Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 43 z 98

Sortuj:

Zadanie 32

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

W układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2, 15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi \(x=-1\), więc ich średnia wynosi \(-1\).

\[\frac{1+x_2}{2}=-1\quad\Rightarrow\quad x_2=-3\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Zapisujemy funkcję za pomocą miejsc zerowych i podstawiamy współrzędne punktu \((2,15)\).

\[f(x)=a(x-1)(x+3),\qquad 15=a(2-1)(2+3)=5a,\qquad a=3\]

3 Postać kanoniczna i zbiór wartości

Po uzupełnieniu kwadratu otrzymujemy postać kanoniczną. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest dodatni, najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-12\).

\[f(x)=3(x-1)(x+3)=3(x^2+2x-3)=3(x+1)^2-12\]

Odpowiedź

Postać kanoniczna: \(f(x)=3(x+1)^2-12\). Zbiór wartości: \([-12,\infty)\).

\[f(x)=3(x+1)^2-12,\qquad W_f=[-12,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) funkcja ma wartość \(15\), a dla \(x=1\) wartość \(0\). Wierzchołek ma współrzędne \((-1,-12)\), więc oś symetrii i najmniejsza wartość zgadzają się z wynikiem.

\[f(2)=3\cdot3^2-12=15,\qquad f(1)=3\cdot2^2-12=0,\qquad f(-1)=-12\]

Zadanie 33

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, więc ich długości można zapisać w tej postaci, gdzie \(a>0\).

\[a,\ 4a,\ 16a\]

2 Obliczenie długości krawędzi

Podstawiamy te długości do wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\;\Rightarrow\;168a^2=94{,}5\;\Rightarrow\;a^2=\frac{9}{16}\;\Rightarrow\;a=\frac34\]

3 Obliczenie objętości

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

\[V=a\cdot4a\cdot16a=\frac34\cdot3\cdot12=27\]

Odpowiedź

Objętość prostopadłościanu wynosi 27.

\[V=27\]

Sprawdzenie

Krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc ich kolejne ilorazy wynoszą 4. Obliczone z nich pole powierzchni całkowitej jest równe 94,5.

\[\frac{3}{0{,}75}=\frac{12}{3}=4,\qquad 2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]

Zadanie 34

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,1)\) oraz \(C=(6,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Prosta \(k\) o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez wierzchołki \(B\) oraz \(D\) tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AC|^2=(6-0)^2+(4-1)^2=36+9=45\]

2 Pole kwadratu

Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

\[P=\frac{|AC|^2}{2}=\frac{45}{2}\]

3 Współczynniki prostej

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i są prostopadłe. Środek AC leży więc na prostej k, a jej współczynnik kierunkowy jest przeciwną odwrotnością współczynnika kierunkowego AC.

\[S=\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(3,\frac52\right),\quad a_{AC}=\frac{4-1}{6-0}=\frac12,\quad a=-2,\quad \frac52=-2\cdot3+b\Rightarrow b=\frac{17}{2}\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 45/2, a współczynniki prostej k to a = −2 oraz b = 17/2.

\[P=\frac{45}{2},\qquad k:\ y=-2x+\frac{17}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia przekątnych należy do wyznaczonej prostej, a iloczyn jej współczynnika kierunkowego i współczynnika kierunkowego AC wynosi −1. Zatem prosta przechodzi przez środek AC i jest do niej prostopadła, jak wymaga tego przekątna BD kwadratu.

\[-2\cdot3+\frac{17}{2}=\frac52,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]

Zadanie 1

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dodatnia liczba \(a\) stanowi \(80\%\) liczby \(b\). Liczba \(b\) stanowi

\(125\%\) liczby \(a\).

\(25\%\) liczby \(a\).

\(20\%\) liczby \(a\).

\(12{,}5\%\) liczby \(a\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność

Zamieniamy 80% na ułamek dziesiętny, aby zapisać treść zadania równaniem.

\[a=0{,}8b\]

2 Wyznacz procent

Dzielimy równanie przez 0,8. Ponieważ a jest dodatnie, możemy następnie odczytać stosunek b do a.

\[b=\frac{a}{0{,}8}=1{,}25a=125\%\,a\]

Odpowiedź

Liczba b stanowi 125% liczby a. Odpowiedź A.

\[b=125\%\,a\]

Sprawdzenie

80% ze 125% liczby a to 100% liczby a, więc otrzymana zależność spełnia warunek zadania.

\[0{,}8\cdot1{,}25a=a\]

Zadanie 2

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\) jest równa

\(16\)

\(18\)

\(30\)

\(34\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastka

Wyłączamy kwadrat liczby 4 spod pierwiastka, aby odjąć podobne wyrażenia.

\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2},\qquad 4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\]

2 Podniesienie do kwadratu

Podnosimy do kwadratu zarówno współczynnik, jak i pierwiastek.

\[(3\sqrt{2})^2=3^2\cdot(\sqrt{2})^2=9\cdot2=18\]

Odpowiedź

Wynik to 18, czyli odpowiedź B.

\[18\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na kwadrat różnicy otrzymujemy ten sam wynik.

\[(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=32-2\sqrt{64}+2=32-16+2=18\]

Zadanie 3

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

\(30\)

\(31\)

\(5^{12}\)

\(5^{27}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podziel każdy składnik

Dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik, a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=5^{12-12}+5^{13-12}+5^{14-12}=1+5+25=31\]

Odpowiedź

Liczba jest równa 31. Odpowiedź B.

\[31\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy licznik wyjściowego ułamka.

\[31\cdot5^{12}=(1+5+25)\cdot5^{12}=5^{12}+5^{13}+5^{14}\]

Zadanie 4

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_3 108-2\log_3 2\) jest równa

\(3\)

\(9\)

\(\log_3 104\)

\(2\log_3 54\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmów

Ponieważ argumenty logarytmów są dodatnie, możemy użyć wzoru na logarytm potęgi i ilorazu.

\[\log_3 108-2\log_3 2=\log_3 108-\log_3 2^2=\log_3\frac{108}{4}\]

2 Obliczenie wartości

Iloraz wynosi 27, czyli trzecią potęgę liczby 3.

\[\log_3\frac{108}{4}=\log_3 27=\log_3 3^3=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź A.

\[3\]

Sprawdzenie

Ponieważ 108 = 27 · 4, odjęcie logarytmu liczby 4 od logarytmu liczby 108 daje logarytm liczby 27, równy 3.

\[\log_3 108-\log_3 4=\log_3 27=3\]

Zadanie 5

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

\(5x^2-5\)

\(5x^2+13\)

\(5x^2+24x-5\)

\(5x^2+24x-13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Rozkładamy wyrażenie na iloczyn, aby łatwo usunąć nawiasy.

\[(3x+2)^2-(2x-3)^2=\big((3x+2)-(2x-3)\big)\big((3x+2)+(2x-3)\big)=(x+5)(5x-1)\]

2 Wymnożenie nawiasów

Sprowadzamy iloczyn do postaci podanej w odpowiedziach.

\[(x+5)(5x-1)=5x^2-x+25x-5=5x^2+24x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(5x^2+24x-5\).

\[5x^2+24x-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wyrażenie początkowe ma wartość \(24\), tak samo jak otrzymany wielomian. Wszystkie przekształcenia są tożsamościami dla każdej liczby rzeczywistej.

\[(3\cdot1+2)^2-(2\cdot1-3)^2=25-1=24=5\cdot1^2+24\cdot1-5\]

Zadanie 6

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dana jest nierówność

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\]

Wybierz rysunek, na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant A.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant B.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant C.

Oś liczbowa z zaznaczonym zbiorem liczb, wariant D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń nawias

Mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez −2.

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\iff 1+4x\geq 2x-17\]

2 Wyznacz x

Odejmujemy 2x i 1 od obu stron, a następnie dzielimy przez dodatnie 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[2x\geq -18\iff x\geq -9\]

3 Wybierz rysunek

Zamalowana kropka oznacza, że −9 należy do zbioru rozwiązań, a zaznaczenie w prawo obejmuje liczby większe od −9.

\[x\in[-9,\infty)\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[x\in[-9,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −9 obie strony nierówności są równe −35. Dla x = −10 lewa strona wynosi −39, a prawa −37, więc liczba mniejsza od −9 nie spełnia nierówności.

\[x=-9:\ -35\geq -35;\qquad x=-10:\ -39\not\geq -37\]

Zadanie 7

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(0\).

dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\).

trzy rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\) oraz \(0\).

cztery rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\), \(0\) oraz \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Stała 2 nie jest zerem.

\[2x(x+3)(x^2+25)=0\iff x=0\ \lor\ x+3=0\ \lor\ x^2+25=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Z dwóch pierwszych warunków otrzymujemy 0 i −3. Trzeci nie daje rozwiązania rzeczywistego, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x=0\quad\lor\quad x=-3,\qquad x^2+25\ge 25>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: −3 i 0. Odpowiedź A.

\[\boxed{x\in\{-3,0\}}\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 zeruje się czynnik x, a dla x = −3 czynnik x + 3. Dla pozostałych liczb rzeczywistych oba te czynniki są niezerowe, zaś x² + 25 jest zawsze dodatnie, więc innych rozwiązań nie ma.

\[2\cdot 0\cdot(0+3)\cdot(0^2+25)=0,\qquad 2\cdot(-3)\cdot(-3+3)\cdot((-3)^2+25)=0\]

Zadanie 8

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

\((-4,4\rangle\)

\(\langle-4,4)\)

\(\langle-3,3)\)

\((-3,3\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie krańców

Dziedzina to zbiór wartości x, dla których istnieją punkty wykresu. Wykres rozciąga się od x=-4 do x=4.

\[-4\le x<4\]

2 Uwzględnienie końców przedziału

Punkt przy x=-4 jest zamalowany, więc -4 należy do dziedziny. Punkt przy x=4 jest niezamalowany, więc 4 do niej nie należy.

\[D_f=\langle-4,4)\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[D_f=\langle-4,4)\]

Sprawdzenie

Wykres zawiera punkt dla x=-4, nie zawiera punktu dla x=4 i jest narysowany dla każdej wartości x pomiędzy nimi. Odpowiada to przedziałowi z odpowiedzi B.

\[-4\in D_f,\qquad 4\notin D_f\]

Zadanie 9

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z osiami i oznaczeniami.

\(\langle-4,-2\rangle\)

\(\langle1,3\rangle\)

\(\langle2,4)\)

\((-3,3\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

Funkcja jest rosnąca tam, gdzie przy zwiększaniu argumentu jej wartości rosną. Na wykresie dzieje się tak od punktu o współrzędnych \((-4,1)\) do punktu \((-2,3)\).

\[-4\le x_1<x_2\le-2\ \Longrightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\]

2 Wybór odpowiedzi

Oba końce odcinka należą do wykresu, więc przedział rośnięcia jest domknięty.

\[\langle-4,-2\rangle\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\).

\[\boxed{\text{A. }\langle-4,-2\rangle}\]

Sprawdzenie

Na wskazanym odcinku, gdy \(x\) wzrasta od \(-4\) do \(-2\), wartość funkcji wzrasta od \(1\) do \(3\), co potwierdza wybór.

\[-4<-2,\qquad f(-4)=1<3=f(-2)\]

Zadanie 10

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)x-4\).

Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego

\((-3)\)

\(0\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku miejsca zerowego

Funkcja postaci \(ax+b\) nie ma miejsca zerowego, gdy \(a=0\) i \(b\neq 0\). Tutaj wyraz wolny wynosi \(-4\), więc szukamy wartości \(m\), dla której współczynnik przy \(x\) jest zerowy.

\[3-m=0\quad\Longrightarrow\quad m=3\]

2 Wartość funkcji

Dla \(m=3\) funkcja jest stała i przyjmuje wyłącznie wartość \(-4\), więc nigdy nie jest równa zeru.

\[f(x)=(3-3)x-4=-4\neq 0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: m = 3.

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla pozostałych podanych wartości m współczynnik 3−m jest różny od zera, więc równanie f(x)=0 ma rozwiązanie x=4/(3−m).

\[m\in\{-3,0,4\}\quad\Longrightarrow\quad 3-m\neq 0,\qquad x=\frac{4}{3-m}\]

Zadanie 11

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(n+3)(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunku ujemności

Ponieważ dla każdego n≥1 czynnik n+3 jest dodatni, iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy n−5<0.

\[a_n<0\iff n-5<0\iff n<5\]

2 Policzenie wyrazów

Warunek spełniają cztery dopuszczalne indeksy: 1, 2, 3 i 4.

\[n\in\{1,2,3,4\}\quad\Rightarrow\quad 4\text{ wyrazy ujemne}\]

Odpowiedź

Cztery wyrazy ujemne — odpowiedź A.

\[4\]

Sprawdzenie

Dla n od 1 do 4 drugi czynnik jest ujemny. Dla n=5 wyraz wynosi 0, a dla n>5 oba czynniki są dodatnie, więc innych wyrazów ujemnych nie ma.

\[a_5=(5+3)(5-5)=0\]

Zadanie 12

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\).

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(\frac{1}{3}\)

\(1\)

\(3\)

\(729\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie czwartego wyrazu

Aby przejść od pierwszego wyrazu do czwartego, mnożymy trzy razy przez iloraz.

\[a_4=a_1q^3=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=1\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz wynosi 1. Odpowiedź B.

\[a_4=1\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy to 27, 9, 3, 1. Każdy jest jedną trzecią poprzedniego, więc wynik spełnia warunek ciągu geometrycznego.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=\frac{a_4}{3}\]