Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 33 z 98

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[27x^{3}+1=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-4=0\]

2 Rozwiązanie pierwszego równania

Przenosimy 1 na prawą stronę i wyciągamy pierwiastek sześcienny.

\[27x^{3}=-1\iff x^{3}=-\frac{1}{27}\iff x=-\frac{1}{3}\]

3 Rozwiązanie drugiego równania

Rozkładamy różnicę kwadratów na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.

\[x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0\iff x=2\quad\text{lub}\quad x=-2\]

Odpowiedź

Zbiór rozwiązań to \(\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).

\[x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-\frac{1}{3}\) pierwszy czynnik wynosi 0, a dla \(x=-2\) i \(x=2\) drugi czynnik wynosi 0. Każda z trzech liczb spełnia więc równanie.

\[27\left(-\frac{1}{3}\right)^3+1=0,\qquad (-2)^2-4=0,\qquad 2^2-4=0\]

Zadanie 27

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki

Mianowniki nie mogą być zerem, więc wykluczamy 0 i 1.

\[x\ne 0,\quad x\ne 1\]

2 Usunięcie mianowników

Dla dopuszczalnych wartości x mnożymy obie strony przez 3x(x−1), a następnie porządkujemy równanie.

\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\;\Longleftrightarrow\;9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\]

3 Wyznaczenie rozwiązań

Rozkładamy trójmian na czynniki i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

\[(4x+3)(2x+1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac34\;\text{lub}\;x=-\frac12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są x = −3/4 oraz x = −1/2.

\[x\in\left\{-\frac34,-\frac12\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki. Po podstawieniu do lewej i prawej strony równania otrzymujemy odpowiednio −1 oraz −5/3.

\[x=-\frac34:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-1;\qquad x=-\frac12:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-\frac53\]

Zadanie 28

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik \(7^n\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi \(57=19\cdot3\). Ponieważ dla \(n\ge0\) liczba \(3\cdot7^n\) jest całkowita, całe wyrażenie jest wielokrotnością 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot7^n=19(3\cdot7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej \(n\ge0\) podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(n=0\) otrzymujemy \(1+7+49=57=3\cdot19\). Ogólny rozkład \(19(3\cdot7^n)\) potwierdza podzielność dla każdego dopuszczalnego \(n\).

\[n=0:\quad 1+7+49=57=19\cdot3\]

Zadanie 29

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg \((7, a_2, a_3, a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę \(d\).

\[a_2=7+d,\quad a_3=7+2d,\quad a_4=7+3d\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy wyrazy do podanej sumy i rozwiązujemy równanie.

\[7+(7+d)+(7+2d)+(7+3d)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6d=54\quad\Rightarrow\quad d=\frac{13}{3}\]

3 Obliczenie drugiego wyrazu

Dodajemy obliczoną różnicę do pierwszego wyrazu.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu to \(\frac{34}{3}\).

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy mają różnicę \(\frac{13}{3}\), a ich suma wynosi \(54\).

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 30

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB i punktem E na boku AC. Odcinek CD jest przerywany, DE ciągły, a EB przerywany; zaznaczono kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki

W trójkącie prostokątnym \(ACD\) punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), więc \(EA=ED\). Z danych mamy też \(ED=DB\).

\[EA=ED=DB\]

2 Kąty przy podstawach

Oznaczmy \(\alpha=|\angle CAB|\). Ponieważ \(A,D,B\) leżą na jednej prostej, w trójkącie równoramiennym \(AED\) kąty przy podstawie są równe \(\alpha\). Kąt \(EDB\) jest przyległy do \(EDA\). W trójkącie równoramiennym \(EDB\) oba pozostałe kąty są więc równe \(\alpha/2\).

\[|\angle EDA|=\alpha,\quad |\angle EDB|=180^\circ-\alpha,\quad |\angle ABE|=|\angle DBE|=\frac{180^\circ-(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{\alpha}{2}\]

Odpowiedź

Kąt CAB jest dwa razy większy od kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

W trójkącie EDB suma kątów wynosi \(180^\circ\): kąt przy D ma \(180^\circ-\alpha\), a każdy z dwóch pozostałych ma \(\alpha/2\). Potwierdza to obliczony kąt przy B.

\[(180^\circ-\alpha)+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=180^\circ\]

Zadanie 31

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Kolejność losowania ma znaczenie. Pierwszą liczbę wybieramy na 6 sposobów, a drugą, bez zwracania, na 5 sposobów.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Pierwsza liczba musi być parzysta. Dla 2 nie ma odpowiedniej drugiej liczby; dla 4 pasują 5, 6 i 7; dla 6 pasują 3, 4, 5 i 7.

\[2y>16:\ 0\text{ możliwości};\quad 4y>16:\ 3\text{ możliwości};\quad 6y>16:\ 4\text{ możliwości};\qquad |A|=0+3+4=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/30.

\[P(A)=\frac{7}{30}\]

Sprawdzenie

Sprzyjające pary to (4,5), (4,6), (4,7), (6,3), (6,4), (6,5) i (6,7). Jest ich 7; w każdej liczby są różne, pierwsza jest parzysta, a iloczyn przekracza 16.

\[4\cdot5=20>16,\qquad 6\cdot3=18>16\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\).

Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\).

Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

Oblicz odległość punktu \(S\) od początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na obu podanych prostych, więc znajdujemy ich punkt przecięcia.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\;\Rightarrow\;x=4,\quad y=11,\quad A=(4,11)\]

2 Wyznaczenie punktu B

K jest środkiem odcinka AB, więc współrzędne B obliczamy ze wzoru na środek odcinka.

\[B=(2\cdot10-4,\;2\cdot14-11)=(16,17)\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, zatem S jest środkiem odcinka BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18)\]

4 Obliczenie odległości

Stosujemy wzór na odległość punktu od początku układu współrzędnych.

\[|OS|=\sqrt{11^2+18^2}=\sqrt{445}\]

Odpowiedź

Odległość punktu S od początku układu współrzędnych wynosi \(\sqrt{445}\).

\[|OS|=\sqrt{445}\]

Sprawdzenie

Punkty A i B leżą na prostej zawierającej AB, punkt D leży na prostej zawierającej AD, a środek AB ma współrzędne K. Druga przekątna ma ten sam środek S.

\[\frac{1}{2}\cdot4+9=11,\quad\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\quad4\cdot6-5=19;\quad\frac{A+B}{2}=(10,14),\quad C=B+D-A=(18,25),\quad\frac{A+C}{2}=(11,18)\]

Zadanie 33

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. Odcinek AD jest wysokością, AB średnicą podstawy, BD ma długość 4√3, a kąt ABD ma miarę 30°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Ponieważ AD jest wysokością walca, jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a więc także do AB. W trójkącie prostokątnym ABD obliczamy przyprostokątne z sinusa i cosinusa kąta 30°. AB jest średnicą podstawy.

\[AD=BD\sin30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\quad AB=BD\cos30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\pi\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=(18+12\sqrt3)\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi 18√3π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi (18 + 12√3)π jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt3\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt3)\pi\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa oraz dają wskazany kąt przy B.

\[AB^2+AD^2=6^2+(2\sqrt3)^2=48=(4\sqrt3)^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac12=\sin30^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\).

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\).

Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Funkcja jest dodatnia dokładnie między −2 a 8, więc na końcach tego przedziału ma miejsca zerowe. Jej ramiona są skierowane w dół, zatem \(a<0\).

\[f(x)=a(x+2)(x-8),\quad a<0\]

2 Obliczenie współczynnika a

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi. Podstawiamy jego argument do wzoru, ponieważ największa wartość funkcji wynosi 100.

\[x_w=\frac{-2+8}{2}=3,\qquad 100=f(3)=a(3+2)(3-8)=-25a,\qquad a=-4\]

3 Rozwinięcie wzoru funkcji

Rozwijamy postać iloczynową, aby odczytać współczynniki przy kolejnych potęgach \(x\).

\[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4(x^2-6x-16)=-4x^2+24x+64\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą a = −4, b = 24, c = 64.

\[a=-4,\quad b=24,\quad c=64\]

Sprawdzenie

Postać kanoniczna potwierdza maksimum 100 dla x = 3. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, funkcja jest dodatnia dokładnie wtedy, gdy odległość x od 3 jest mniejsza niż 5, czyli dla x z przedziału (−2, 8).

\[f(x)=-4(x-3)^2+100,\qquad f(x)>0\iff (x-3)^2<25\iff -2<x<8\]

Zadanie 1

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc możemy skorzystać ze wzoru na iloczyn pierwiastków.

\[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot 2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2 Oblicz potęgę i dodaj

Wykładnik \(-1\) oznacza odwrotność liczby 2.

\[\frac{5}{2}+2^{-1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 3.

\[3\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wartości pierwszego składnika jest równy iloczynowi liczb pod pierwiastkami, a po dodaniu jednej drugiej otrzymujemy 3.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{8}\cdot2=\frac{25}{4},\qquad \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

1200 zł

1236 zł

1836 zł

3600 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank dolicza 6% do wpłaconego kapitału, więc od tej kwoty obliczamy pierwszy przyrost.

\[10\,000\cdot 0{,}06=600\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

Zgodnie z procentem składanym drugie odsetki liczymy od kapitału powiększonego o pierwsze odsetki.

\[(10\,000+600)\cdot 0{,}06=636\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[600+636=1236\ \text{zł}\]

Odpowiedź

B. Łączna wartość odsetek wynosi 1236 zł.

\[1236\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach na lokacie jest 11 236 zł; po odjęciu wpłaconych 10 000 zł otrzymujemy 1236 zł odsetek.

\[10\,000\cdot(1{,}06)^2-10\,000=11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa

\(5^{\frac{1}{4}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{3}{4}}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku \(\frac{1}{2}\), więc możemy zastosować prawa działań na potęgach o tej samej podstawie.

\[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5^{\frac{3}{4}}\]

Sprawdzenie

Otrzymana liczba jest dodatnia, a jej kwadrat wynosi \(5\sqrt{5}\), więc jest szukanym pierwiastkiem kwadratowym.

\[\left(5^{\frac{3}{4}}\right)^2=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{8}4-\log_{8}32\) jest równa

\((-2)\)

\((-1)\)

\(1\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu argumentów.

\[\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), szukany logarytm jest równy \(-1\).

\[\log_{8}\frac{1}{8}=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 8 jest dodatnia i różna od 1. Kontrola: \(8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}\).

\[8^{-1}=\frac{1}{8}=\frac{4}{32}\]

Zadanie 5

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).	P	F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot 5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie liczby

Zapisujemy 4 jako kwadrat 2 i łączymy potęgi o tym samym wykładniku.

\[4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}\]

2 Podzielność przez 20

Wyłączamy czynnik 20. Pozostały czynnik jest liczbą całkowitą, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})\]

3 Liczba cyfr

Potęga \(10^{24}\) to 1 i 24 zera, czyli liczba 25-cyfrowa. Drugie stwierdzenie też jest prawdziwe.

\[10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24\text{ zera}}\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{P}\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 20 jest całkowity. Ponadto liczba leży od \(10^{24}\) do \(10^{25}-1\), więc ma dokładnie 25 cyfr.

\[\frac{10^{24}}{20}=5\cdot10^{22}\in\mathbb{N},\qquad 10^{24}\leqslant10^{24}<10^{25}\]

Zadanie 6

Matura 2026 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa

\(2\)

\(\sqrt{2}\)

\(2-20\sqrt{2}\)

\(62-10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Wyrażenie jest kwadratem sumy, więc można najpierw zapisać je w prostszej postaci.

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

2 Podstawienie wartości x

Po podstawieniu liczby \(x=\sqrt{2}-5\) składniki \(-5\) i \(5\) się redukują.

\[(x+5)^2=(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla podanego x mamy \(x+5=\sqrt{2}\), a jego kwadrat jest równy 2, zgodnie z otrzymanym wynikiem.

\[(\sqrt{2})^2=2\]