Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 29 z 98

Sortuj:

Zadanie 1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

\((-2)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastków

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne. Obliczamy wartości występujące w liczniku i mianowniku.

\[\sqrt[3]{-64}=-4,\qquad \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie ilorazu

Podstawiamy obliczone wartości i dzielimy dwie liczby ujemne.

\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \((-4)^3=-64\), \(3^3=27\) i \((-2)^5=-32\), podstawione pierwiastki są poprawne. Mianownik jest różny od zera, a \((-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), czyli tyle wynosi licznik.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1=-4+3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa

\(9^{-24}\)

\(9^{-6}\)

\(9^{14}\)

\(9^{56}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Aby zastosować regułę dzielenia potęg, zapisujemy mianownik jako potęgę liczby 9.

\[3^{-20}=(3^2)^{-10}=9^{-10}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{9^4}{9^{-10}}=9^{4-(-10)}=9^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{14}\]

Sprawdzenie

Niezależnie, po sprowadzeniu licznika i mianownika do podstawy 3 otrzymujemy ten sam wynik.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{28}=(3^2)^{14}=9^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{5}\sqrt[3]{25}\) jest równa

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argument jako potęgę liczby 5

Ponieważ \(25=5^2\), możemy zastosować regułę \(\sqrt[3]{a}=a^{1/3}\).

\[\sqrt[3]{25}=(5^2)^{1/3}=5^{2/3}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm przy podstawie 5 wskazuje wykładnik potęgi liczby 5.

\[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{2/3}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Podnosząc 5 do otrzymanej potęgi, dostajemy argument logarytmu.

\[\left(5^{2/3}\right)^3=5^2=25\]

Zadanie 4

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia

\(x(x-1)^2\)

\(x(x-1)(x+1)\)

\((x-1)(x^2+1)\)

\((x+1)(x-1)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik wyrażenia zawiera \(x\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Trójmian w nawiasie jest kwadratem różnicy.

\[x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[x(x-1)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymanego wyrażenia dostajemy wyjściowy wielomian dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

\[x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\]

Zadanie 5

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik 7^n, więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi 57, czyli 19 razy 3. Ponieważ dla całkowitego n≥0 liczba 3·7^n jest całkowita, otrzymujemy wielokrotność 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot 7^n=19\cdot(3\cdot 7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n≥0 podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla n=0 suma wynosi 1+7+49=57=19·3. Dla każdego większego całkowitego n czynnik 3·7^n nadal jest liczbą całkowitą, więc wykazana postać pozostaje wielokrotnością 19.

\[7^0+7^1+7^2=57=19\cdot3\]

Zadanie 6

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami:

\(W(x)=x^4\)
\(V(x)=x^3+1\)
\(H(x)=x-2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian \(W(x)-V(x)\cdot H(x)\) jest określony wzorem

\(2x^3-x+2\)

\(2x^3+x-2\)

\(x^4-x^3+x-2\)

\(x^4-x^3-x+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mnożenie wielomianów

Mnożymy każdy składnik wielomianu \(V(x)\) przez każdy składnik \(H(x)\), korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2\]

2 Odjęcie iloczynu

Odejmujemy otrzymany wielomian od \(W(x)\), zmieniając znaki wszystkich składników w nawiasie, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

\[W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)=2x^3-x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2x^3-x+2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wartość z danych wzorów wynosi \(3\); otrzymany wzór również daje \(3\).

\[W(1)-V(1)H(1)=1-2\cdot(-1)=3=2\cdot1^3-1+2\]

Zadanie 7

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)(x-2)>0\) jest przedział

\([-3,2]\)

\((-3,2)\)

\([-2,3]\)

\((-2,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie nierówności

Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną \(-2\), więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[-2(x+3)(x-2)>0\iff(x+3)(x-2)<0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między ich miejscami zerowymi: \(-3\) i \(2\). Końców nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.

\[-3<x<2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \((-3,2)\).

\[x\in(-3,2)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\), leżącego w otrzymanym przedziale, lewa strona wynosi \(12>0\). Dla \(x=-3\) i \(x=2\) wynosi \(0\), więc końce przedziału nie są rozwiązaniami.

\[-2(0+3)(0-2)=12>0\]

Zadanie 8

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Dane jest równanie \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\), gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\).

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianowniki

Ponieważ \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\), można pomnożyć obie strony przez \(3x(x-1)\).

\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\]

2 Rozwiąż równanie kwadratowe

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\;\Longleftrightarrow\;(4x+3)(2x+1)=0\]

3 Wybierz rozwiązanie z przedziału

Spośród dwóch pierwiastków tylko \(-\frac34\) jest mniejsze od \(-\frac23\).

\[x=-\frac34\ \text{lub}\ x=-\frac12,\qquad -\frac34<-\frac23<-\frac12\]

Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem należącym do podanego przedziału jest \(x=-\frac34\).

\[x=-\frac34\]

Sprawdzenie

Liczba \(-\frac34\) spełnia warunki dziedziny i należy do wskazanego przedziału. Po podstawieniu obie strony równania są równe \(-1\).

\[\frac{3\left(-\frac34\right)+4}{-\frac34-1}=-1=\frac{-\frac34+3}{3\left(-\frac34\right)}\]

Zadanie 9

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

\(\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby drzew

Łącznie rośnie 198 drzew, więc suma liczb drzew obu rodzajów wynosi 198.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o drzewach liściastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich \(x+18\). Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Obliczenie liczby drzew

Podstawiamy wyrażenie na \(y\) do pierwszego równania, aby wyznaczyć \(x\), a następnie \(y\).

\[x+3(x+18)=198\;\Rightarrow\;4x=144\;\Rightarrow\;x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\qquad x=36,\ y=162\]

Sprawdzenie

Liczby drzew sumują się do 198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162 drzewa liściaste to trzy razy tyle.

\[36+162=198,\qquad 3(36+18)=3\cdot54=162\]

Zadanie 10

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Monotoniczność

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej wynosi 3. Ponieważ jest dodatni, funkcja jest rosnąca, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[f(x)=3x-4,\quad 3>0\]

2 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x jest równa 0. Obliczamy wartość funkcji w tym punkcie, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=3\cdot 0-4=-4,\quad (0,-4)\ne(0,4)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla większej wartości argumentu wartość funkcji rośnie: f(1)=−1 jest większe od f(0)=−4. Ponadto punkt (0,4) nie leży na wykresie, bo f(0)=−4.

\[f(1)-f(0)=(-1)-(-4)=3>0,\quad f(0)=-4\ne 4\]

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

\(-11\)

\(-7\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, jej wartość dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=14-2k=0\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[14-2k=0\quad\Rightarrow\quad 2k=14\quad\Rightarrow\quad k=7\]

Odpowiedź

Liczba k jest równa 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla }x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla }x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie ……… miejsca zerowe.
Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu ……… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy każdy wzór funkcji do zera i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do odpowiedniego przedziału.

\[\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}=0\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\in[-5,-2),\qquad \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=-2\in[-2,2],\qquad -3x+9=0\Rightarrow x=3\in(2,4).\]

2 Wyznaczenie argumentu największej wartości

Pierwszy i drugi odcinek rosną, a trzeci maleje. Najwyższy punkt wykresu ma więc argument 2.

\[f(2)=\frac{3}{4}\cdot2+\frac{3}{2}=3.\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie 3 miejsca zerowe. Największą wartość osiąga dla argumentu 2.

\[3;\quad x=2\]

Sprawdzenie

Wszystkie trzy miejsca zerowe należą do przedziałów, w których obowiązują użyte wzory. Na pierwszym odcinku wartości są mniejsze od 2, na trzecim mniejsze od 3, a na środkowym wartość 3 jest osiągana w punkcie x=2.

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=f(-2)=f(3)=0,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Łączymy przedziały, na których określono trzy części funkcji.

\[D_f=[-5,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4)=[-5,4)\]

2 Wartości nieujemne

W każdym przedziale rozwiązujemy nierówność dla odpowiedniego wzoru i uwzględniamy zakres jego obowiązywania.

\[\begin{aligned}\frac43x+\frac{14}{3}\geq0&\iff x\geq-\frac72 &&\Rightarrow x\in\left[-\frac72,-2\right),\\\frac34x+\frac32\geq0&\iff x\geq-2 &&\Rightarrow x\in[-2,2],\\-3x+9\geq0&\iff x\leq3 &&\Rightarrow x\in(2,3].\end{aligned}\]

3 Połączenie wyników

Wszystkie otrzymane przedziały łączą się w jeden przedział.

\[\left[-\frac72,-2\right)\cup[-2,2]\cup(2,3]=\left[-\frac72,3\right]\]

Odpowiedź

1. Dziedzina: [−5, 4). 2. Przedział argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne: [−7/2, 3].

\[D_f=[-5,4),\qquad\{x:f(x)\geq0\}=\left[-\frac72,3\right]\]

Sprawdzenie

Na krańcach przedziału wartości nieujemnych funkcja ma wartość 0. Ponadto f(2) = 3, więc punkt 2 należy do tego przedziału. Wartość f(−5) jest ujemna, a punkt 4 nie należy do dziedziny. Uwaga z kontroli poprzedniej próby jest poprawna: f(2) nie jest równe 0.

\[f\left(-\frac72\right)=0,\quad f(-2)=0,\quad f(2)=3,\quad f(3)=0,\quad f(-5)=-2,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 13.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).

Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t)=f(-9)\) oraz \(t\ne -9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(t\) jest równa

\(3\)

\(9\)

\(15\)

\(21\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

Wierzchołek \((-3,7)\) wyznacza postać funkcji kwadratowej, przy czym \(a\ne 0\).

\[f(x)=a(x+3)^2+7,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz drugie rozwiązanie

Podstawiamy warunek \(f(t)=f(-9)\) i dzielimy przez niezerowe \(a\).

\[a(t+3)^2+7=a(-6)^2+7\;\Longrightarrow\;(t+3)^2=36\;\Longrightarrow\;t=-9\text{ lub }t=3\]

Odpowiedź

Ponieważ t ≠ −9, otrzymujemy t = 3. Odpowiedź A.

\[t=3\]

Sprawdzenie

Dla t = 3 oba argumenty są jednakowo odległe od osi symetrii x = −3; bezpośrednie podstawienie daje tę samą wartość funkcji. Spełniony jest też warunek t ≠ −9.

\[f(3)=a\cdot 6^2+7=36a+7=f(-9),\quad 3\ne-9\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x-5)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne

\((-8,7)\)

\((-3,2)\)

\((-3,12)\)

\((2,7)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal przesunięcie

Zastąpienie argumentu funkcji \(f\) przez \(x-5\) przesuwa jej wykres o 5 jednostek w prawo.

\[g(x)=f(x-5)\]

2 Oblicz współrzędne wierzchołka

Do współrzędnej poziomej wierzchołka dodajemy 5, a współrzędna pionowa pozostaje taka sama.

\[W_g=(-3+5,7)=(2,7)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wierzchołek ma współrzędne \((2,7)\).

\[W_g=(2,7)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\) funkcja \(g\) przyjmuje wartość funkcji \(f\) w jej wierzchołku, bo \(2-5=-3\). Potwierdza to współrzędną pionową równą 7.

\[g(2)=f(2-5)=f(-3)=7\]