Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 42 z 70

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

\(( -\infty,-2\rangle\)

\(\langle 2,+\infty)\)

\(\langle -4,+\infty)\)

\(( -\infty,4\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największej wartości

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc wartość funkcji nie przekracza 4. Dla x=0 funkcja przyjmuje wartość 4.

\[x^2\ge 0\;\Rightarrow\;f(x)=4-x^2\le 4,\qquad f(0)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Każdą liczbę mniejszą od 4 funkcja również przyjmuje: dla takiej liczby y możemy wybrać rzeczywiste x.

\[y<4\;\Rightarrow\;x=\sqrt{4-y},\qquad f(x)=4-(4-y)=y\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 4 włącznie. Odpowiedź D.

\[(-\infty,4]\]

Sprawdzenie

Wartość 4 należy do zbioru, bo f(0)=4. Wartość większa od 4 jest niemożliwa, bo x² jest nieujemne; każda mniejsza została uzyskana w drugim kroku.

\[f(0)=4,\qquad \forall x\in\mathbb{R}\quad f(x)\le 4\]

Zadanie 12

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

Układ współrzędnych z osiami x i y, oznaczeniami 0 i 1 oraz fragmentem paraboli skierowanej ramionami w dół.

\(f(x)=x^2-6x+11\)

\(f(x)=-x^2+x+2\)

\(f(x)=x^2-6x-7\)

\(f(x)=-x^2+6x-7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znak współczynnika

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny. Pozostają odpowiedzi B i D.

\[a<0\]

2 Porównaj przecięcie z osią \(y\)

Wykres przecina oś \(y\) poniżej zera, zatem \(f(0)<0\). Spośród pozostałych wzorów spełnia to tylko D.

\[f_B(0)=2>0,\qquad f_D(0)=-7<0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[f(x)=-x^2+6x-7\]

Sprawdzenie

Dla wskazanego wzoru wierzchołek ma współrzędne \((3,2)\), więc leży nad osią \(x\), tak jak na rysunku.

\[-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2\]

Zadanie 13

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy

\(a_{24}-a_6=18\)

\(a_{24}-a_6=20\)

\(a_{24}-a_6=36\)

\(a_{24}-a_6=38\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy wyrazów

Od szóstego do dwudziestego czwartego wyrazu wykonujemy 18 kroków, a w każdym wyraz rośnie o 2.

\[a_{24}-a_6=(24-6)\cdot 2=36\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[a_{24}-a_6=36\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy ten sam wynik; wartość pierwszego wyrazu się skraca.

\[a_{24}=a_1+23\cdot2=a_1+46,\quad a_6=a_1+5\cdot2=a_1+10,\quad a_{24}-a_6=36\]

Zadanie 14

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa

\(\frac{2+998}{2}\cdot 499\)

\(\frac{2+1000}{2}\cdot 500\)

\(\frac{2+1001}{2}\cdot 500\)

\(\frac{1+1001}{2}\cdot 1001\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie składników

Dodatnie liczby parzyste mniejsze od 1001 tworzą ciąg od 2 do 1000 o różnicy 2. Obliczamy liczbę jego wyrazów.

\[n=\frac{1000-2}{2}+1=500\]

2 Obliczenie sumy

Sumę ciągu arytmetycznego otrzymujemy, mnożąc średnią pierwszego i ostatniego wyrazu przez liczbę wyrazów.

\[S=\frac{2+1000}{2}\cdot 500=250500\]

Odpowiedź

Suma wynosi 250500. Pasuje odpowiedź B.

\[\boxed{B:\ \frac{2+1000}{2}\cdot 500=250500}\]

Sprawdzenie

Parując pierwszy wyraz z ostatnim, otrzymujemy 250 par o sumie 1002, więc wynik się zgadza.

\[2+1000=4+998=1002,\qquad 250\cdot1002=250500\]

Zadanie 15

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((2, x, 18)\) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

\(x=16\)

\(x=10\)

\(x=6\)

\(x=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Własność ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc wyznaczamy możliwe wartości x.

\[x^2=2\cdot18=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\ \text{lub}\ x=-6\]

2 Warunek rosnącego ciągu

Wyrazy muszą spełniać nierówność 2<x<18. Spełnia ją tylko x=6.

\[2<6<18\]

Odpowiedź

C, x=6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Dla wybranej wartości oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe 3, a ciąg (2, 6, 18) jest rosnący.

\[\frac{6}{2}=3=\frac{18}{6},\qquad 2<6<18\]

Zadanie 16

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{7}{25}\). Wynika stąd, że

\(\cos\alpha=\frac{576}{625}\)

\(\cos\alpha=\frac{24}{25}\)

\(\cos\alpha=-\sqrt{\frac{24}{25}}\)

\(\cos\alpha=\frac{18}{25}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej

Korzystamy z zależności między sinusem a cosinusem, aby obliczyć kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576}{625}\]

2 Wybór znaku

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{24}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymany cosinus jest dodatni, a suma kwadratów podanego sinusa i obliczonego cosinusa wynosi 1.

\[\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=1\]

Zadanie 17

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(S\). Bok \(AD\) jest średnicą tego okręgu, a miara kąta \(BDC\) jest równa \(20^\circ\) (zobacz rysunek).

Wtedy miara kąta \(BSC\) jest równa

Okrąg o środku S z wpisanym czworokątem ABCD. Odcinek AD przechodzi przez S. Narysowano odcinki AB, BC, CD i BD oraz zaznaczono kąt BDC o mierze 20°.

\(10^\circ\)

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie twierdzenia o kącie środkowym

Kąt wpisany BDC i kąt środkowy BSC są oparte na tym samym łuku BC. Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od wpisanego.

\[\angle BSC=2\angle BDC=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BSC ma miarę 40°. Odpowiedź D.

\[\angle BSC=40^\circ\]

Sprawdzenie

Połowa otrzymanego kąta środkowego to 20°, czyli podana miara kąta BDC.

\[\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Okrąg o środku w punkcie \(O\) jest wpisany w trójkąt \(ABC\). Wiadomo, że \(|AB|=|AC|\) i \(|\angle BOC|=100^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BAC\) jest równa

Trójkąt ABC z okręgiem wpisanym o środku O. Zaznaczono kąt BOC o mierze 100°.

\(20^\circ\)

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dwusieczne kątów

Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów trójkąta, więc w trójkącie BOC kąty przy B i C są połowami odpowiednich kątów trójkąta ABC.

\[\angle OBC=\frac12\angle ABC,\qquad \angle OCB=\frac12\angle ACB\]

2 Obliczenie kąta BAC

Z sumy kątów w trójkącie BOC oraz z sumy kątów w trójkącie ABC otrzymujemy równanie.

\[100^\circ=180^\circ-\frac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=90^\circ+\frac{\angle BAC}{2}\quad\Rightarrow\quad\angle BAC=20^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAC ma miarę 20°, więc poprawna jest odpowiedź A.

\[\angle BAC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ AB = AC, kąty przy podstawie mają po 80°. Ich połowy mają po 40°, zatem kąt BOC ma 180° − 40° − 40° = 100°, zgodnie z treścią.

\[\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ,\qquad \angle BOC=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\), \(|\angle ACB|=55^\circ\) oraz \(|\angle AEB|=140^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(DAC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C, D na obwodzie. Cięciwy DB i AC przecinają się w E. Zaznaczono kąty ACB o mierze 55° i AEB o mierze 140°.

\(45^\circ\)

\(55^\circ\)

\(70^\circ\)

\(85^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy punkcie E

Punkty A, E i C leżą na jednej prostej, więc kąty AEB i CEB są przyległe.

\[|\angle CEB|=180^\circ-140^\circ=40^\circ\]

2 Kąt przy punkcie B

W trójkącie CEB suma kątów wynosi 180°. Ponieważ E leży na AC i DB, otrzymany kąt EBC jest kątem DBC.

\[|\angle DBC|=|\angle EBC|=180^\circ-55^\circ-40^\circ=85^\circ\]

3 Kąt DAC

Kąty DAC i DBC są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku DC, więc mają równe miary.

\[|\angle DAC|=|\angle DBC|=85^\circ\]

Odpowiedź

85°, odpowiedź D.

\[|\angle DAC|=85^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie CEB obliczone kąty mają miary 55°, 40° i 85°; ich suma wynosi 180°.

\[55^\circ+40^\circ+85^\circ=180^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) – tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\).

Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy

Prostokąt ABCD z przekątną AC oraz prostokątem AEFG; punkty E, F i G leżą odpowiednio na AB, AC i AD.

\(158\)

\(196\)

\(336\)

\(490\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki mniejszego prostokąta

Przeciwległe boki prostokąta są równe, więc AE=GF=40. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną AF.

\[AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty AEF i ABC są prostokątne oraz mają wspólny kąt przy A, ponieważ F leży na AC. Skala większego trójkąta wynosi AC/AF=70/50=7/5.

\[AB=40\cdot\frac{7}{5}=56,\qquad BC=30\cdot\frac{7}{5}=42\]

3 Obwód

Obwód prostokąta jest równy podwojonej sumie długości sąsiednich boków.

\[P=2(AB+BC)=2(56+42)=196\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 196. Odpowiedź B.

\[P=196\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Boki 56 i 42 dają przekątną długości 70, zgodną z treścią zadania.

\[\sqrt{56^2+42^2}=\sqrt{4900}=70\]

Zadanie 21

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy

\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ współrzędne x punktów są różne, dzielimy różnicę współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-2)}{3-1}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3}{2}\). Odpowiedź D.

\[a=\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Przesunięcie z A do B wynosi 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę, więc iloraz zmiany y i zmiany x to \(\frac{3}{2}\).

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 22

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) ma równanie \(y=-\frac{4}{7}x+24\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(k\) jest równy

\(\frac{7}{4}\)

\(\left(-\frac{7}{4}\right)\)

\(\left(-\frac{4}{7}\right)\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współczynnika

W równaniu \(y=ax+b\) współczynnik kierunkowy jest równy \(a\).

\[a_k=-\frac{4}{7}\]

2 Wyznaczenie współczynnika prostej prostopadłej

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\), więc szukany współczynnik jest odwrotnością o przeciwnym znaku.

\[a_\perp=-\frac{1}{a_k}=-\frac{1}{-\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{7}{4}\). Odpowiedź A.

\[a_\perp=\frac{7}{4}\]

Sprawdzenie

Iloczyn współczynników wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[-\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}=-1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(3,7)\) i \(C=(-4,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości przekątnej

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(-4-3)^2+(6-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Wyznaczenie promienia

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest środkiem przekątnej, więc promień stanowi połowę jej długości.

\[R=\frac{|AC|}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanego promienia daje długość przekątnej AC.

\[2R=2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 24

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(2\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z trzema krawędziami oznaczonymi liczbą 2.

\(24+2\sqrt{3}\)

\(24+6\sqrt{3}\)

\(24+12\sqrt{3}\)

\(24+24\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole powierzchni bocznej

Sześć ścian bocznych to prostokąty o bokach 2 i 2, więc sumujemy ich pola.

\[P_b=6\cdot 2\cdot 2=24\]

2 Pole podstaw

Każda podstawa składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku 2. Liczymy pola obu podstaw.

\[P_p=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3},\qquad 2P_p=12\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite

Dodajemy pole powierzchni bocznej i pola dwóch podstaw.

\[P_c=P_b+2P_p=24+12\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[P_c=24+12\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześć ścian bocznych daje 24, a dwie podstawy dają 12√3; ich suma zgadza się z odpowiedzią C.

\[6\cdot 4+2\cdot 6\cdot\sqrt{3}=24+12\sqrt{3}\]

Zadanie 25

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekątna sześcianu jest równa \(6\). Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa

\(24\sqrt{3}\)

\(72\)

\(54\sqrt{2}\)

\(648\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc wyznaczamy \(a\) z podanej długości.

\[a\sqrt{3}=6\quad\Rightarrow\quad a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu jest równa sześcianowi długości jego krawędzi.

\[V=a^3=(2\sqrt{3})^3=24\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(24\sqrt{3}\). Odpowiedź A.

\[V=24\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Krawędź \(2\sqrt{3}\) daje przekątną długości \(6\), zgodną z treścią zadania.

\[2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\]