Zamknięte1 pkt
Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) – tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\).
Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy
A
\(158\)
B
\(196\)
C
\(336\)
D
\(490\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Boki mniejszego prostokąta
Przeciwległe boki prostokąta są równe, więc AE=GF=40. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną AF.
\[AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50\]
2 Podobieństwo trójkątów
Trójkąty AEF i ABC są prostokątne oraz mają wspólny kąt przy A, ponieważ F leży na AC. Skala większego trójkąta wynosi AC/AF=70/50=7/5.
\[AB=40\cdot\frac{7}{5}=56,\qquad BC=30\cdot\frac{7}{5}=42\]
3 Obwód
Obwód prostokąta jest równy podwojonej sumie długości sąsiednich boków.
\[P=2(AB+BC)=2(56+42)=196\]
Odpowiedź
Obwód wynosi 196. Odpowiedź B.
\[P=196\quad\text{(B)}\]
Sprawdzenie
Boki 56 i 42 dają przekątną długości 70, zgodną z treścią zadania.
\[\sqrt{56^2+42^2}=\sqrt{4900}=70\]