Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 39 z 70

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa

$5-2\sqrt{6}$

$5$

$5+2\sqrt{6}$

$-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje ten sam nawias, więc korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb jest różnicą ich kwadratów.

\[(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu nawiasów wyrazy z pierwiastkiem z 6 się redukują, a pozostałe dają −1.

\[2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1\]

Zadanie 2

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$ jest równa

$7^{\frac{5}{3}}$

$7^1$

$7^{\frac{3}{2}}$

$7^{\frac{10}{3}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie potęg

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki.

\[7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}=7^{\frac54+\frac14}=7^{\frac32}\]

2 Podniesienie do potęgi

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(7^{\frac32}\right)^{\frac23}=7^{\frac32\cdot\frac23}=7^1=7\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 7.

\[7^1=7\]

Sprawdzenie

Iloczyn wykładników wynosi 1, więc otrzymany wynik jest równy 7.

\[\left(\frac54+\frac14\right)\cdot\frac23=\frac32\cdot\frac23=1\]

Zadanie 3

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Niech $\log_3 18=c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy

$c-1$

$c$

$c+1$

$c+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby 54 jako iloczynu

Ponieważ 54 jest trzykrotnością 18, możemy zastosować wzór na logarytm iloczynu.

\[54=3\cdot18\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, a logarytm z 3 przy podstawie 3 wynosi 1.

\[\log_3 54=\log_3(3\cdot18)=\log_3 3+\log_3 18=1+c\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: c+1.

\[\log_3 54=c+1\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu 3 do potęgi c jest równe 18, więc 3 do potęgi c+1 jest równe 54.

\[3^{c+1}=3\cdot3^c=3\cdot18=54\]

Zadanie 4

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

$18\%$

$28\%$

$30\%$

$72\%$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ceny po obniżkach

Przyjmujemy cenę początkową równą $x$. Po obniżce o $20\%$ pozostaje $80\%$ ceny, a po kolejnej obniżce o $10\%$ pozostaje $90\%$ nowej ceny.

\[x\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=0{,}72x\]

2 Obliczenie łącznej obniżki

Odejmujemy cenę końcową od początkowej i odnosimy różnicę do ceny początkowej.

\[\frac{x-0{,}72x}{x}=0{,}28=28\%\quad (x>0)\]

Odpowiedź

Cena zmniejszyła się o 28%. Odpowiedź B.

\[28\%\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł po obniżkach otrzymujemy 80 zł i 72 zł. Różnica 28 zł stanowi 28% ceny początkowej.

\[100\,\text{zł}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=72\,\text{zł},\qquad \frac{100-72}{100}=28\%\]

Zadanie 5

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(x-1)^2-(2-x)^2$ jest równe

$2x-3$

$2x^2-6x-3$

$(2x-3)^2$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie jest różnicą kwadratów, więc można je zapisać jako iloczyn sumy i różnicy podstaw.

\[(x-1)^2-(2-x)^2=[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]\]

2 Uproszczenie czynników

Po opuszczeniu nawiasów drugi czynnik jest równy 1.

\[[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]=(2x-3)\cdot 1=2x-3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $2x-3$.

\[2x-3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie rozwinięcie kwadratów daje ten sam wynik dla każdego rzeczywistego $x$.

\[(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)=2x-3\]

Zadanie 6

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0<7-3x$ oraz $7-3x\leq 5x-3$.

$Oś liczbowa: zaznaczone części na lewo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ oraz na prawo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczony odcinek od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ do niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na lewo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na prawo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza nierówność

Odejmujemy 7, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[0<7-3x\iff 3x<7\iff x<\frac{7}{3}\]

2 Druga nierówność

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez 8.

\[7-3x\leq 5x-3\iff 10\leq 8x\iff x\geq\frac{5}{4}\]

3 Część wspólna

Obie nierówności mają zachodzić jednocześnie, więc wybieramy część wspólną otrzymanych przedziałów.

\[x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)}\]

Sprawdzenie

Liczba 5/4 spełnia obie nierówności, więc lewy koniec należy do zbioru. Dla 7/3 pierwsza nierówność jest fałszywa, więc prawy koniec nie należy do zbioru.

\[7-3\cdot\frac{5}{4}=\frac{13}{4}>0,\quad 5\cdot\frac{5}{4}-3=\frac{13}{4};\qquad 7-3\cdot\frac{7}{3}=0\]

Zadanie 7

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}+2=2x-8$ jest liczba

$10(2+\sqrt{3})$

$\frac{10}{\sqrt{3}-2}$

$10(\sqrt{3}-2)$

$\frac{\sqrt{3}+10}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy z x

Zbieramy wyrazy z niewiadomą po jednej stronie równania.

\[x\sqrt{3}+2=2x-8\quad\Longrightarrow\quad 10=x(2-\sqrt{3})\]

2 Wyznacz x

Ponieważ $2-\sqrt{3}\neq 0$, dzielimy przez ten współczynnik i usuwamy niewymierność z mianownika.

\[x=\frac{10}{2-\sqrt{3}}=\frac{10(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=10(2+\sqrt{3})\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[x=10(2+\sqrt{3})\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej liczby obie strony równania są równe.

\[x\sqrt{3}+2=30+20\sqrt{3}+2=32+20\sqrt{3}=2x-8\]

Zadanie 8

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-49=(x-7)(x+7)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 7\ \text{i}\ x\ne -7\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Z dwóch miejsc zerowych licznika tylko 0 należy do dziedziny.

\[x^2-7x=x(x-7)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=7;\qquad x=7\ \text{jest wykluczone}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0. Odpowiedź A.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 mianownik wynosi −49, więc ułamek jest określony i równy 0. Wartość x = 7 zeruje mianownik, dlatego nie jest rozwiązaniem.

\[\frac{0^2-7\cdot 0}{0^2-49}=\frac{0}{-49}=0\]

Zadanie 9

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1,7)$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z siatką, osiami, grotami i oznaczeniami.

Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest $\langle -1,1)$.

Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą $1$.

Funkcja $f$ osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru $(-1,0)$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt największej wartości

Poziomy odcinek wykresu od x=5 do x=6 ma wysokość 1. Żaden punkt wykresu nie leży wyżej, więc funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[f(5)=f(6)=1=\max_{x\in(-1,7)}f(x)\]

2 Sprawdzenie pozostałych zdań

Wykres przecina oś x w dwóch punktach. Osiąga także wartość −1, więc jego zbiorem wartości jest przedział domknięty. Dla argumentów od −1 do 0 wykres leży nad osią x.

\[f(x)=0\iff x\in\left\{1,\frac92\right\},\qquad W_f=[-1,1],\qquad f(x)>0\text{ dla }x\in(-1,0)\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie C: funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[\boxed{\mathrm{C}}\]

Sprawdzenie

Wartość 1 jest przyjmowana na całym odcinku od x=5 do x=6, a pozostała część wykresu nie przekracza tej wysokości.

\[f(x)=1\text{ dla }x\in[5,6],\qquad f(x)\leq 1\text{ dla }x\in(-1,7)\]

Zadanie 10

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-3(x+4)(x-2)$ jest parabola o wierzchołku $W=(p,q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki

$p>0$ i $q>0$

$p<0$ i $q>0$

$p<0$ i $q<0$

$p>0$ i $q<0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszej współrzędnej

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi paraboli, czyli między $-4$ a $2$.

\[p=\frac{-4+2}{2}=-1\]

2 Wyznaczenie drugiej współrzędnej

Podstawiamy $p=-1$ do wzoru funkcji, aby obliczyć wysokość wierzchołka.

\[q=f(-1)=-3(-1+4)(-1-2)=27\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne $W=(-1,27)$, więc $p<0$ i $q>0$. Odpowiedź B.

\[W=(-1,27),\quad p<0,\quad q>0\]

Sprawdzenie

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej otrzymujemy wierzchołek $(-1,27)$, co potwierdza oba znaki.

\[-3(x+4)(x-2)=-3(x+1)^2+27\]

Zadanie 11

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0,3)$. Prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Fragment wykresu funkcji kwadratowej na siatce współrzędnych, wraz z osiami, grotami i oznaczeniami.

$-2$

$-3$

$-4$

$-6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie osi symetrii

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Oznaczamy drugie miejsce zerowe przez $x_2$.

\[\frac{2+x_2}{2}=-2\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez $2$ i odejmujemy $2$ od obu stron.

\[2+x_2=-4\quad\Longrightarrow\quad x_2=-6\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest $-6$, czyli odpowiedź D.

\[x_2=-6\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych $2$ i $-6$ wynosi $-2$, więc ich oś symetrii zgadza się z podaną.

\[\frac{2+(-6)}{2}=-2\]

Zadanie 12

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa

Układ współrzędnych z siatką, oznaczonymi osiami i fragmentem wykresu funkcji kwadratowej

$-2$

$0$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie argumentu symetrycznego

Argumenty 0 i -4 leżą w jednakowej odległości od osi symetrii x=-2, więc funkcja ma dla nich tę samą wartość.

\[\frac{0+(-4)}{2}=-2,\qquad f(-4)=f(0)=3\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi 3. Odpowiedź C.

\[f(-4)=3\]

Sprawdzenie

Drugie miejsce zerowe to -6, symetryczne do 2 względem osi x=-2. Z warunku f(0)=3 otrzymujemy współczynnik -1/4; obliczenie ponownie daje f(-4)=3.

\[f(x)=a(x-2)(x+6),\quad 3=a(-2)\cdot6\Rightarrow a=-\frac14,\quad f(-4)=-\frac14(-6)\cdot2=3\]

Zadanie 13

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ wzorami: $a_n=20n+3$, $b_n=2n^2-3$, $c_n=n^2+10n-2$, $d_n=\frac{n+187}{n}$. Liczba $197$ jest dziesiątym wyrazem ciągu

$(a_n)$

$(b_n)$

$(c_n)$

$(d_n)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie dziesiątych wyrazów

Podstawiamy $n=10$ do każdego wzoru, ponieważ szukamy dziesiątego wyrazu.

\[a_{10}=20\cdot10+3=203,\quad b_{10}=2\cdot10^2-3=197,\quad c_{10}=10^2+10\cdot10-2=198,\quad d_{10}=\frac{10+187}{10}=\frac{197}{10}\]

Odpowiedź

Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu $(b_n)$. Odpowiedź: B.

\[b_{10}=197\]

Sprawdzenie

Warunek $n\geq1$ jest spełniony dla $n=10$. Pozostałe dziesiąte wyrazy to 203, 198 i $\frac{197}{10}$, więc żaden z nich nie jest równy 197.

\[10\geq1,\qquad 203\ne197,\quad198\ne197,\quad\frac{197}{10}\ne197\]

Zadanie 14

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_3=a_1\cdot a_2$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Wtedy

$a_1=\frac{1}{q}$

$a_1=q$

$a_1=q^2$

$a_1=q^3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez iloraz $q$.

\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]

2 Wykorzystanie warunku

Podstawiamy te wyrazy do podanej równości. Ponieważ wyrazy są dodatnie, możemy podzielić obie strony przez $a_1q$.

\[a_1q^2=a_1\cdot a_1q\quad\Longrightarrow\quad q=a_1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $a_1=q$.

\[a_1=q\]

Sprawdzenie

Dla $a_1=q$ mamy $a_2=q^2$ i $a_3=q^3=a_1a_2$. Ponieważ ciąg jest rosnący i dodatni, $q>1$, więc dzielenie przez $a_1q$ było dozwolone.

\[a_3=q^3=q\cdot q^2=a_1a_2\]

Zadanie 15

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{5}$. Wtedy

$\cos^2\alpha=\frac{1}{6}$

$\cos^2\alpha=\frac{1}{5}$

$\cos^2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos^2\alpha=\frac{5}{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu tangensa

Podnosimy podaną wartość do kwadratu, aby skorzystać z tożsamości trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=(\sqrt{5})^2=5\]

2 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.

\[\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+5=6\quad\Rightarrow\quad\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Z otrzymanej wartości wynika $\sin^2\alpha=\frac{5}{6}$, więc kwadrat tangensa wynosi $\frac{5/6}{1/6}=5$, zgodnie z treścią zadania.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{5/6}{1/6}=5\]