Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 45 z 70

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa \(144\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(18\)

\(36\)

\(3\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie objętości

Podstawa jest kwadratem o boku a, więc ma pole a². Wysokość wynosi 2a. Podstawiamy te wartości do wzoru na objętość ostrosłupa.

\[144=\frac{1}{3}a^2\cdot 2a=\frac{2}{3}a^3\]

2 Obliczenie krawędzi podstawy

Mnożymy równanie przez 3/2 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Wybieramy dodatnią długość.

\[a^3=216=6^3,\qquad a=6\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy ma długość 6. Odpowiedź D.

\[a=6\]

Sprawdzenie

Dla boku 6 wysokość wynosi 12, czyli jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość wynosi 144.

\[V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 12=144\]

Zadanie 22

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup o podstawie kwadratu z zaznaczoną przekątną, kątem 60° i bokami podstawy długości 2

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(4\sqrt{2}\)

\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(2\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 2, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu. W powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi 2√6. Odpowiedź D.

\[h=2\sqrt{6}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek wysokości do przekątnej podstawy wynosi √3, czyli tangens kąta 60°.

\[\frac{h}{d}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 23

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest

\(4\cdot4\cdot5\cdot5\)

\(5\cdot4\cdot6\cdot5\)

\(5\cdot5\cdot6\cdot6\)

\(4\cdot3\cdot5\cdot4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór dwóch pierwszych cyfr

Cyfra tysięcy i cyfra setek muszą być większe od 4, więc każdą z nich można wybrać na 5 sposobów: od 5 do 9.

\[5\cdot5\]

2 Wybór dwóch pozostałych cyfr

Cyfra dziesiątek i cyfra jedności muszą być mniejsze od 6, więc każdą z nich można wybrać na 6 sposobów: od 0 do 5. Mnożymy liczby możliwości dla kolejnych pozycji.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=900\]

Odpowiedź

Jest 900 takich liczb. Pasuje odpowiedź C.

\[\boxed{5\cdot5\cdot6\cdot6=900}\]

Sprawdzenie

Każda z 900 kombinacji daje liczbę czterocyfrową, bo cyfra tysięcy należy do zbioru od 5 do 9. Pozostałe cyfry spełniają podane ograniczenia, a wybory cyfr są niezależne.

\[5\cdot5\cdot6\cdot6=25\cdot36=900\]

Zadanie 24

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1, 3, 5, 3\), jest liczba

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Wariancję liczymy względem średniej ocen.

\[\overline{x}=\frac{1+3+5+3}{4}=3\]

2 Obliczenie wariancji

Średnia kwadratów odchyleń od średniej wynosi:

\[V=\frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2}{4}=\frac{4+0+4+0}{4}=2\]

Odpowiedź

Wariancja wynosi 2. Odpowiedź B.

\[V=2\]

Sprawdzenie

Kontrola innym wzorem: średnia kwadratów ocen wynosi 11, a kwadrat średniej wynosi 9, więc wariancja to 2.

\[\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2=11-9=2\]

Zadanie 25

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W urnie jest \(9\) kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{4}{9}\)

\(\frac{5}{9}\)

\(\frac{6}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie zdarzenia

Kula, która nie jest ani zielona, ani biała, musi być czerwona. Takich kul są cztery spośród dziewięciu.

\[9-3-2=4\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Przy losowaniu jednej kuli dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{4}{9}\). Odpowiedź B.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Zielonych i białych kul jest razem pięć, więc z dopełnienia otrzymujemy ten sam wynik.

\[1-\frac{3+2}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 26

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \((2x+5)(3x-1)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Miejsca zerowe

Wyznaczamy wartości, w których iloczyn może zmienić znak.

\[2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad 3x-1=0\Rightarrow x=\frac13\]

2 Znaki czynników

Poza miejscami zerowymi sprawdzamy znaki obu czynników. Iloczyn jest nieujemny, gdy mają ten sam znak; uwzględniamy też miejsca zerowe.

\[\begin{aligned}x\leq-\frac52&:\ (2x+5)(3x-1)\geq0,\\-\frac52<x<\frac13&:\ (2x+5)(3x-1)<0,\\x\geq\frac13&:\ (2x+5)(3x-1)\geq0.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\left[\frac13,\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla x=−3 i x=1 iloczyn jest dodatni, dla x=0 ujemny, a na obu końcach przedziałów równy zeru.

\[x=-3:\ 10>0;\qquad x=0:\ -5<0;\qquad x=1:\ 14>0;\qquad x=-\frac52\ \text{lub}\ x=\frac13:\ 0\geq0\]

Zadanie 27

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Dane są liczby \(a=3\log_{2}12-\log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Korzystamy z własności logarytmów, aby połączyć wyrażenia w jeden logarytm.

\[a=\log_{2}\frac{12^3}{27}=\log_{2}64=6\]

2 Obliczenie liczby b

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

\[b=3(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})=3(6-7)=-3\]

3 Obliczenie różnicy

Podstawiamy obliczone wartości.

\[a-b=6-(-3)=9\]

Odpowiedź

Szukana liczba całkowita to 9.

\[9\]

Sprawdzenie

Ponieważ 64 = 2⁶, otrzymujemy a = 6. Ponieważ 6 − 7 = −1, otrzymujemy b = −3, więc różnica wynosi 9.

\[2^6=64,\quad 3(6-7)=-3,\quad 6-(-3)=9\]

Zadanie 28

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16>4a+4b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki czynników

Z obu założeń wynika, że liczby 4−a i 4−b są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

\[a<4\Rightarrow 4-a>0,\quad b<4\Rightarrow 4-b>0,\quad (4-a)(4-b)>0\]

2 Rozwiń iloczyn

Rozwinięcie dodatniego iloczynu daje nierówność, którą mamy wykazać.

\[(4-a)(4-b)>0\Rightarrow 16-4a-4b+ab>0\Rightarrow ab+16>4a+4b\]

Odpowiedź

Dla wszystkich liczb rzeczywistych a<4 i b<4 zachodzi podana nierówność.

\[ab+16>4a+4b\]

Sprawdzenie

Różnica lewej i prawej strony wynosi (4−a)(4−b). Oba czynniki są ściśle dodatnie na mocy założeń, zatem różnica jest ściśle dodatnia.

\[(ab+16)-(4a+4b)=(4-a)(4-b)>0\]

Zadanie 29

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Okrąg z średnicą AB, trójkątem ABC oraz punktami S i D; zaznaczono odcinki AD i SD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odległości od B i C

Punkt D leży na symetralnej odcinka BC, więc jest jednakowo odległy od jego końców.

\[DB=DC\]

2 Równe kąty wpisane

Równe cięciwy DB i DC wyznaczają równe łuki. Kąty wpisane oparte na tych łukach mają zatem równe miary.

\[\angle BAD=\angle DAC\]

Odpowiedź

Odcinek AD leży na dwusiecznej kąta CAB.

\[\angle CAD=\angle DAB\]

Sprawdzenie

Na rysunku D leży na łuku BC niezawierającym A, więc AD przebiega wewnątrz kąta CAB. Równe kąty rzeczywiście dzielą go na połowy.

\[\angle CAB=\angle CAD+\angle DAB=2\angle DAB\]

Zadanie 30

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \( (x+2,\ 4x+2,\ x+11) \). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych, więc układamy równanie.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\quad\Longleftrightarrow\quad15x^2+3x-18=0\quad\Longleftrightarrow\quad3(5x+6)(x-1)=0\]

3 Wyznaczenie wartości

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest zerem.

\[5x+6=0\ \text{lub}\ x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac65\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Szukane wartości to x = −6/5 oraz x = 1.

\[x\in\left\{-\frac65,\ 1\right\}\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (3, 6, 12) o ilorazie 2. Dla x = −6/5 otrzymujemy ciąg (4/5, −14/5, 49/5) o ilorazie −7/2. Obie wartości spełniają więc definicję ciągu geometrycznego.

\[\frac63=\frac{12}{6}=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 31

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do osi Ox.

\[a=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy prostej k wynosi √2.

\[a=\sqrt2\]

Sprawdzenie

Wynik jest dodatni, zgodnie z ostrym kątem nachylenia. Ponadto obliczona wartość tangensa odpowiada podanemu cosinusowi.

\[\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]

Zadanie 32

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie przekątnej AC

Z obu punktów wyznaczamy prostą zawierającą przekątną AC.

\[\frac{5-(-1)}{7-1}=1,\qquad y+1=x-1,\qquad y=x-2\]

2 Równanie przekątnej BD

Prosta przechodząca przez B i D ma współczynnik kierunkowy równy \(-\frac34\).

\[\frac{4-1}{2-6}=-\frac34,\qquad y-1=-\frac34(x-6),\qquad 3x+4y=22\]

3 Punkt przecięcia

Współrzędne szukanego punktu spełniają oba równania prostych, więc podstawiamy \(y=x-2\).

\[3x+4(x-2)=22\;\Rightarrow\;7x=30\;\Rightarrow\;x=\frac{30}{7},\qquad y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\]

Odpowiedź

Przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych \(\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\).

\[\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt spełnia równania obu prostych. Leży też na obu odcinkach: jego współrzędna \(x\) jest między współrzędnymi \(x\) końców każdej przekątnej.

\[\frac{16}{7}=\frac{30}{7}-2,\qquad 3\cdot\frac{30}{7}+4\cdot\frac{16}{7}=22,\qquad 1<\frac{30}{7}<7,\quad 2<\frac{30}{7}<6\]

Zadanie 33

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich wyników

Każdy z czterech rzutów ma dwa możliwe wyniki, więc wszystkich jednakowo prawdopodobnych ciągów jest 16.

\[2^4=16\]

2 Wyniki z równą liczbą orłów i reszek

Równe liczby oznaczają po dwa orły i dwie reszki. Wybieramy dwa spośród czterech miejsc na orły.

\[\binom{4}{2}=6\]

3 Prawdopodobieństwo zdarzenia A

Od wszystkich wyników odejmujemy te z równą liczbą orłów i reszek, a otrzymaną liczbę dzielimy przez 16.

\[P(A)=\frac{16-6}{16}=\frac{5}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/8.

\[P(A)=\frac{5}{8}\]

Sprawdzenie

Zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo 6/16 = 3/8. Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego dopełnienia wynosi 1.

\[\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=1\]

Zadanie 34

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60^\circ\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFS z oznaczonym środkiem podstawy P i krawędzią a=8.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień i apotema podstawy

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego jest równy bokowi, a apotema ma długość \(a\sqrt{3}/2\). Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\).

\[PB=a=8,\qquad PM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Przekrój przez \(S\), \(P\) i \(M\) wyznacza kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. W trójkącie prostokątnym \(SPM\) korzystamy z tangensa tego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{SP}{PM},\qquad SP=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12\]

3 Cosinus szukanego kąta

Rzutem krawędzi \(SB\) na podstawę jest \(PB\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy \(SB\), a następnie cosinus kąta między \(SB\) i \(PB\).

\[SB=\sqrt{SP^2+PB^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13},\qquad \cos\beta=\frac{PB}{SB}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Odpowiedź

Cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

\[\cos\beta=\frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonej wysokości stosunek \(SP/PM\) wynosi \(\sqrt{3}\), więc kąt nachylenia ściany rzeczywiście ma \(60^\circ\). Ponadto \(SB^2=SP^2+PB^2\).

\[\frac{12}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan60^\circ,\qquad (4\sqrt{13})^2=12^2+8^2=208\]

Zadanie 1

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}\) jest równa

\(11\)

\(17\)

\(17+4\sqrt{15}\)

\(17+2\sqrt{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy, aby uwzględnić także podwojony iloczyn składników.

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy oba pierwiastki do kwadratu i upraszczamy ich iloczyn.

\[(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=5+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+12=17+4\sqrt{15}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[17+4\sqrt{15}\]

Sprawdzenie

Po rozpisaniu kwadratu sumy składniki kwadratowe dają 5+12=17, a składnik mieszany 4√15, więc wynik odpowiada odpowiedzi C.

\[(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{3})^2=17,\qquad 2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{15}\]