Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 41 z 70

Sortuj:

Zadanie 31

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n \geq 1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz sumę

Korzystamy ze wzoru na sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=20a_1+190d\]

2 Wyznacz różnicę

Ponieważ 21. wyraz ma postać \(a_{21}=a_1+20d\), podstawiamy oba wzory do podanej równości i rozwiązujemy równanie.

\[20a_1+190d=20(a_1+20d)+62\;\Longrightarrow\;-210d=62\;\Longrightarrow\;d=-\frac{31}{105}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-\frac{31}{105}\).

\[d=-\frac{31}{105}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej różnicy prawa strona podanej równości jest równa lewej, niezależnie od wartości \(a_1\).

\[20a_{21}+62=20a_1+400\left(-\frac{31}{105}\right)+62=20a_1+190\left(-\frac{31}{105}\right)=S_{20}\]

Zadanie 32

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość. Po wydłużeniu każda podstawa ma 125% pierwotnej długości.

\[P=\frac{(a+b)h}{2},\qquad P'=\frac{(1{,}25a+1{,}25b)h'}{2}\]

2 Wyznaczenie nowej wysokości

Pola są równe, więc przyrównujemy wzory. Ponieważ suma długości podstaw jest dodatnia, możemy ją skrócić.

\[\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1{,}25(a+b)h'}{2}\quad\Longrightarrow\quad h'=\frac{h}{1{,}25}=0{,}8h\]

3 Obliczenie procentu skrócenia

Nowa wysokość stanowi 80% pierwotnej, zatem ubyło 20%.

\[\frac{h-h'}{h}\cdot100\%=\frac{h-0{,}8h}{h}\cdot100\%=20\%\]

Odpowiedź

Wysokość skrócono o 20%.

\[20\%\]

Sprawdzenie

Po zmianie suma podstaw jest 1,25 razy większa, a wysokość stanowi 0,8 poprzedniej. Iloczyn tych czynników wynosi 1, więc pole pozostaje takie samo.

\[1{,}25\cdot0{,}8=1\]

Zadanie 33

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach – odpowiednio – \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest 17 razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział trójkąta

Opuszczamy wysokość z C na AB i oznaczamy jej podstawę przez M. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę i pole na połowy.

\[P_{BMC}=\frac12P_{ABC}\]

2 Porównanie pól

Trójkąty BED i BMC są podobne, ponieważ ED i CM są prostopadłe do AB oraz mają wspólny kąt przy B. Stosunek ich pól jest kwadratem stosunku odpowiednich boków.

\[P_{ABC}=P_{ADEC}+P_{BED}=18P_{BED},\qquad \left(\frac{|BE|}{|BC|}\right)^2=\frac{P_{BED}}{P_{BMC}}=\frac{2P_{BED}}{P_{ABC}}=\frac19\]

3 Obliczenie ilorazu

Długości są dodatnie, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Następnie odejmujemy BE od BC.

\[\frac{|BE|}{|BC|}=\frac13,\qquad \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{|BC|-|BE|}{|BE|}=\frac{1-\frac13}{\frac13}=2\]

Odpowiedź

Szukany iloraz wynosi 2.

\[\frac{|CE|}{|EB|}=2\]

Sprawdzenie

Gdy BE stanowi jedną trzecią BC, pole BED stanowi jedną dziewiątą pola BMC, czyli jedną osiemnastą pola ABC. Pozostały czworokąt ma więc pole 17 razy większe od pola BED.

\[P_{BED}=\frac19P_{BMC}=\frac1{18}P_{ABC},\qquad P_{ADEC}=\frac{17}{18}P_{ABC}=17P_{BED}\]

Zadanie 34

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3,4,5,6,7,8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0,1,2,3,4\}\), losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie możliwe liczby

Cyfrę dziesiątek wybieramy na 6 sposobów, a cyfrę jedności na 5 sposobów, więc mnożymy liczby możliwości.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policz liczby podzielne przez 4

Sprawdzamy liczby spełniające warunki zadania. Jest ich 9.

\[A=\{32,40,44,52,60,64,72,80,84\},\quad |A|=9\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Każda z 30 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/10.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

W każdym z sześciu przedziałów od 30–34 do 80–84 liczba wypisanych wielokrotności 4 wynosi kolejno 1, 2, 1, 2, 1, 2. Daje to razem 9 liczb; każda ma dozwolone cyfry.

\[1+2+1+2+1+2=9\]

Zadanie 35

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-2x+16\). Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na prostej podstawy. Jej wektor kierunkowy to (1,−2), więc zapisujemy współrzędne A za pomocą parametru t.

\[A=(3+t,\,10-2t)\]

2 Wykorzystanie równych ramion

Ponieważ AB jest podstawą, ramiona AC i BC mają równe długości. Rozwiązanie z t=0 oznacza punkt B, więc wybieramy drugie.

\[BC^2=5^2+7^2=74,\quad AC^2=(5+t)^2+(7-2t)^2=74-18t+5t^2;\quad 5t^2-18t=0\Rightarrow t=0\ \text{lub}\ t=\frac{18}{5};\quad A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\]

3 Obliczenie pola

Długość AB jest podstawą, a odległość punktu C od prostej AB jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=\frac{18}{5}\sqrt5,\quad h=\frac{|2(-2)+3-16|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{17}{\sqrt5},\quad P=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17}{\sqrt5}=\frac{153}{5}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (33/5, 14/5), a pole trójkąta wynosi 153/5 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P=\frac{153}{5}\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do prostej podstawy i jest różny od B. Kwadraty długości obu ramion są równe 74.

\[-2\cdot\frac{33}{5}+16=\frac{14}{5},\quad A\ne B,\quad AC^2=\left(\frac{43}{5}\right)^2+\left(-\frac15\right)^2=74=BC^2\]

Zadanie 1

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(9^{-10}\cdot 3^{19}\) jest równa

\(27^9\)

\(9^{-2}\)

\(3^{10}\)

\(3^{-1}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Ponieważ \(9=3^2\), zapisujemy obie potęgi przy podstawie \(3\).

\[9^{-10}\cdot 3^{19}=(3^2)^{-10}\cdot 3^{19}=3^{-20}\cdot 3^{19}\]

2 Dodanie wykładników

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[3^{-20}\cdot 3^{19}=3^{-20+19}=3^{-1}\]

Odpowiedź

Wynik to \(3^{-1}\), czyli odpowiedź D.

\[3^{-1}=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Dzieląc potęgi, otrzymujemy \(3^{19}/3^{20}=1/3\), co zgadza się z odpowiedzią D.

\[9^{-10}\cdot 3^{19}=\frac{3^{19}}{9^{10}}=\frac{3^{19}}{3^{20}}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 2

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_6 9 + 2\log_6 2\) jest równa

\(\log_6\frac{9}{4}\)

\(1\)

\(2\)

\(\log_6\frac{81}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności logarytmu

Współczynnik przed logarytmem przenosimy do wykładnika.

\[2\log_6 2=\log_6 2^2=\log_6 4\]

2 Dodanie logarytmów

Logarytmy o tej samej podstawie dodajemy, mnożąc ich argumenty.

\[\log_6 9+\log_6 4=\log_6(9\cdot4)=\log_6 36=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź C.

\[\boxed{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 6 do potęgi 2 daje 36, otrzymana wartość jest poprawna. Podstawa logarytmu i oba argumenty spełniają wymagane warunki.

\[6^2=36,\quad 6>0,\quad 6\ne1,\quad 9>0,\quad 2>0\]

Zadanie 3

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(x\) stanowi \(80\%\) liczby dodatniej \(y\). Wynika stąd, że liczba \(y\) to

\(125\%\) liczby \(x\).

\(120\%\) liczby \(x\).

\(25\%\) liczby \(x\).

\(20\%\) liczby \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz zależność

80% liczby y to 0,8y, więc zapisujemy dane w postaci równania.

\[x=0{,}8y=\frac{4}{5}y\]

2 Wyznacz y

Dzielimy obie strony przez dodatnią liczbę 0,8, aby wyrazić y za pomocą x.

\[y=\frac{x}{0{,}8}=\frac{5}{4}x=1{,}25x\]

Odpowiedź

Liczba y to 125% liczby x. Odpowiedź A.

\[y=125\%x\]

Sprawdzenie

80% ze 125% liczby x daje 100% liczby x, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}8\cdot1{,}25x=x\]

Zadanie 4

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe

\(9x^2+48xy+64y^2\)

\(9x^2+64y^2\)

\(3x^2+48xy+8y^2\)

\(3x^2+8y^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

\[(3x+8y)^2=(3x)^2+2\cdot3x\cdot8y+(8y)^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy składniki do kwadratu i obliczamy iloczyn mieszany.

\[(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[9x^2+48xy+64y^2\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu nawiasów otrzymujemy te same trzy składniki, więc równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

\[(3x+8y)(3x+8y)=9x^2+24xy+24xy+64y^2=9x^2+48xy+64y^2\]

Zadanie 5

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Liczba \((-2)\) jest rozwiązaniem równania

\(x^2+4=0\)

\(\frac{x+2}{2}=1\)

\(\frac{x}{x+2}=0\)

\(x^2(x+2)+2(x+2)=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie warunku

W równaniu C mianownik musi być różny od zera. Dla podanej liczby warunek ten nie jest spełniony.

\[x+2\neq 0,\qquad -2+2=0\]

2 Podstawienie do pozostałych równań

Liczba jest rozwiązaniem równania, gdy po podstawieniu obie strony są równe. Zachodzi to tylko w odpowiedzi D.

\[\begin{aligned}\mathrm{A:}&\quad (-2)^2+4=8\neq 0,\\\mathrm{B:}&\quad \frac{-2+2}{2}=0\neq 1,\\\mathrm{D:}&\quad (-2)^2(-2+2)+2(-2+2)=0.\end{aligned}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x^2(x+2)+2(x+2)=0\]

Sprawdzenie

Po wyłączeniu wspólnego czynnika w równaniu D otrzymujemy iloczyn równy zeru dla x = −2; w tym równaniu nie ma ograniczeń dziedziny.

\[x^2(x+2)+2(x+2)=(x+2)(x^2+2),\qquad (-2+2)((-2)^2+2)=0\]

Zadanie 6

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(5-\frac{2-6x}{4}\geq 2x+1\) jest przedział

\((-\infty,1\rangle\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\((-\infty,7\rangle\)

\(\langle 7,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony nierówności przez dodatnią liczbę 4, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[20-(2-6x)\geq 8x+4\]

2 Wyznacz x

Porządkujemy wyrazy i przenosimy je na odpowiednie strony nierówności.

\[18+6x\geq 8x+4\iff 14\geq 2x\iff x\leq 7\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od minus nieskończoności do 7 włącznie. Odpowiedź C.

\[x\in(-\infty,7\rangle\]

Sprawdzenie

Po przeniesieniu prawej strony na lewą otrzymujemy (7−x)/2, które jest nieujemne dokładnie wtedy, gdy x≤7. Dla x=7 zachodzi równość, więc 7 należy do przedziału.

\[5-\frac{2-6x}{4}-(2x+1)=\frac{7-x}{2}\geq 0\iff x\leq 7\]

Zadanie 7

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x+4\). Wykres funkcji \(f\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o \(2\) jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji \(g\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

\(g(x)=-2x+2\)

\(g(x)=-2x\)

\(g(x)=-2x+6\)

\(g(x)=-2x+8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz przesunięcie

Przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo oznacza zastąpienie argumentu x przez x+2.

\[g(x)=f(x+2)\]

2 Oblicz wzór funkcji g

Podstawiamy x+2 do wzoru funkcji f i redukujemy wyrazy podobne.

\[g(x)=-2(x+2)+4=-2x-4+4=-2x\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[g(x)=-2x\]

Sprawdzenie

Punkt (0,4) wykresu f po przesunięciu w lewo ma współrzędne (-2,4). Otrzymany wzór daje g(-2)=4.

\[f(0)=4,\qquad g(-2)=-2\cdot(-2)=4\]

Zadanie 8

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba \((-1)\). Wtedy

\(a=-4\)

\(a=1\)

\(a=4\)

\(a=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Podstawiamy więc \(-1\) do wzoru funkcji.

\[f(-1)=a\cdot(-1)+4=0\]

2 Obliczenie współczynnika

Rozwiązujemy otrzymane równanie względem \(a\).

\[-a+4=0\quad\Longrightarrow\quad a=4\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, \(a=4\).

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla \(a=4\) wartość funkcji w punkcie \(-1\) wynosi zero.

\[f(-1)=4\cdot(-1)+4=0\]

Zadanie 9

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-3)\) i jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ\) (zobacz rysunek). Prosta \(k\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą k nachyloną do dodatniego zwrotu osi Ox pod kątem 45°.

\(y=x-5\)

\(y=-x-1\)

\(y=-x+5\)

\(y=x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta jej nachylenia do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 45^\circ=1\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu \(A=(2,-3)\) do równania \(y=ax+b\).

\[-3=1\cdot2+b\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Prosta ma równanie \(y=x-5\). Poprawna odpowiedź: A.

\[y=x-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) otrzymujemy \(y=2-5=-3\), więc prosta przechodzi przez punkt \(A\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(1=\tan45^\circ\), zatem ma wymagane nachylenie.

\[2-5=-3,\qquad a=1=\tan45^\circ\]

Zadanie 10

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędną \(x\) równą

\((-3)\)

\((-1)\)

\(1\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[-2(x+3)(x-5)=0\quad\Longrightarrow\quad x_1=-3,\;x_2=5\]

2 Wyznaczenie współrzędnej wierzchołka

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między miejscami zerowymi, więc jej współrzędna jest współrzędną wierzchołka.

\[x_w=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1\]

Odpowiedź

Współrzędna x wierzchołka wynosi 1. Odpowiedź C.

\[x_w=1\quad(\mathrm{C})\]

Sprawdzenie

Liczba 1 leży pośrodku miejsc zerowych: od −3 i od 5 dzielą ją po 4 jednostki.

\[1-(-3)=5-1=4\]