(a_n=3n+2\)

\(a_n=2n+3\)

\(a_n=2n-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica kolejnych wyrazów.

\[r=a_2-a_1=5-2=3\]

2 Wyznaczenie wzoru

Podstawiamy pierwszy wyraz i różnicę do wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_n=a_1+(n-1)r=2+3(n-1)=3n-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a_n=3n-1\]

Sprawdzenie

Dla n=1 wzór daje 2, a dla n=2 daje 5, zgodnie z danymi.

\[a_1=3\cdot1-1=2,\qquad a_2=3\cdot2-1=5\]

Zadanie 19

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x=-3\) przyjmuje wartość

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Wstawiamy \(-3\) w miejsce \(x\).

\[f(-3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\]

2 Obliczenie potęgi

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim.

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{1}\right)^3=8\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartość 8. Odpowiedź D.

\[f(-3)=8\]

Sprawdzenie

Kontrola: iloczyn wartości dla przeciwnych wykładników wynosi 1.

\[f(-3)\cdot f(3)=8\cdot\frac{1}{8}=1\]

Zadanie 20

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

\(x\)	\(a\)	\(3\)	\(8\)
\(y\)	\(36\)	\(24\)	\(b\)

Stąd wynika, że

\(a=6,\ b=22{,}5\)

\(a=\frac{4}{3},\ b=6\)

\(a=3,\ b=96\)

\(a=2,\ b=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stałego iloczynu

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn odpowiadających sobie wartości jest stały. Korzystamy ze znanej pary z tabeli.

\[xy=3\cdot24=72\]

2 Obliczenie niewiadomych

Każdą brakującą wartość wyznaczamy z warunku, że iloczyn w jej kolumnie wynosi 72.

\[36a=72\Rightarrow a=2,\qquad 8b=72\Rightarrow b=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = 2, b = 9.

\[a=2,\quad b=9\]

Sprawdzenie

W każdej kolumnie iloczyn x i y jest równy 72.

\[2\cdot36=3\cdot24=8\cdot9=72\]

Zadanie 21

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

\(y=2x\) i \(y=-\frac{1}{2}\)

\(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2\) i \(y=-2x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych różnych od zera są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi \(-1\).

\[a_1a_2=-1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi B

Współczynniki kierunkowe podanych prostych to \(-2\) oraz \(\frac{1}{2}\). Ich iloczyn spełnia warunek prostopadłości.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\]

Odpowiedź

B — proste \(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\).

\[y=-2x\quad\text{i}\quad y=\frac{1}{2}x\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C iloczyn współczynników wynosi \(1\). W odpowiedziach A i D jedna prosta jest pozioma, a druga nie jest pionowa. Żadna z tych par nie jest prostopadła.

\[2\cdot\frac{1}{2}=1\ne-1\]

Zadanie 22

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są punkty \(A=(4,1)\), \(B=(1,3)\), \(C=(4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(6\)

\(8\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór podstawy

Punkty A i C mają tę samą pierwszą współrzędną, więc odcinek AC jest pionowy, a jego długość wynosi 2.

\[|AC|=|1-(-1)|=2\]

2 Obliczenie wysokości i pola

Wysokość opuszczona z punktu B to jego odległość od prostej x=4, czyli 3. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|4-1|=3,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 3. Odpowiedź A.

\[P=3\]

Sprawdzenie

Odcinek AC ma długość 2, a punkt B leży 3 jednostki od prostej zawierającej AC. Połowa pola prostokąta o tych bokach wynosi 3, zgodnie z obliczeniem.

\[\frac{2\cdot 3}{2}=3\]

Zadanie 23

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?

\(506\)

\(505\)

\(256\)

\(255\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejszą liczbą czterocyfrową jest 1000, a największą mniejszą od 2020 i podzielną przez 4 jest 2016.

\[1000\le n<2020,\qquad 2016=4\cdot504\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 4 różnią się o 4. Dzielimy różnicę między skrajnymi liczbami przez 4 i doliczamy pierwszy wyraz.

\[\frac{2016-1000}{4}+1=255\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 255. Odpowiedź D.

\[255\]

Sprawdzenie

Liczba 2016 jest ostatnią uwzględnioną: następna, 2020, nie spełnia warunku „mniejsza od 2020”. Licząc 255 liczb od 1000 co 4, otrzymujemy na końcu 2016.

\[1000+(255-1)\cdot4=2016,\qquad 2016+4=2020\]

Zadanie 24

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

dziewięciokąt.

ośmiokąt.

osiemnastokąt.

dziesięciokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki brył

Jeśli podstawa jest n-kątem, graniastosłup ma dwie takie podstawy, a ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek poza nią.

\[W_g=2n,\qquad W_o=n+1\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Różnica liczby wierzchołków wynosi 9, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[2n-(n+1)=9\quad\Longrightarrow\quad n-1=9\quad\Longrightarrow\quad n=10\]

Odpowiedź

Podstawą jest dziesięciokąt — odpowiedź D.

\[n=10\]

Sprawdzenie

Graniastosłup ma 20 wierzchołków, a ostrosłup 11; ich różnica rzeczywiście wynosi 9.

\[20-11=9\]

Zadanie 25

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

\(6\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{2}\)

\(12\sqrt{2}\)

\(8\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości krawędzi

Sześcian ma sześć kwadratowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi \(6a^2\). Długość krawędzi jest dodatnia.

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Suma długości krawędzi

Sześcian ma 12 krawędzi jednakowej długości, więc mnożymy długość jednej krawędzi przez 12.

\[12a=12\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Suma długości krawędzi wynosi \(12\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[12\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości \(\sqrt{2}\) pole całkowite wynosi 12, zgodnie z treścią zadania.

\[6\left(\sqrt{2}\right)^2=6\cdot2=12\]

Zadanie 26

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność: \(-2x^{2}+5x+3\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Rozkładamy trójmian, aby wyznaczyć jego miejsca zerowe i znak.

\[-2x^{2}+5x+3=-(2x+1)(x-3)\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy oba mają ten sam znak. Po pomnożeniu nierówności przez \(-1\) zmieniamy jej zwrot.

\[-(2x+1)(x-3)\leq 0\iff(2x+1)(x-3)\geq 0\iff x\leq-\frac12\ \text{lub}\ x\geq 3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup[3,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\), leżącego między miejscami zerowymi, lewa strona wynosi \(3>0\). Poza nimi, dla \(x=-1\) i \(x=4\), wynosi odpowiednio \(-4\) i \(-9\). W punktach \(-\frac12\) oraz \(3\) wynosi \(0\), więc oba końce należą do rozwiązania.

\[f(-1)=-4\leq0,\quad f(0)=3>0,\quad f(4)=-9\leq0,\quad f\!\left(-\frac12\right)=f(3)=0\]

Zadanie 27

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2,\ 4x+2,\ x+11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

Ponieważ pierwszy wyraz musi być różny od zera, przyjmujemy \(x\neq-2\). Wtedy ciąg jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\;\Longleftrightarrow\;3(5x+6)(x-1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac65\;\text{ lub }\;x=1\]

Odpowiedź

Obie wartości spełniają warunek \(x\neq-2\). Zatem \(x=1\) lub \(x=-\frac65\).

\[x\in\left\{1,-\frac65\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wyrazy to \((3,6,12)\), a iloraz wynosi \(2\). Dla \(x=-\frac65\) wyrazy to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\), a iloraz wynosi \(-\frac72\). Oba ciągi są geometryczne.

\[\frac63=\frac{12}6=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 28

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a+b)+b^{2}>3ab\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby zbadać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\]

2 Wykorzystaj warunek różności liczb

Ponieważ \(a\neq b\), ich różnica jest niezerowa, więc jej kwadrat jest dodatni.

\[a\neq b\quad\Longrightarrow\quad(a-b)^{2}>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[a(a+b)+b^{2}>3ab\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi dokładnie \((a-b)^{2}\). Przy założeniu \(a\neq b\) jest ona ściśle dodatnia, co potwierdza nierówność.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}>0\]

Zadanie 29

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\) i \(R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dwa okręgi styczne zewnętrznie i styczne do prostej k; prosta l przechodzi przez ich środki S i P, a między prostymi zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środków

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków jest sumą promieni.

\[SP=r+R=2+6=8\]

2 Różnica odległości od prostej

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej k. Środki leżą po tej samej jej stronie, więc ich odległości od k różnią się o 4.

\[R-r=6-2=4\]

3 Obliczenie kąta

Po poprowadzeniu przez S prostej równoległej do k otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej SP=8 i przyprostokątnej naprzeciw kąta α równej 4.

\[\sin\alpha=\frac{R-r}{SP}=\frac{4}{8}=\frac12\]

4 Wybór wartości kąta

Na rysunku α jest kątem ostrym. Jedyny kąt ostry, którego sinus wynosi jedna druga, ma 30°.

\[\alpha=30^\circ\]

Odpowiedź

Prosta l przecina prostą k pod kątem 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° składowa odcinka SP prostopadła do k wynosi 4, czyli dokładnie tyle, ile wynosi różnica promieni.

\[SP\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4=R-r\]

Zadanie 30

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((x^{3}+8)(x^{2}-9)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{3}+8=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-9=0\]

2 Rozwiązanie równań

W pierwszym równaniu wyznaczamy pierwiastek sześcienny, a w drugim korzystamy z różnicy kwadratów.

\[x^{3}=-8\Rightarrow x=-2,\qquad x^{2}-9=(x-3)(x+3)=0\Rightarrow x=3\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest \(\{-3,-2,3\}\).

\[x\in\{-3,-2,3\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) pierwszy czynnik wynosi zero. Dla \(x=-3\) i \(x=3\) drugi czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; innych rozwiązań nie ma, ponieważ każdy czynnik został rozwiązany.

\[(-2)^3+8=0,\qquad (-3)^2-9=0,\qquad 3^2-9=0\]

Zadanie 31

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono \(n\) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz \(n\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Po dołożeniu kul w pudełku jest \(5+n\) kul białych i \(8+n\) kul łącznie, więc stosujemy definicję prawdopodobieństwa.

\[\frac{5+n}{8+n}=\frac{11}{12},\quad n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\]

2 Obliczenie liczby kul

Mnożymy obie strony przez \(12(8+n)\), a następnie rozwiązujemy równanie.

\[12(5+n)=11(8+n)\quad\Longrightarrow\quad 60+12n=88+11n\quad\Longrightarrow\quad n=28\]

Odpowiedź

Dołożono 28 białych kul.

\[n=28\]

Sprawdzenie

Liczba 28 jest nieujemną liczbą całkowitą. Po dołożeniu kul białych jest 33, a wszystkich kul 36; otrzymane prawdopodobieństwo zgadza się z podanym.

\[\frac{5+28}{8+28}=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}\]