Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 36 z 70

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa \(3\). Wszystkich takich liczb jest

\(13\)

\(10\)

\(7\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział według cyfry tysięcy

Pierwsza cyfra musi być dodatnia i nie może przekraczać 3. Liczymy możliwości dla każdej z jej wartości.

\[a+b+c+d=3,\quad a\in\{1,2,3\}\]

2 Policzenie liczb

Gdy pierwsza cyfra to 1, pozostałe cyfry mają sumę 2: są to trzy ustawienia cyfr 2,0,0 oraz trzy ustawienia cyfr 1,1,0. Dla pierwszej cyfry 2 otrzymujemy trzy ustawienia cyfr 1,0,0, a dla cyfry 3 tylko 0,0,0.

\[(3+3)+3+1=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 3000; 2100, 2010, 2001; 1200, 1020, 1002, 1110, 1101, 1011. Każda jest czterocyfrowa i ma sumę cyfr 3, a podział według pierwszej cyfry wyczerpuje wszystkie możliwości.

\[1+3+6=10\]

Zadanie 27

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{2}{9}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby kul

Przyjmujemy, że kul zielonych jest \(x\), gdzie \(x>0\). Z podanych zależności obliczamy liczby pozostałych kul.

\[Z=x,\quad C=3x,\quad B=2\cdot 3x=6x\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo to liczba kul białych podzielona przez liczbę wszystkich kul.

\[P(B)=\frac{6x}{x+3x+6x}=\frac{6x}{10x}=\frac{3}{5}\]

Odpowiedź

D. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi \(\frac{3}{5}\).

\[P(B)=\frac{3}{5}\]

Sprawdzenie

Stosunek liczby kul białych, czarnych i zielonych wynosi \(6:3:1\). Spośród 10 równych części 6 stanowią kule białe, więc \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\).

\[\frac{6}{6+3+1}=\frac{3}{5}\]

Zadanie 28

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.

Liczba odsłuchanych audiobooków	0	1	2	3	4	7
Liczba uczniów	9	5	3	4	1	3

Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa

\(3\)

\(2\)

\(1\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz uczniów

Liczba wszystkich wyników wskazuje pozycję mediany w uporządkowanym szeregu.

\[9+5+3+4+1+3=25,\qquad \frac{25+1}{2}=13\]

2 Odczytaj środkowy wynik

Dziewięciu uczniów odsłuchało 0 audiobooków, a kolejnych pięciu — 1 audiobook. Trzynasty wynik to zatem 1.

\[9<13\leq 9+5=14\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 1 audiobook. Odpowiedź C.

\[\operatorname{Me}=1\]

Sprawdzenie

W uporządkowanym szeregu 1 audiobook zajmuje miejsca od 10. do 14., więc środkowe, 13. miejsce rzeczywiście ma wartość 1.

\[10\leq 13\leq 14\]

Zadanie 29

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(-3x^{2}+8\geq 10x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Po pomnożeniu nierówności przez −1 zmieniamy jej zwrot, aby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni.

\[-3x^2+8\geq 10x\iff 3x^2+10x-8\leq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4)\]

3 Wyznacz rozwiązanie

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi, łącznie z nimi.

\[(3x-2)(x+4)\leq 0\iff -4\leq x\leq \frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −4 do 2/3.

\[x\in\left[-4,\frac{2}{3}\right]\]

Sprawdzenie

Dla x=0, leżącego w otrzymanym przedziale, nierówność jest prawdziwa. Dla x=−5 i x=1, leżących poza nim, jest fałszywa. W obu końcach przedziału zachodzi równość.

\[x=0:\ 8\geq 0;\qquad x=-5:\ -67\not\geq -50;\qquad x=1:\ 5\not\geq 10\]

Zadanie 30

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\ne y\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Odejmujemy lewą stronę od prawej, aby ustalić znak ich różnicy.

\[\frac{x^2+4y^2}{5}-\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2=\frac{5x^2+20y^2-(x^2+8xy+16y^2)}{25}=\frac{4(x-y)^2}{25}\]

2 Ustalenie znaku

Ponieważ \(x\ne y\), kwadrat różnicy jest dodatni. Prawa strona nierówności jest więc większa od lewej.

\[x\ne y\implies (x-y)^2>0\implies \frac{4(x-y)^2}{25}>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\ne y\).

\[\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]

Sprawdzenie

Równość mogłaby zachodzić tylko przy \(x=y\), co wyklucza założenie zadania.

\[\frac{4(x-y)^2}{25}=0\iff x=y\]

Zadanie 31

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe \(2\). Ponadto \(f(0)=8\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać funkcji

Dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej jest pierwiastkiem podwójnym, więc funkcja ma postać iloczynową z czynnikiem podniesionym do kwadratu.

\[f(x)=a(x-2)^2,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Podstawiamy x=0 i korzystamy z podanej wartości f(0)=8.

\[8=a(0-2)^2=4a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to \(f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8\).

\[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(f(0)=8\). Ponieważ \(2(x-2)^2=0\) dokładnie wtedy, gdy \(x=2\), funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

\[f(0)=2(0-2)^2=8,\qquad f(x)=0\iff (x-2)^2=0\iff x=2\]

Zadanie 32

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((x, 3x + 2, 9x + 16)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(3x+2)^2=x(9x+16)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[9x^2+12x+4=9x^2+16x\quad\Longrightarrow\quad 4=4x\quad\Longrightarrow\quad x=1\]

Odpowiedź

x = 1

\[x=1\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (1, 5, 25). Iloraz kolejnych wyrazów wynosi 5, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{5}{1}=\frac{25}{5}=5\]

Zadanie 33

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia \(AD\).

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma oznaczenie 26, ramię BC oznaczenie 24, a przekątna AC jest prostopadła do BC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Przekątna AC jest prostopadła do BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.

\[AC^2=AB^2-BC^2=26^2-24^2=100,\qquad AC=10\]

2 Obliczenie ramienia AD

Ponieważ CD jest równoległe do AB, a AD jest do nich prostopadłe, ramię AD jest wysokością trójkąta ABC opuszczoną na AB. Porównujemy dwa wzory na jego pole.

\[\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot AD}{2},\qquad AD=\frac{10\cdot24}{26}=\frac{120}{13}\]

Odpowiedź

Długość ramienia AD wynosi \(\frac{120}{13}\).

\[AD=\frac{120}{13}\]

Sprawdzenie

Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa. Pole obliczone z przekątnej i ramienia BC jest równe polu obliczonemu z podstawy i otrzymanej wysokości.

\[10^2+24^2=26^2,\qquad \frac{10\cdot24}{2}=\frac{26\cdot\frac{120}{13}}{2}=120\]

Zadanie 34

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od \(53\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(7\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losujemy spośród liczb od 54 do 99 włącznie, więc liczymy je, uwzględniając oba końce przedziału.

\[99-54+1=46\]

2 Liczba wyników sprzyjających

W tym przedziale wielokrotności 7 zaczynają się od 56 i kończą na 98. Ich liczba jest równa liczbie kolejnych mnożników od 8 do 14.

\[56=7\cdot8,\quad 98=7\cdot14,\quad 14-8+1=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Każda z 46 liczb ma jednakową szansę wylosowania, zatem dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{7}{46}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/46.

\[P(A)=\frac{7}{46}\]

Sprawdzenie

Wielokrotności 7 w rozpatrywanym zbiorze to 56, 63, 70, 77, 84, 91 i 98: jest ich dokładnie 7. Są większe od 53 i dwucyfrowe, a następna wielokrotność, 105, już nie jest dwucyfrowa.

\[7\cdot7=49<54,\qquad 7\cdot15=105>99\]

Zadanie 35

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu \(y=x+10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ S jest środkiem odcinka AB, jego współrzędne są średnimi współrzędnych końców odcinka.

\[\frac{1+x_B}{2}=5,\quad \frac{-3+y_B}{2}=-1\quad\Longrightarrow\quad B=(9,1)\]

2 Wyznaczenie prostej, na której leży C

Z równości |AC|=|BC| wynika, że C leży na symetralnej odcinka AB. Prosta AB ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prostopadła do niej symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez S.

\[\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\qquad y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C leży także na prostej podanej w zadaniu, więc rozwiązujemy równania obu prostych.

\[x+10=-2x+9\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac13,\qquad y=-\frac13+10=\frac{29}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne \(B=(9,1)\) oraz \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\).

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to \((5,-1)\), a punkt C spełnia równanie \(y=x+10\). Kwadraty długości AC i BC są równe, zatem \(|AC|=|BC|\).

\[\left(\frac{1+9}{2},\frac{-3+1}{2}\right)=(5,-1),\quad -\frac13+10=\frac{29}{3},\quad |AC|^2=\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{38}{3}\right)^2=\frac{1460}{9}=\left(-\frac{28}{3}\right)^2+\left(\frac{26}{3}\right)^2=|BC|^2\]

Zadanie 1

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa

\(4^{-4}\)

\(4^{-50}\)

\(2^{-47}\)

\(2^{-130}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy

Ponieważ 8 jest potęgą liczby 2, zapisujemy licznik z podstawą 2.

\[8^{-40}=(2^3)^{-40}=2^{-120}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{-130}\]

Sprawdzenie

Wynik spełnia równoważność wynikającą z definicji potęgi o wykładniku ujemnym.

\[2^{-130}=\frac{1}{2^{130}}=\frac{1}{8^{40}\cdot 2^{10}}=\frac{8^{-40}}{2^{10}}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{2}32-\log_{2}8\) jest równa

\(2\)

\(14\)

\(16\)

\(24\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ \(2^5=32\) i \(2^3=8\), logarytmy są równe odpowiednio 5 i 3. Odejmujemy te wartości.

\[\log_{2}32-\log_{2}8=5-3=2\]

Odpowiedź

2, odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości logarytmów spełniają ich definicję: potęgi dwójki o wykładnikach 5 i 3 dają odpowiednio 32 i 8.

\[2^5=32,\quad 2^3=8\]

Zadanie 3

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(5-2\sqrt{3}\right)^{2}\) jest równa

\(25+4\sqrt{3}\)

\(25-4\sqrt{3}\)

\(37+20\sqrt{3}\)

\(37-20\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\]

2 Oblicz składniki

Ponieważ \((\sqrt{3})^2=3\), łączymy wyrazy całkowite.

\[25-20\sqrt{3}+4\cdot3=37-20\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Liczba jest równa \(37-20\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[37-20\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po odwróceniu rachunku otrzymujemy te same trzy składniki kwadratu różnicy.

\[37-20\sqrt{3}=25+12-20\sqrt{3}=5^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\]

Zadanie 4

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

\(0{,}36\cdot x\) złotych.

\(0{,}44\cdot x\) złotych.

\(0{,}50\cdot x\) złotych.

\(0{,}56\cdot x\) złotych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżeniu ceny o 30% pozostaje 70% ceny początkowej.

\[x\cdot(1-0{,}30)=0{,}70x\]

2 Druga obniżka

Obniżka o 20% dotyczy już ceny 0,70x, więc pozostaje 80% tej kwoty.

\[0{,}70x\cdot(1-0{,}20)=0{,}70x\cdot0{,}80=0{,}56x\]

Odpowiedź

Cena po obu obniżkach wynosi 0,56x złotych. Odpowiedź D.

\[0{,}56x\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł pierwsza obniżka daje 70 zł, a druga 56 zł. To 0,56 ceny początkowej.

\[100\ \text{zł}\cdot0{,}70\cdot0{,}80=56\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^{2}(x+1)=0\) jest liczba

\(1\)

\((-1)\)

\(5\)

\((-5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają czynnik \(x+1\), więc można go wyłączyć przed nawias.

\[5(x+1)-x^{2}(x+1)=(x+1)(5-x^{2})=0\]

2 Zastosuj zasadę iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x+1=0\quad\text{lub}\quad 5-x^{2}=0,\qquad x=-1\quad\text{lub}\quad x=\pm\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest liczba −1. Odpowiedź B.

\[\boxed{x=-1\quad\text{(B)}}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu −1 oba składniki równania są równe zeru.

\[5(-1+1)-(-1)^2(-1+1)=0\]