Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 46 z 98

Sortuj:

Zadanie 9

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wielomian \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3x)^2\) oraz \(G(x)=3x-2\).

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa .......... .

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastąpienie sumy wartością wielomianu

Po podstawieniu \(x=1\) każda potęga \(x\) jest równa 1, więc \(W(1)=a+b+c+d\).

\[a+b+c+d=W(1)=F(1)G(1)\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy \(x=1\) do obu czynników.

\[F(1)=(2-3)^2=1,\qquad G(1)=3-2=1,\qquad W(1)=1\cdot1=1\]

Odpowiedź

Suma współczynników jest równa 1.

\[a+b+c+d=1\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2-3x=-(3x-2)\), mamy \(W(x)=(3x-2)^3=27x^3-54x^2+36x-8\). Suma otrzymanych współczynników wynosi 1.

\[27-54+36-8=1\]

Zadanie 10

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(4x^3-12x^2-x+3=0\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Wyłączamy wspólny czynnik z dwóch par wyrazów, aby otrzymać iloczyn.

\[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(4x^2-1)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów, a następnie zasadę, że iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru.

\[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=3\;\text{lub}\;x=\frac12\;\text{lub}\;x=-\frac12\]

Odpowiedź

Rozwiązania: \(x=-\frac12\), \(x=\frac12\), \(x=3\).

\[x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej podanej wartości jeden z czynników rozłożonego wielomianu jest równy zeru. Rozkład jest równoważny wyjściowemu równaniu i obejmuje wszystkie jego pierwiastki.

\[4x^3-12x^2-x+3=(x-3)(2x-1)(2x+1)\]

Zadanie 11.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z prostą o równaniu \(y=2\) ma obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\leq 2\) jest przedział ........................ .

Rysunek 1. Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z osiami, oznaczeniami i etykietą y=f(x).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktów przecięcia

Granicami rozwiązań są miejsca, w których wykres przecina prostą \(y=2\). Z rysunku odczytujemy ich całkowite współrzędne.

\[(0,2),\quad(4,2)\]

2 Odczytanie przedziału

Wykres leży na wysokości co najwyżej 2 dla argumentów od 0 do 4. Końce należą do zbioru rozwiązań, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[f(x)\leq 2\iff x\in[0,4]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział \([0,4]\).

\[[0,4]\]

Sprawdzenie

Na końcach przedziału \(f(0)=f(4)=2\). Między nimi wykres leży poniżej prostej \(y=2\), a w pozostałej części dziedziny powyżej niej.

\[f(0)=2,\quad f(4)=2\]

Zadanie 11.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(g\), powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji \(f\) wzdłuż osi \(Ox\) o 4 jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.

Funkcje \(f\) i \(g\) są powiązane zależnością … oraz mają takie same …

Rysunek 1. Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

Rysunek 2. Wykres funkcji y=g(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi osiami, skalą i punktami końcowymi.

\(g(x)=f(x+4)\)

\(g(x)=f(x-4)\)

\(g(x)=f(x)-4\)

dziedziny.

zbiory wartości.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zależność między funkcjami

Przesunięcie wykresu o 4 jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu x przez x+4.

\[g(x)=f(x+4)\]

2 Porównanie zbiorów wartości

Przesunięcie poziome nie zmienia wysokości punktów wykresu. Obie funkcje przyjmują wartości od 0 do 4.

\[W_f=W_g=[0,4]\]

Odpowiedź

Odpowiedzi A i 2: funkcje mają takie same zbiory wartości.

\[g(x)=f(x+4),\qquad W_f=W_g=[0,4]\]

Sprawdzenie

Wierzchołek wykresu f ma współrzędne (1,0), a po przesunięciu o 4 jednostki w lewo otrzymujemy wierzchołek wykresu g: (−3,0). Dziedziny są różne: [−1,7] i [−5,3].

\[1-4=-3,\qquad D_f=[-1,7],\quad D_g=[-5,3]\]

Zadanie 12

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(3\)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Miejsca zerowe

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Z tabeli odczytujemy dwa takie argumenty, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-1)=0,\quad f(1)=0\]

2 Symetria względem osi Oy

Wykres jest symetryczny względem osi Oy, gdy dla każdego argumentu z dziedziny wartości dla przeciwnych argumentów są równe. Tutaj warunek nie zachodzi, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(-2)=-1\neq 3=f(2)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

W wierszu wartości zero występuje dokładnie przy −1 i 1. Para argumentów −2 i 2 ma różne wartości, co wyklucza symetrię względem osi Oy.

\[\{x:f(x)=0\}=\{-1,1\},\qquad f(-2)\neq f(2)\]

Zadanie 13

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(3-m)x+4\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(m\) jest równa

\(0\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba 2 jest miejscem zerowym, to wartość funkcji dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=0\;\Longrightarrow\;2(3-m)+4=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[6-2m+4=0\;\Longrightarrow\;10-2m=0\;\Longrightarrow\;m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź D.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla m=5 funkcja ma postać f(x)=-2x+4, więc f(2)=0.

\[f(2)=(3-5)\cdot2+4=-4+4=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie miejsc zerowych

Parabola przecina oś \(y\) w punkcie \(M\). Ponieważ \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), liczba \(3\) jest podwójnym miejscem zerowym.

\[f(x)=a(x-3)^2,\quad a\ne 0\]

2 Obliczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu \(M=(0,18)\), aby wyznaczyć \(a\).

\[18=f(0)=a(0-3)^2=9a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\).

\[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=18\), więc punkt \(M\) leży na paraboli. Równanie \(f(x)=0\) ma tylko jedno rozwiązanie: \(x=3\). Zatem \(N\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \(x\), a łącznie z obiema osiami parabola ma dokładnie dwa wskazane punkty wspólne.

\[f(0)=2\cdot 9=18,\qquad 2(x-3)^2=0\iff x=3\]

Zadanie 15.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku

Wykres paraboli w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Wzór ma postać kanoniczną, więc wierzchołek paraboli to \((-1,4)\). Znak minus przed kwadratem oznacza, że ramiona są skierowane w dół.

\[f(x)=-(x-(-1))^2+4,\qquad W=(-1,4)\]

2 Wybór rysunku

Spośród podanych wykresów wierzchołek \((-1,4)\) i ramiona skierowane w dół ma rysunek B.

\[\boxed{B}\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[B\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=3\), co zgadza się z przecięciem osi \(y\) na rysunku B.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\]

Zadanie 15.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x+1)^2+4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((0,4)\).	P	F
Miejsca zerowe funkcji \(f\) są równe: \((-3)\) oraz \(1\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy mamy \(x=0\), więc obliczamy wartość funkcji dla zera. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=-(0+1)^2+4=3\neq 4\]

2 Miejsca zerowe

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy równanie. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

\[-(x+1)^2+4=0\iff(x+1)^2=4\iff x+1=2\ \text{lub}\ x+1=-2\iff x=1\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: F. Drugie stwierdzenie: P.

\[F,\ P\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia z osią Oy to (0,3). Dla obu wyznaczonych miejsc zerowych wartość funkcji wynosi zero.

\[f(0)=3,\quad f(-3)=-(-2)^2+4=0,\quad f(1)=-(2)^2+4=0\]

Zadanie 16.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \( (a_n) \) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(3\)

\(7\)

\(50\)

\(100\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazów

Dla nieparzystego n potęga ma wartość 1, a dla parzystego −1, więc wyrazy przyjmują naprzemiennie wartości 7 i 3.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\qquad a_2=2\cdot(-1)+5=3\]

2 Obliczenie sumy

Dziesięć początkowych wyrazów tworzy pięć par o sumie 10.

\[S_{10}=5(7+3)=50\]

Odpowiedź

C. Suma wynosi 50.

\[S_{10}=50\]

Sprawdzenie

Składniki z potęgą (−1) znoszą się parami, a dziesięć składników równych 5 daje 50.

\[\sum_{n=1}^{10}a_n=2(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1)+10\cdot5=50\]

Zadanie 16.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest malejący.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie początkowych wyrazów

Obliczamy trzy kolejne wyrazy, aby ocenić oba stwierdzenia.

\[a_1=2\cdot1+5=7,\quad a_2=2\cdot(-1)+5=3,\quad a_3=2\cdot1+5=7\]

2 Ocena monotoniczności

Ciąg malejący musi spełniać nierówność \(a_{n+1}<a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj trzeci wyraz jest większy od drugiego.

\[a_3=7>3=a_2\]

3 Ocena geometryczności

W ciągu geometrycznym o niezerowych wyrazach iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Otrzymane ilorazy są różne.

\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7},\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\]

Odpowiedź

Ciąg jest malejący: F. Ciąg jest geometryczny: F.

\[\mathrm{F},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla parzystych indeksów wyraz wynosi 3, a dla nieparzystych 7. Wartości powtarzają się naprzemiennie, więc ciąg nie jest malejący, a jego kolejne ilorazy nie są jednakowe.

\[a_{2k}=3,\qquad a_{2k-1}=7\quad(k\geq1)\]

Zadanie 17

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), dane są wyrazy: \(a_1=7\) oraz \(a_2=13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz \(a_{10}\) jest równy

\((-47)\)

\(52\)

\(61\)

\(67\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc odejmujemy pierwszy wyraz od drugiego.

\[r=a_2-a_1=13-7=6\]

2 Obliczenie dziesiątego wyrazu

Od pierwszego do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

\[a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot6=61\]

Odpowiedź

Wyraz a₁₀ jest równy 61. Odpowiedź C.

\[a_{10}=61\]

Sprawdzenie

Licząc od drugiego wyrazu, do dziesiątego dodajemy różnicę osiem razy i również otrzymujemy 61.

\[a_{10}=a_2+8r=13+8\cdot6=61\]

Zadanie 18

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ x)\) jest arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((-1,\ 2,\ y)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki

\(x>0\) i \(y>0\)

\(x>0\) i \(y<0\)

\(x<0\) i \(y>0\)

\(x<0\) i \(y<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie x

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc od 2 odejmujemy −1 i dodajemy tę różnicę do 2.

\[2-(-1)=3,\qquad x=2+3=5\]

2 Obliczenie y

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, obliczamy iloraz i mnożymy przez niego drugi wyraz.

\[q=\frac{2}{-1}=-2,\qquad y=2\cdot(-2)=-4\]

Odpowiedź

x jest dodatnie, a y ujemne. Odpowiedź B.

\[x=5>0,\qquad y=-4<0\]

Sprawdzenie

Różnice w pierwszym ciągu wynoszą 3, a ilorazy w drugim wynoszą −2, więc oba obliczone wyrazy spełniają warunki zadania.

\[2-(-1)=5-2=3,\qquad \frac{2}{-1}=\frac{-4}{2}=-2\]

Zadanie 19

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(1+\cos^2 27^\circ\) jest równa

\(2-\sin^2 27^\circ\)

\(\sin^2 27^\circ\)

\(2+\sin^2 27^\circ\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Korzystamy z tożsamości, aby zastąpić kwadrat cosinusa kwadratem sinusa.

\[\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ=1,\quad \cos^2 27^\circ=1-\sin^2 27^\circ\]

2 Przekształcenie wyrażenia

Podstawiamy otrzymaną równość i dodajemy jedynki.

\[1+\cos^2 27^\circ=1+(1-\sin^2 27^\circ)=2-\sin^2 27^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2-\sin^2 27^\circ\]

Sprawdzenie

Po odjęciu lewej strony od odpowiedzi A otrzymujemy zero na mocy jedynki trygonometrycznej.

\[(2-\sin^2 27^\circ)-(1+\cos^2 27^\circ)=1-(\sin^2 27^\circ+\cos^2 27^\circ)=0\]

Zadanie 20

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości: \(|AB|=8\) oraz \(|CD|=5\). Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma długość 8, podstawa CD ma długość 5, a wysokość AD ma długość √3. Zaznaczono kąty proste przy A i D oraz kąt ostry ABC.

\(15^\circ\)

\(30^\circ\)

\(45^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Czworokąt ADCE jest prostokątem, więc AE=CD=5, a CE=AD=√3. Stąd obliczamy BE.

\[BE=AB-AE=8-5=3\]

2 Obliczenie kąta

W trójkącie prostokątnym BCE kąt CBE jest kątem ABC. Korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego.

\[\tan\angle ABC=\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABC ma miarę 30°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=30^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej wynosi √3/3, dokładnie tyle co CE/BE=√3/3. Kąt jest ostry, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{CE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]