Zamknięte1 pkt
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A
\(( -\infty,-2\rangle\)
B
\(\langle 2,+\infty)\)
C
\(\langle -4,+\infty)\)
D
\(( -\infty,4\rangle\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie największej wartości
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc wartość funkcji nie przekracza 4. Dla x=0 funkcja przyjmuje wartość 4.
\[x^2\ge 0\;\Rightarrow\;f(x)=4-x^2\le 4,\qquad f(0)=4\]
2 Wyznaczenie zbioru wartości
Każdą liczbę mniejszą od 4 funkcja również przyjmuje: dla takiej liczby y możemy wybrać rzeczywiste x.
\[y<4\;\Rightarrow\;x=\sqrt{4-y},\qquad f(x)=4-(4-y)=y\]
Odpowiedź
Zbiorem wartości jest przedział od minus nieskończoności do 4 włącznie. Odpowiedź D.
\[(-\infty,4]\]
Sprawdzenie
Wartość 4 należy do zbioru, bo f(0)=4. Wartość większa od 4 jest niemożliwa, bo x² jest nieujemne; każda mniejsza została uzyskana w drugim kroku.
\[f(0)=4,\qquad \forall x\in\mathbb{R}\quad f(x)\le 4\]