Zamknięte1 pkt
Okrąg o środku w punkcie \(O\) jest wpisany w trójkąt \(ABC\). Wiadomo, że \(|AB|=|AC|\) i \(|\angle BOC|=100^\circ\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(BAC\) jest równa
A
\(20^\circ\)
B
\(30^\circ\)
C
\(40^\circ\)
D
\(50^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Dwusieczne kątów
Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów trójkąta, więc w trójkącie BOC kąty przy B i C są połowami odpowiednich kątów trójkąta ABC.
\[\angle OBC=\frac12\angle ABC,\qquad \angle OCB=\frac12\angle ACB\]
2 Obliczenie kąta BAC
Z sumy kątów w trójkącie BOC oraz z sumy kątów w trójkącie ABC otrzymujemy równanie.
\[100^\circ=180^\circ-\frac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=90^\circ+\frac{\angle BAC}{2}\quad\Rightarrow\quad\angle BAC=20^\circ\]
Odpowiedź
Kąt BAC ma miarę 20°, więc poprawna jest odpowiedź A.
\[\angle BAC=20^\circ\]
Sprawdzenie
Ponieważ AB = AC, kąty przy podstawie mają po 80°. Ich połowy mają po 40°, zatem kąt BOC ma 180° − 40° − 40° = 100°, zgodnie z treścią.
\[\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ,\qquad \angle BOC=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]