Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 46 z 70

Sortuj:

Zadanie 2

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci

\(3^{\frac{5}{8}}\)

\(3^{\frac{11}{4}}\)

\(3^{\frac{1}{4}}\)

\(3^{\frac{9}{8}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czynników jako potęg liczby 3

Zamieniamy 9 i pierwiastek z 3 na potęgi o tej samej podstawie, aby dodać wykładniki.

\[9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{\frac12}=3^{\frac52}\]

2 Obliczenie pierwiastka czwartego stopnia

Pierwiastek czwartego stopnia z liczby dodatniej jest jej potęgą o wykładniku \(\frac14\).

\[\sqrt[4]{3^{\frac52}}=\left(3^{\frac52}\right)^{\frac14}=3^{\frac52\cdot\frac14}=3^{\frac58}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[3^{\frac58}\]

Sprawdzenie

Podniesienie otrzymanej liczby do czwartej potęgi daje wyrażenie pod pierwiastkiem; wynik jest dodatni.

\[\left(3^{\frac58}\right)^4=3^{\frac52}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 3

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2\log 5+3\log 2\) jest równa

\(\log(2\cdot 5)+\log(3\cdot 2)\)

\(\log 2^{5}+\log 3^{2}\)

\(2\cdot 3\log(5\cdot 2)\)

\(\log(5^{2}\cdot 2^{3})\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana współczynników na wykładniki

Korzystamy z własności \(a\log b=\log b^a\).

\[2\log 5+3\log 2=\log 5^2+\log 2^3\]

2 Połączenie logarytmów

Suma logarytmów dodatnich liczb jest logarytmem ich iloczynu.

\[\log 5^2+\log 2^3=\log(5^2\cdot 2^3)=\log 200\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\log(5^2\cdot 2^3)=\log 200\]

Sprawdzenie

Liczby 5 i 2 są dodatnie, więc logarytmy są określone. Po rozwinięciu odpowiedzi D otrzymujemy wyrażenie z treści zadania.

\[\log(5^2\cdot 2^3)=\log 5^2+\log 2^3=2\log 5+3\log 2\]

Zadanie 4

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}<x\) jest liczba

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{5(4-x)}{2}<x\iff 20-5x<2x\]

2 Wyznacz x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez dodatnią liczbę 7.

\[20<7x\iff x>\frac{20}{7}\]

3 Wybierz liczbę całkowitą

Ponieważ 2 jest mniejsze od \(\frac{20}{7}\), a 3 jest większe, najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 3.

\[2<\frac{20}{7}<3\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 3.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Dla 3 lewa strona wynosi \(\frac{5}{2}<3\). Liczba 2 nie spełnia nierówności, bo \(5\not<2\); zatem 3 jest najmniejszą odpowiednią liczbą całkowitą.

\[x=3:\ \frac{5(4-3)}{2}=\frac{5}{2}<3;\qquad x=2:\ \frac{5(4-2)}{2}=5\not<2\]

Zadanie 5

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

0,024

0,24

0,0024

0,00024

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Każdą liczbę mnożymy przez liczbę jej wystąpień, a sumę dzielimy przez 250.

\[\overline{x}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}=\frac{756}{250}=3{,}024\]

2 Obliczenie błędu

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między średnią a jej przybliżeniem.

\[\left|3{,}024-3\right|=0{,}024\]

Odpowiedź

Błąd bezwzględny wynosi 0,024. Odpowiedź A.

\[0{,}024\]

Sprawdzenie

Liczności sumują się do 250, a średnia 3,024 różni się od przybliżenia 3 o 0,024.

\[128+122=250,\qquad 3+0{,}024=3{,}024\]

Zadanie 6

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku miesiąca komputer kosztował 3 500 zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

3 272,50 zł

2 625 zł

2 677,50 zł

2 800 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżce o 10% komputer kosztuje 90% ceny początkowej.

\[3500\cdot 0{,}90=3150\ \text{zł}\]

2 Druga obniżka

Obniżkę o 15% obliczamy od nowej ceny, czyli 3150 zł. Pozostaje 85% tej kwoty.

\[3150\cdot 0{,}85=2677{,}50\ \text{zł}\]

Odpowiedź

C — 2 677,50 zł

\[2677{,}50\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podzieleniu ceny końcowej przez 0,85 otrzymujemy 3150 zł, a po podzieleniu tej kwoty przez 0,90 — cenę początkową 3500 zł.

\[2677{,}50:0{,}85=3150,\qquad 3150:0{,}90=3500\]

Zadanie 7

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe \(f\) i \(g\) określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

\(k=-6\)

\(k=-3\)

\(k=3\)

\(k=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Wspólne miejsce zerowe musi być miejscem zerowym funkcji f, więc rozwiązujemy równanie f(x)=0.

\[-4x+12=0\quad\Rightarrow\quad x=3\]

2 Obliczenie k

Ponieważ także g(3)=0, podstawiamy x=3 do wzoru funkcji g.

\[-2\cdot3+k+3=0\quad\Rightarrow\quad k-3=0\quad\Rightarrow\quad k=3\]

Odpowiedź

k=3, odpowiedź C.

\[k=3\]

Sprawdzenie

Dla x=3 i k=3 obie funkcje mają wartość zero.

\[f(3)=-4\cdot3+12=0,\qquad g(3)=-2\cdot3+3+3=0\]

Zadanie 8

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\) jest przedział \(( -\infty, -5\rangle\). Wtedy

\(m=5\)

\(m=-5\)

\(m=-9\)

\(m=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc jego przeciwność jest niedodatnia. Największa wartość funkcji występuje dla \(x=-9\) i wynosi \(m\).

\[(x+9)^2\geq 0\quad\Rightarrow\quad f(x)=-(x+9)^2+m\leq m\]

2 Porównanie ze zbiorem wartości

Największą wartością w podanym przedziale jest \(-5\), zatem \(m=-5\).

\[(-\infty,m]=(-\infty,-5]\quad\Rightarrow\quad m=-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-5\).

\[m=-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-9\) funkcja przyjmuje wartość \(-5\), a dla każdego \(x\) jest nie większa od \(-5\).

\[f(-9)=-5,\qquad f(x)=-(x+9)^2-5\leq-5\]

Zadanie 9

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu

\(x=-6\)

\(y=-6\)

\(x=-2\)

\(y=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współrzędnej wierzchołka

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Dla danej funkcji \(a=\frac13\) i \(b=4\).

\[x=-\frac{4}{2\cdot\frac13}=-6\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(x=-6\).

\[x=-6\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że oś symetrii przechodzi przez \(x=-6\).

\[f(x)=\frac13(x+6)^2-5\]

Zadanie 10

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment paraboli skierowanej ramionami w górę w układzie współrzędnych. Zaznaczony wierzchołek leży na dodatniej półosi x; widoczne są osie z grotami oraz oznaczenia 0, x i y.

\(\begin{cases}a<0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\c>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc współczynnik przy kwadracie jest dodatni.

\[a>0\]

2 Znak wyrazu wolnego c

Wykres przecina oś y powyżej osi x. Wartość funkcji dla x=0 jest równa c, więc c jest dodatnie.

\[c=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[a>0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Dla dodatniego a parabola ma poza wierzchołkiem wartości dodatnie, zatem także dla x=0 otrzymujemy c>0.

\[f(0)=c>0\]

Zadanie 11

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba

\(-3\)

\(0\)

\(3\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego pierwiastki.

\[x^2+x=x(x+1)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\ x\neq -1\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[x^2-3x=x(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=3\]

3 Uwzględnienie dziedziny

Odrzucamy \(x=0\), ponieważ zeruje mianownik. Pozostaje \(x=3\).

\[x=3\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest 3, czyli odpowiedź C.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=3\) licznik wynosi 0, a mianownik 12, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{3^2-3\cdot 3}{3^2+3}=\frac{0}{12}=0\]

Zadanie 12

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Do okręgu o środku w punkcie \(S=(2,4)\) należy punkt \(P=(1,3)\). Długość tego okręgu jest równa

\(4\pi\sqrt{2}\)

\(3\pi\sqrt{2}\)

\(2\pi\sqrt{2}\)

\(\pi\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie promienia

Punkt P leży na okręgu, więc odległość punktów S i P jest jego promieniem.

\[r=|SP|=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie długości okręgu

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu o promieniu r.

\[L=2\pi r=2\pi\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Długość okręgu wynosi \(2\pi\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[L=2\pi\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat odległości punktu P od środka wynosi \(1^2+1^2=2\), zatem promień to \(\sqrt{2}\). Podstawienie do wzoru \(L=2\pi r\) daje podany wynik.

\[(2-1)^2+(4-3)^2=2,\qquad 2\pi\cdot\sqrt{2}=2\pi\sqrt{2}\]

Zadanie 13

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać

\(y=2x\)

\(y=2x+7\)

\(y=-\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal współczynnik kierunkowy

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta \(l\) ma postać:

\[y=-\frac{1}{2}x+b\]

2 Wyznacz wyraz wolny

Punkt \(P=(0,7)\) leży na prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równanie.

\[7=-\frac{1}{2}\cdot 0+b\quad\Rightarrow\quad b=7\]

Odpowiedź

Równanie prostej to \(y=-\frac{1}{2}x+7\). Odpowiedź D.

\[y=-\frac{1}{2}x+7\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=7\), więc punkt \(P\) leży na prostej. Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{1}{2}\), tak jak współczynnik danej prostej.

\[-\frac{1}{2}\cdot 0+7=7\]

Zadanie 14

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S=(4,8)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), którego koniec \(P\) leży na osi \(Oy\), a koniec \(Q\) – na osi \(Ox\). Wynika stąd, że

\(P=(0,16)\) i \(Q=(8,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(16,0)\)

\(P=(0,4)\) i \(Q=(4,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(8,0)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych końców

Punkt na osi \(Oy\) ma pierwszą współrzędną równą zero, a punkt na osi \(Ox\) ma drugą współrzędną równą zero.

\[P=(0,p),\quad Q=(q,0)\]

2 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi odpowiednich współrzędnych końców, więc przyrównujemy je do współrzędnych punktu \(S\).

\[\left(\frac{q}{2},\frac{p}{2}\right)=(4,8)\quad\Longrightarrow\quad q=8,\ p=16\]

Odpowiedź

P = (0,16) i Q = (8,0). Odpowiedź A.

\[P=(0,16),\quad Q=(8,0)\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka ma współrzędne (4,8), a jego końce leżą na wskazanych osiach.

\[\left(\frac{0+8}{2},\frac{16+0}{2}\right)=(4,8)\]

Zadanie 15

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z wysokością CD poprowadzoną z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB. Przy boku AC oznaczono długość 6.

\(1{,}5\)

\(2\)

\(2{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ADC i CDB mają podstawy AD i DB leżące na tej samej prostej oraz wspólną wysokość CD. Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi podstaw.

\[\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}}=\frac{AD}{DB}=4\]

2 Obliczenie przyprostokątnej

Z twierdzenia o przyprostokątnej wynika, że kwadraty AC i BC są proporcjonalne do ich rzutów na przeciwprostokątną, czyli odpowiednio AD i DB.

\[\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{DB}=4,\qquad \frac{6^2}{BC^2}=4,\qquad BC^2=9,\qquad BC=3\]

Odpowiedź

Przyprostokątna BC ma długość 3. Odpowiedź D.

\[BC=3\]

Sprawdzenie

Dla AC = 6 i BC = 3 stosunek kwadratów przyprostokątnych wynosi 36 : 9 = 4 : 1, zatem AD : DB = 4 : 1. Trójkąty o wspólnej wysokości CD mają taki sam stosunek pól, zgodny z treścią zadania.

\[AC^2:BC^2=36:9=4:1=AD:DB=P_{ADC}:P_{CDB}\]

Zadanie 16

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(P=(-3,4)\) i \(O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z prostą przechodzącą przez punkty P=(-3,4) i O=(0,0) oraz zaznaczonym kątem α nachylenia prostej do osi Ox.

\(-\frac{3}{4}\)

\(-\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z współrzędnych dwóch punktów prostej.

\[\tan\alpha=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −4/3. Odpowiedź B.

\[\tan\alpha=-\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Na rysunku prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens kąta nachylenia są ujemne. Od punktu P do O przesunięcie wynosi 3 w prawo i 4 w dół, co daje −4/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{0-(-3)}=-\frac{4}{3}\]