Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 32 z 98

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Liczba \(k\) jest równa

\((-11)\)

\((-7)\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, przyjmujemy \(f(2)=0\).

\[2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0\]

2 Obliczenie parametru

Upraszczamy równanie i dzielimy obie strony przez 2.

\[8-2k+6=0\;\Longrightarrow\;2k=14\;\Longrightarrow\;k=7\]

Odpowiedź

Liczba k wynosi 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0, więc warunek zadania jest spełniony.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 12

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=2\) oraz \(a_3-a_2=-6\).

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\((-4)\)

\((-16)\)

\((-22)\)

\((-28)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc podana różnica jest równa różnicy ciągu.

\[r=a_3-a_2=-6\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Od pierwszego do piątego wyrazu dodajemy różnicę cztery razy.

\[a_5=a_1+4r=2+4\cdot(-6)=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy to 2, −4, −10, −16, −22. Rzeczywiście różnica trzeciego i drugiego wynosi −6.

\[a_3-a_2=-10-(-4)=-6\]

Zadanie 13

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1,a_2,2,a_4,a_5)\) jest geometryczny.

Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy

\(2\)

\(16\)

\(32\)

\(64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy jednakowo odległe od środka

W ciągu geometrycznym iloczyn takich wyrazów jest równy kwadratowi wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_3^2=4,\qquad a_2a_4=a_3^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i mnożymy przez wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Obie pary dają 4, więc ich iloczyn pomnożony przez wyraz środkowy 2 wynosi 32.

\[4\cdot4\cdot2=32\]

Zadanie 14

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\).

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

\(1\)

\(2\)

\(4\)

\(2\sqrt{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac14\quad\Rightarrow\quad a=8\cdot\frac14=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\quad(\mathrm{B})\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają twierdzenie Pitagorasa, a przyprostokątna długości 2 daje podany sinus.

\[2^2+(2\sqrt{15})^2=64=8^2,\qquad \frac28=\frac14\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonych wartości sinusa i cosinusa ich kwadraty sumują się do 1, a obie wartości są dodatnie, jak dla kąta ostrego.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\angle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na okręgu. BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD o mierze 18° oraz kąt BCA.

\(36^\circ\)

\(60^\circ\)

\(72^\circ\)

\(81^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy \(BD\) jest prosty.

\[\angle BAD=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy wierzchołku \(D\).

\[\angle BDA=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty \(BDA\) i \(BCA\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BA\), więc mają równe miary.

\[\angle BCA=\angle BDA=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°, zatem poprawna jest odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BCA=72^\circ\quad\text{— odpowiedź C}}\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a 72° jest kątem ostrym, zgodnie z treścią zadania.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ,\qquad 72^\circ<90^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa \(16\).

Wysokość tego trójkąta jest równa

\(6\)

\(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\)

\(12\)

\(\frac{12}{\pi}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień okręgu

Z długości okręgu obliczamy promień okręgu opisanego.

\[2\pi R=16\quad\Rightarrow\quad R=\frac{8}{\pi}\]

2 Wysokość trójkąta

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży na wysokości i dzieli ją w stosunku \(2:1\), więc \(R=\frac{2}{3}h\).

\[h=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{12}{\pi}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi \(\frac{12}{\pi}\). Odpowiedź D.

\[h=\frac{12}{\pi}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości promień wynosi \(\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=\frac{8}{\pi}\), a długość okręgu \(2\pi\cdot\frac{8}{\pi}=16\), zgodnie z treścią.

\[2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=16\]

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(DE\) ma długość

Kąt o wierzchołku A przecięty równoległymi prostymi k i l. Na dolnym ramieniu leżą kolejno B i D, na górnym C i E. Oznaczono długości AB = 6, BD = 2 i BC = 4.

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{16}{3}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki mają ten sam stosunek długości.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość \(\frac{16}{3}\). Poprawna odpowiedź: B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi \(\frac{4}{3}\), tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

\(4\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\)

\(32\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki tej samej długości, więc mnożymy długość boku przez 4.

\[O=4\cdot|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi \(16\sqrt{2}\). Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości boku wynosi \(32\), tyle samo co suma kwadratów różnic współrzędnych: \(16+16=32\).

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,-4)\) oraz \(B=(2,y_B)\) leżą na prostej \(l\). Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy \(3\).

Liczba \(y_B\) jest równa

\((-3)\)

\(5\)

\(7\)

\((-13)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów prostej współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy współrzędnych \(y\) i różnicy współrzędnych \(x\).

\[\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}=3\]

2 Obliczenie współrzędnej

Upraszczamy równanie i wyznaczamy \(y_B\).

\[\frac{y_B+4}{3}=3\quad\Rightarrow\quad y_B+4=9\quad\Rightarrow\quad y_B=5\]

Odpowiedź

Liczba y_B jest równa 5. Odpowiedź B.

\[y_B=5\]

Sprawdzenie

Dla punktów A=(-1,-4) i B=(2,5) współczynnik kierunkowy wynosi 3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{5-(-4)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\).

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

\(2\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{6}\)

\(6\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Spodek wysokości leży w środku kwadratowej podstawy. Szukana odległość jest połową przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek długości r i krawędź boczna długości 12 tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+r^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 6√2. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat wysokości i kwadrat odległości od środka podstawy sumują się do kwadratu krawędzi bocznej: 72 + 72 = 144.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=12^2\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(1\) ma długość \(3\).

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

\(60^\circ\)

\(90^\circ\)

\(120^\circ\)

\(150^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku wycinka

Łuk wycinka po rozłożeniu powierzchni bocznej ma długość równą obwodowi podstawy stożka.

\[s=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi\]

2 Kąt środkowy

Promień wycinka jest równy tworzącej stożka, czyli 3. Korzystamy ze wzoru na długość łuku wycinka.

\[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\quad\Rightarrow\quad\alpha=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt środkowy ma miarę 120°, więc poprawna jest odpowiedź C.

\[\alpha=120^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 120° łuk wycinka ma długość 2π, równą obwodowi podstawy stożka.

\[\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\]

Zadanie 23

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

\(400\)

\(500\)

\(900\)

\(1600\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór skrajnych cyfr

Cyfra jedności musi być parzysta, a równa jej cyfra tysięcy nie może być zerem. Są więc cztery możliwości.

\[2,4,6,8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry setek i dziesiątek można wybrać niezależnie, każdą na 10 sposobów. Mnożymy liczby możliwości.

\[4\cdot 10\cdot 10=400\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 400. Odpowiedź A.

\[400\]

Sprawdzenie

Dla każdej z czterech możliwych cyfr skrajnych otrzymujemy dokładnie 100 liczb, bo dwie środkowe cyfry tworzą parę od 00 do 99. Wszystkie są czterocyfrowe i parzyste.

\[4\cdot 100=400\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

\(10\)

\(10{,}5\)

\(11\)

\(11{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczby uczniów

Przyjmijmy, że w drugiej szkole jest n uczniów. W pierwszej jest ich trzy razy więcej.

\[n_2=n,\quad n_1=3n,\quad n>0\]

2 Oblicz średnią ważoną

Sumę wieku uczniów obu szkół dzielimy przez łączną liczbę uczniów.

\[\frac{9\cdot 3n+13\cdot n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10\]

Odpowiedź

Średni wiek wynosi 10 lat. Odpowiedź A.

\[10\ \text{lat}\]

Sprawdzenie

Dla przykładowych 3 uczniów w pierwszej szkole i 1 w drugiej suma ich wieku wynikająca ze średnich to 27+13=40 lat. Podzielenie przez 4 daje 10 lat; warunek liczby uczniów jest spełniony.

\[\frac{3\cdot 9+1\cdot 13}{4}=10\]

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy liczby uczniów dla ocen od 1 do 6: odpowiednio 2, 1, 6, 5, 7 i 5 uczniów.

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z diagramu, aby ustalić pozycje środkowych ocen.

\[2+1+6+5+7+5=26\]

2 Wyznaczenie mediany

Przy 26 uczniach mediana jest średnią ocen na miejscach 13. i 14. Po uporządkowaniu wyników oceny od 1 do 3 zajmują łącznie 9 miejsc, a ocena 4 zajmuje miejsca od 10. do 14.

\[2+1+6=9,\qquad 9+5=14,\qquad \frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[\operatorname{Me}=4\]

Sprawdzenie

Obie środkowe oceny, na miejscach 13. i 14., należą do pięciu ocen równych 4, więc ich średnia wynosi 4.

\[10\leqslant 13<14\leqslant 14\]