Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 42 z 98

Sortuj:

Zadanie 17

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\) (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Trójkąt prostokątny z bokami oznaczonymi 10, 24 i 26 oraz zaznaczonym kątem prostym.

\(\frac{10}{3}\)

\(4\)

\(5\)

\(\frac{80}{13}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola

Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc pole trójkąta prostokątnego jest połową ich iloczynu.

\[P=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

2 Obliczenie promienia

Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu.

\[s=\frac{10+24+26}{2}=30,\qquad P=rs,\qquad r=\frac{120}{30}=4\]

Odpowiedź

Promień ma długość 4. Odpowiedź B.

\[r=4\]

Sprawdzenie

Dla promienia 4 iloczyn promienia i połowy obwodu wynosi 120, czyli tyle samo co pole obliczone z przyprostokątnych.

\[4\cdot30=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 18

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\) (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Trójkąt prostokątny o bokach oznaczonych 10, 24 i 26; kąt prosty oznaczony przy wierzchołku między bokami 10 i 24.

\(\frac{80}{13}\)

\(\frac{20}{3}\)

\(12\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór własności

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu.

\[2R=26\]

2 Obliczenie promienia

Dzielimy długość średnicy przez dwa.

\[R=\frac{26}{2}=13\]

Odpowiedź

Promień ma długość 13. Odpowiedź D.

\[R=13\]

Sprawdzenie

Boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, więc bok 26 jest przeciwprostokątną. Obliczona średnica ma długość 26.

\[10^2+24^2=100+576=676=26^2,\qquad 2\cdot13=26\]

Zadanie 19

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) (zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego \(AGD\) jest równa

Dziesięciokąt foremny ABCDEFGHIJ wpisany w okrąg o środku S. Z wierzchołka G poprowadzono odcinki do A i D; zaznaczono kąt AGD.

\(18^\circ\)

\(36^\circ\)

\(54^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku AD

W dziesięciokącie foremnym kolejne wierzchołki dzielą okrąg na dziesięć równych łuków. Łuk od A do D przez B i C obejmuje trzy takie części.

\[\frac{360^\circ}{10}=36^\circ,\qquad 3\cdot36^\circ=108^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt AGD jest oparty na łuku AD, który nie zawiera punktu G. Jego miara jest połową miary tego łuku.

\[\angle AGD=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\]

Odpowiedź

54°, odpowiedź C.

\[\angle AGD=54^\circ\]

Sprawdzenie

Łuk AD obejmuje trzy z dziesięciu równych części okręgu, więc stanowi 3/10 pełnego kąta. Połowa 108° to 54°, zgodnie z odpowiedzią C.

\[\frac12\cdot\frac3{10}\cdot360^\circ=54^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Kwadrat \(\mathcal{K}_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_1\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\).

Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_1\) jest równa

Dwa kwadraty różnej wielkości: mniejszy oznaczony 𝒦₁ i większy oznaczony 𝒦₂.

\(\sqrt{3}\)

\(3\)

\(\sqrt{13}\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie boków

Oznaczamy bok mniejszego kwadratu przez dodatnią liczbę \(x\). Skala podobieństwa równa 5 oznacza, że bok większego kwadratu ma długość \(5x\).

\[x>0,\qquad a_{\mathcal K_1}=x,\qquad a_{\mathcal K_2}=5x\]

2 Obliczenie długości boku

Pole kwadratu jest kwadratem długości jego boku. Korzystamy z podanej sumy pól i rozwiązujemy równanie.

\[x^2+(5x)^2=78\;\Longrightarrow\;26x^2=78\;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Długość boku kwadratu \(\mathcal K_1\) wynosi \(\sqrt{3}\). Odpowiedź A.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ \sqrt{3}}\]

Sprawdzenie

Dla boku \(\sqrt{3}\) pola kwadratów wynoszą odpowiednio 3 i 75, więc ich suma to 78. Długość boku jest dodatnia.

\[(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+75=78\]

Zadanie 21

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=x-4\). Prosta \(l\) jest obrazem prostej \(k\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.

Prosta \(l\) jest określona równaniem

\(y=x-4\)

\(y=x+4\)

\(y=-x-4\)

\(y=-x+4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak współrzędnej \(x\), a pozostawia \(y\) bez zmian. Dlatego w równaniu prostej zastępujemy \(x\) przez \(-x\).

\[y=(-x)-4=-x-4\]

Odpowiedź

Prosta \(l\) ma równanie \(y=-x-4\). Odpowiedź C.

\[y=-x-4\]

Sprawdzenie

Punkt \((4,0)\) leży na prostej \(k\). Jego obraz \((-4,0)\) spełnia otrzymane równanie: \(0=-(-4)-4\).

\[0=-(-4)-4=0\]

Zadanie 22

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(20\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(2\)

\(\sqrt{5}\)

\(\sqrt{10}\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pola podstawy

Pole całkowite jest sumą pola podstawy i pola bocznego. Skoro pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy, pole całkowite stanowi pięciokrotność pola podstawy.

\[P_c=P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p=20,\quad P_p=4\]

2 Obliczenie krawędzi podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku \(a\), więc jej pole wynosi \(a^2\). Długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=4,\quad a=\sqrt{4}=2\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi 2. Odpowiedź A.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla boku 2 pole podstawy wynosi 4, a pole boczne 16. Ich suma to 20, zgodnie z treścią zadania.

\[P_p=2^2=4,\quad P_b=4\cdot4=16,\quad P_c=4+16=20\]

Zadanie 23

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).

Wysokość tego stożka jest równa

\(3\)

\(2\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta w przekroju

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc kąt między wysokością a tworzącą ma miarę \(30^\circ\).

\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]

2 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym tworząca jest przeciwprostokątną, a wysokość leży przy kącie \(30^\circ\). Korzystamy z cosinusa tego kąta.

\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6},\qquad h=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Wysokość stożka wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[h=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Połowa średnicy podstawy ma długość \(6\sin 30^\circ=3\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości \(6\), zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6\]

Zadanie 24

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

\(108\)

\(117\)

\(126\)

\(162\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zero na końcu

Cyfra setek nie może być zerem, a cyfra dziesiątek musi być niezerowa, aby zero wystąpiło dokładnie raz. Każdą z nich wybieramy na 9 sposobów.

\[9\cdot 9=81\]

2 Zero w środku

Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów. Ostatnia cyfra musi być parzysta i niezerowa, więc wybieramy ją spośród 2, 4, 6, 8.

\[9\cdot 4=36\]

3 Zliczenie

Przypadki są rozłączne i obejmują wszystkie możliwe pozycje jedynego zera.

\[81+36=117\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 117. Odpowiedź B.

\[117\]

Sprawdzenie

Zero nie może stać na miejscu setek, bo liczba nie byłaby trzycyfrowa. W obu policzonych przypadkach pozostałe cyfry są niezerowe, więc każda liczba ma dokładnie jedno zero.

\[81+36=117\]

Zadanie 25

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(12\).

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2a,\ 3a,\ 2b,\ 3b,\ 2c,\ 3c\), jest równa

\(10\)

\(12\)

\(30\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy liczb

Średnia trzech liczb wynosi 12, więc ich suma jest trzy razy większa.

\[\frac{a+b+c}{3}=12\quad\Rightarrow\quad a+b+c=36\]

2 Obliczenie nowej średniej

Suma sześciu podanych liczb jest równa pięciokrotności sumy liczb a, b, c. Dzielimy ją przez 6.

\[\frac{2a+3a+2b+3b+2c+3c}{6}=\frac{5(a+b+c)}{6}=\frac{5\cdot36}{6}=30\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 30.

\[30\]

Sprawdzenie

Suma sześciu liczb wynosi 180, a 180 podzielone przez 6 daje 30.

\[5\cdot36=180,\qquad\frac{180}{6}=30\]

Zadanie 26

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność

\(x(x+4) \lt x-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Sprowadzamy nierówność do postaci iloczynowej, aby ustalić znak wyrażenia.

\[x(x+4)<x-2\iff x^2+3x+2<0\iff(x+1)(x+2)<0\]

2 Wyznacz przedział rozwiązania

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Dzieje się tak między miejscami zerowymi \(-2\) i \(-1\).

\[-2<x<-1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty od −2 do −1.

\[x\in(-2,-1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby z tego przedziału, np. \(x=-\frac32\), iloczyn jest ujemny. Na końcach przedziału wynosi zero, więc nie spełnia nierówności ostrej.

\[\left(-\frac32+1\right)\left(-\frac32+2\right)=-\frac14<0;\quad(-2+1)(-2+2)=(-1+1)(-1+2)=0\]

Zadanie 27

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie wyrazów

Przenosimy prawą stronę na lewą, aby wykazać, że różnica jest dodatnia.

\[x^2+y^2-4(x+y-2)>0\]

2 Uzupełnienie kwadratów

Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

\[x^2+y^2-4(x+y-2)=(x-2)^2+(y-2)^2\]

3 Wykazanie dodatniości

Ponieważ \(x\neq 2\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).

\[(x-2)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2+(y-2)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego \(x\neq 2\) i każdego rzeczywistego \(y\).

\[x^2+y^2>4(x+y-2)\]

Sprawdzenie

Suma kwadratów może być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(x=2\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 2\) wyklucza ten przypadek.

\[(x-2)^2+(y-2)^2=0\iff x=2\ \land\ y=2\]

Zadanie 28

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby drzew

Oznaczamy przez x liczbę drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a przez y liczbę drzew posadzonych w drugim. Ich suma wynosi 1410.

\[x+y=1410\]

2 Liczba drzew po roku

W pierwszym sadzie pozostało 80% drzew, a w drugim 85%. Korzystamy z podanej zależności między liczbami drzew, które pozostały.

\[0{,}85y=0{,}70\cdot 0{,}80x=0{,}56x\]

3 Obliczenie liczby drzew

Wyznaczamy y z drugiego równania i podstawiamy do sumy drzew.

\[y=\frac{56}{85}x,\qquad x+\frac{56}{85}x=1410,\qquad \frac{141}{85}x=1410,\qquad x=850\]

Odpowiedź

W pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.

\[850\ \text{drzew}\]

Sprawdzenie

W drugim sadzie posadzono 560 drzew, więc razem posadzono 1410. Po roku pozostało odpowiednio 680 i 476 drzew, a 476 stanowi 70% z 680.

\[850+560=1410,\qquad 0{,}80\cdot850=680,\qquad 0{,}85\cdot560=476=0{,}70\cdot680\]

Zadanie 29

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy

Suma 25 wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=2025\]

2 Obliczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy warunek \(a_{25}=17a_1\) i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{25(a_1+17a_1)}{2}=2025\quad\Longrightarrow\quad225a_1=2025\quad\Longrightarrow\quad a_1=9\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz ciągu wynosi 9.

\[a_1=9\]

Sprawdzenie

Ostatni wyraz wynosi 153, czyli 17 razy więcej niż pierwszy. Suma obliczona z tych wyrazów jest równa 2025.

\[a_{25}=17\cdot9=153,\qquad S_{25}=\frac{25(9+153)}{2}=2025\]

Zadanie 30

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Mnożymy każdą liczbę punktów przez liczbę uczniów, którzy ją uzyskali, a sumę dzielimy przez 32.

\[\frac{0\cdot4+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot5+4\cdot11+5\cdot5}{32}=\frac{96}{32}=3\]

2 Ustalenie środkowych wyników

Przy 32 uczniach mediana jest średnią wyników na pozycjach 16. i 17. Po uporządkowaniu danych wyniki od 12. do 16. wynoszą 3 punkty, a od 17. do 27. wynoszą 4 punkty.

\[4+2+5=11,\qquad 11+5=16,\qquad 16+11=27\]

3 Obliczenie mediany

Środkowe wyniki to 3 i 4 punkty, więc obliczamy ich średnią.

\[\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5\]

Odpowiedź

Średnia arytmetyczna wynosi 3 punkty, a mediana 3,5 punktu.

\[\text{średnia}=3,\qquad \text{mediana}=3{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 32. Suma punktów wynosi 96, więc średnia 3 daje łącznie 96 punktów. Dokładnie 16 wyników jest nie większych niż 3 i 16 wyników jest nie mniejszych niż 4, co potwierdza wybór środkowej pary.

\[4+2+5+5+11+5=32,\qquad 32\cdot3=96\]

Zadanie 31

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x,y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot y\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Każdą z 6 liczb ze zbioru X można połączyć z każdą z 4 liczb ze zbioru Y. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=6\cdot 4=24\]

2 Liczba par spełniających warunek

Iloczyn jest nieujemny, gdy obie liczby są ujemne, obie są dodatnie albo co najmniej jedna jest zerem. Licząc pary z zerem, osobno uwzględniamy x=0 i y=0 przy x różnym od zera, aby nie policzyć pary (0,0) dwa razy.

\[|A|=3\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 4+5\cdot 1=17\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{17}{24}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 17/24.

\[P(A)=\frac{17}{24}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest ujemny dla 3·1+2·2=7 par. Razem z 17 parami sprzyjającymi daje to wszystkie 24 pary.

\[17+(3\cdot 1+2\cdot 2)=24\]