Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
1468 zadańStrona 44 z 98
Zadanie 13
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji tangensa

Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus i cosinus są dodatnie. Możemy więc podstawić definicję tangensa i podzielić równanie przez sinus.

\[\sqrt{3}\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\]

2 Obliczenie cosinusa

Mnożymy równanie przez dodatni cosinus i dzielimy przez 2.

\[\sqrt{3}=2\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi 1/2, a tangens wynosi 1/√3. Obie strony warunku są równe 1.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac12,\qquad\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=1=2\cdot\frac12\]
Zadanie 14
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD oraz oznaczonymi kątami α i β.

A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{4}\)
C
\(\frac{4}{5}\)
D
\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc dzieli go na dwie równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac{6}{2}=3\]

2 Obliczenie długości AC

Trójkąt ACD jest prostokątny w A. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną.

\[|AC|^2=|CD|^2-|AD|^2=5^2-3^2=16,\quad |AC|=4\]

3 Obliczenie tangensa

W trójkącie ACD tangens kąta α jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i przyprostokątnej przy nim.

\[\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 4/3. Poprawna odpowiedź: D.

\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD = 3 jest połową AB = 6.

\[3^2+4^2=5^2,\qquad 2\cdot3=6\]
Zadanie 15
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy A; D leży na AB. Odcinek CD ma oznaczenie 5, AB ma oznaczenie 6, kąt ADC oznaczono α, a kąt ABC oznaczono β.

A
\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
B
\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
C
\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)
D
\(\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej AC

Punkt D jest środkiem AB, więc AD ma długość 3. Trójkąt ACD jest prostokątny; z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.

\[AD=\frac{6}{2}=3,\qquad AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\qquad AC=4\]

2 Obliczenie sinusa kąta β

W trójkącie ABC obliczamy przeciwprostokątną, a następnie dzielimy długość boku leżącego naprzeciw kąta β przez długość przeciwprostokątnej.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\qquad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają oba równania Pitagorasa: 3² + 4² = 5² oraz 6² + 4² = (2√13)².

\[3^2+4^2=25=5^2,\qquad 6^2+4^2=52=(2\sqrt{13})^2\]
Zadanie 16
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C na okręgu. Kąt BCA ma 50°, a kąt ABO jest zaznaczony.

A
\(20^\circ\)
B
\(35^\circ\)
C
\(40^\circ\)
D
\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOB i kąt wpisany BCA są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle AOB=2\cdot 50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta ABO

Promienie OA i OB są równe, zatem trójkąt AOB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie AB są równe.

\[\angle ABO=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ABO ma miarę 40°, odpowiedź C.

\[\angle ABO=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOB sumują się do 180°, a 40° jest kątem ostrym.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ\]
Zadanie 17
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC|=|BC|=4\) i \(|AB|=3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek \(BD\) ma długość

Trójkąt ABC z punktem D na boku BC i odcinkiem AD; bok AC oznaczony liczbą 4, a bok AB liczbą 3.

A
\(2\)
B
\(2{,}25\)
C
\(2{,}5\)
D
\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

Trójkąty mają wspólny kąt przy B. Ponieważ D leży wewnątrz BC, bok BD jest krótszy od BC, więc w podobieństwie bokowi BC odpowiada AB, a bokowi AB odpowiada BD.

\[BC\leftrightarrow AB,\qquad AB\leftrightarrow BD\]

2 Obliczenie BD

Z proporcji odpowiednich boków wyznaczamy szukaną długość.

\[\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4},\qquad BD=3\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Odpowiedź

Odcinek BD ma długość 2,25. Odpowiedź B.

\[BD=\frac{9}{4}=2{,}25\]

Sprawdzenie

Otrzymana długość jest dodatnia i mniejsza od BC = 4, więc D może leżeć między B i C. Skala podobieństwa wynosi 3/4.

\[0<\frac{9}{4}<4,\qquad \frac{BD}{AB}=\frac{9/4}{3}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{BC}\]
Zadanie 18
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Trygonometria

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Trójkąt ABC z bokiem AB oznaczonym 11, bokiem BC oznaczonym 12 i kątem ABC oznaczonym 60°.

A
\(33\)
B
\(33\sqrt{3}\)
C
\(66\)
D
\(66\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na pole

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

\[P=\frac{1}{2}|AB|\cdot|BC|\cdot\sin\angle ABC\]

2 Obliczenie pola

Podstawiamy dane oraz wartość sinusa kąta 60°.

\[P=\frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 33√3 jednostek kwadratowych. Odpowiedź B.

\[P=33\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona z C na prostą AB wynosi 12·sin 60° = 6√3, więc pole obliczone z podstawy i wysokości także wynosi 33√3.

\[\frac{1}{2}\cdot11\cdot6\sqrt{3}=33\sqrt{3}\]
Zadanie 19
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(m-2)x+5\)

\(l:\ y=-4x+(m+3)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

A
\((-4)\)
B
\((-2)\)
C
\(2\)
D
\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy \(m-2\) i \(-4\).

\[m-2=-4\]

2 Obliczenie liczby m

Dodajemy 2 do obu stron równania.

\[m=-4+2=-2\]

Odpowiedź

Liczba \(m\) jest równa \(-2\). Odpowiedź B.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-2\) obie proste mają współczynnik kierunkowy \(-4\). Ich wyrazy wolne wynoszą odpowiednio 5 i 1, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[k:\ y=-4x+5,\qquad l:\ y=-4x+1\]
Zadanie 20
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\).

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

A
\(5\)
B
\(7\)
C
\(10\)
D
\(14\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości od środka do wierzchołka

Punkt S jest środkiem przekątnych kwadratu, więc odcinek AS stanowi połowę przekątnej. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[AS=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5\]

2 Obliczenie długości przekątnej

Ponieważ S jest środkiem przekątnej przechodzącej przez A, jej długość jest dwa razy większa od AS.

\[d=2\cdot AS=2\cdot 5=10\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość 10. Odpowiedź C.

\[d=10\]

Sprawdzenie

Wierzchołek przeciwległy do A ma współrzędne (-2,7), ponieważ S jest środkiem przekątnej. Odległość między tymi wierzchołkami wynosi 10.

\[\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{36+64}=10\]
Zadanie 21
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A
\(9\sqrt{3}\)
B
\(9\sqrt{2}\)
C
\(3\sqrt{3}\)
D
\(3\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Objętość sześcianu jest sześcianem długości jego krawędzi, więc wyznaczamy dodatnią wartość \(a\).

\[a^3=729=9^3\quad\Rightarrow\quad a=9\]

2 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trzech prostopadłych krawędzi wynika, że kwadrat przekątnej sześcianu jest sumą kwadratów ich długości.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2\quad\Rightarrow\quad d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: długość przekątnej wynosi \(9\sqrt{3}\).

\[d=9\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź o długości 9 daje objętość 729, a kwadrat otrzymanej przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech krawędzi.

\[9^3=729,\qquad (9\sqrt{3})^2=243=9^2+9^2+9^2\]
Zadanie 22
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(10\). Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

A
\(5\sqrt{10}\)
B
\(5\sqrt{35}\)
C
\(5\sqrt{37}\)
D
\(10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Wysokość jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy, więc ma długość 30.

\[H=3\cdot 10=30\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy O. Jeśli M jest środkiem AB, to OM ma długość połowy boku kwadratu. Trójkąt SOM jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[OM=\frac{10}{2}=5,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{30^2+5^2}=\sqrt{925}=5\sqrt{37}\]

Odpowiedź

Wysokość ściany bocznej wynosi 5√37. Odpowiedź C.

\[SM=5\sqrt{37}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wysokości wynosi 925, czyli jest sumą kwadratów przyprostokątnych 30 i 5. Jest też większa od wysokości ostrosłupa, jak powinna.

\[(5\sqrt{37})^2=925=30^2+5^2\]
Zadanie 23
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

A
\(45\)
B
\(50\)
C
\(54\)
D
\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal położenie zera

Cyfra setek nie może być zerem, bo liczba jest trzycyfrowa. Cyfra jedności też nie może być zerem, bo liczba jest nieparzysta. Zatem zero występuje na miejscu dziesiątek.

\[\overline{a0c}\]

2 Policz możliwości

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów, a nieparzystą cyfrę jedności na 5 sposobów. Każda para wyborów daje inną liczbę.

\[9\cdot 5=45\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 45. Odpowiedź A.

\[45\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 9 cyfr setek otrzymujemy dokładnie 5 liczb z cyfrą dziesiątek równą 0 i nieparzystą cyfrą jedności. Każda jest trzycyfrowa i zawiera dokładnie jedno zero.

\[9\cdot 5=45\]
Zadanie 24
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3:5\). Z pudełka losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A
\(\frac{3}{8}\)
B
\(\frac{3}{5}\)
C
\(\frac{5}{8}\)
D
\(\frac{2}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie liczby kul

Stosunek 3:5 oznacza, że kul białych jest 3k, a czerwonych 5k, gdzie k jest dodatnią liczbą całkowitą. Razem jest 8k kul.

\[3k+5k=8k\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Każda kula ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę kul białych przez liczbę wszystkich kul.

\[P(\text{biała})=\frac{3k}{8k}=\frac{3}{8}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/8. Odpowiedź A.

\[\frac{3}{8}\]

Sprawdzenie

Pozostałe 5/8 to prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej; oba prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=1\]
Zadanie 25
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ x,\ y\), jest równa \(3\).

Suma \(x+y\) jest równa

A
\(4\)
B
\(5\)
C
\(6\)
D
\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia siedmiu liczb to ich suma podzielona przez 7, więc suma wszystkich liczb wynosi 21.

\[\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3\quad\Rightarrow\quad 1+2+3+4+5+x+y=21\]

2 Obliczenie sumy

Pięć znanych liczb ma sumę 15. Odejmujemy ją od 21.

\[x+y=21-(1+2+3+4+5)=21-15=6\]

Odpowiedź

Suma wynosi 6. Odpowiedź C.

\[x+y=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu sumy 6 średnia siedmiu liczb jest równa 3.

\[\frac{1+2+3+4+5+6}{7}=\frac{21}{7}=3\]
Zadanie 26
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność

\(3(2x^2+1)<11x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci, w której można wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu.

\[3(2x^2+1)<11x\iff 6x^2-11x+3<0\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu kwadratowego.

\[\Delta=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=49,\qquad x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32\]

3 Odczytaj rozwiązanie

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi. Końce przedziału wykluczamy, bo nierówność jest ostra.

\[x\in\left(\frac13,\frac32\right)\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział \(\left(\frac13,\frac32\right)\).

\[x\in\left(\frac13,\frac32\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\), leżącego w podanym przedziale, lewa strona nierówności po przeniesieniu wyrazów wynosi \(-2<0\). W punktach \(\frac13\) i \(\frac32\) wynosi zero, więc nie należą do rozwiązania.

\[6\cdot1^2-11\cdot1+3=-2<0\]
Zadanie 27
Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt
Równania i nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(5x^2+2y^2>2xy\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzamy nierówność do dodatniości różnicy

Odejmujemy prawą stronę i zapisujemy otrzymane wyrażenie jako sumę kwadratów.

\[5x^2+2y^2-2xy=(x-y)^2+4x^2+y^2\]

2 Wykazujemy nierówność ostrą

Kwadraty są nieujemne, a przy x\neq 0 składnik 4x^2 jest dodatni.

\[(x-y)^2+4x^2+y^2>0\]

Odpowiedź

Dla każdego x różnego od zera i każdego rzeczywistego y zachodzi podana nierówność.

\[5x^2+2y^2>2xy\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Ponieważ 4x²>0 dla x≠0, różnica jest dodatnia niezależnie od y.

\[(x-y)^2+4x^2+y^2=x^2-2xy+y^2+4x^2+y^2=5x^2+2y^2-2xy>0\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz