Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 27 z 70

Sortuj:

Zadanie 35

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.

Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wyników

Losowanie odbywa się kolejno i bez zwracania, więc po pierwszym wyborze pozostaje siedem możliwości.

\[|\Omega|=8\cdot7=56\]

2 Wyniki sprzyjające

Suma dwóch różnych liczb ze zbioru od 1 do 8 może być dzielnikiem 8 tylko wtedy, gdy wynosi 4 lub 8. Każdą parę można wylosować w dwóch kolejnościach.

\[4=1+3,\qquad 8=1+7=2+6=3+5,\qquad |A|=4\cdot2=8\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{8}{56}=\frac17\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 1/7.

\[P(A)=\frac17\]

Sprawdzenie

Bez uwzględniania kolejności są łącznie 28 pary, z czego cztery mają sumę 4 lub 8. Daje to ten sam wynik.

\[\frac{4}{\binom82}=\frac4{28}=\frac17\]

Zadanie 36

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawa \(CD\) ma długość \(5\). Punkt \(F=(3,11)\) jest środkiem odcinka \(CD\). Prosta o równaniu \(y=-\frac{4}{3}x+15\) jest osią symetrii tego trapezu oraz \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) oraz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek górnej podstawy

Oś symetrii przechodzi przez środek odcinka \(AB\) i jest do niego prostopadła. Prosta \(AB\) ma więc współczynnik kierunkowy \(\frac34\). Jej punkt przecięcia \(E\) z osią jest środkiem \(AB\).

\[y=\frac34x-\frac58,\quad \frac34x-\frac58=-\frac43x+15\quad\Longrightarrow\quad E=\left(\frac{15}{2},5\right)\]

2 Współrzędne wierzchołka A

Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AB\), współrzędne \(A\) otrzymujemy z równości \(A=2E-B\).

\[A=2\left(\frac{15}{2},5\right)-\left(\frac{23}{2},8\right)=\left(\frac72,2\right)\]

3 Długość podstawy i wysokość

Długość \(AB\) jest dwukrotnością \(BE\). Odcinek \(EF\) leży na osi prostopadłej do podstaw, więc jest wysokością trapezu.

\[AB=2\sqrt{\left(\frac{23}{2}-\frac{15}{2}\right)^2+(8-5)^2}=10,\qquad h=EF=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-3\right)^2+(5-11)^2}=\frac{15}{2}\]

4 Pole trapezu

Stosujemy wzór na pole trapezu o podstawach \(AB=10\), \(CD=5\) i wysokości \(h=\frac{15}{2}\).

\[P=\frac{AB+CD}{2}\,h=\frac{10+5}{2}\cdot\frac{15}{2}=\frac{225}{4}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (7/2, 2), a pole trapezu wynosi 225/4 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac72,2\right),\qquad P=\frac{225}{4}\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka AB to E=(15/2, 5), który leży na podanej osi. Wektor AB=(8, 6) jest prostopadły do kierunku osi (3, −4), ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi 0. Punkt F również leży na osi: −4/3·3+15=11. Zatem EF jest wysokością używaną w obliczeniu pola.

\[\frac{A+B}{2}=\left(\frac{15}{2},5\right),\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=24-24=0\]

Zadanie 1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x+5|<15\) jest

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń wartość bezwzględną

Nierówność \(|a|<15\) oznacza, że \(a\) leży między \(-15\) a \(15\).

\[-15<x+5<15\quad\Longrightarrow\quad -20<x<10\]

2 Policz liczby dodatnie

Dodatnie liczby całkowite z tego przedziału to liczby od 1 do 9.

\[x\in\{1,2,\ldots,9\},\qquad 9-1+1=9\]

Odpowiedź

Jest 9 takich liczb. Odpowiedź A.

\[\boxed{9\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Dla największej z nich, \(x=9\), otrzymujemy \(|9+5|=14<15\). Następna liczba dodatnia, \(x=10\), daje 15, więc już nie spełnia nierówności.

\[|9+5|=14<15,\qquad |10+5|=15\not<15\]

Zadanie 2

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy

\(x\)

\(\sqrt[10]{x}\)

\(\sqrt[18]{x}\)

\(x^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Ponieważ \(x>0\), każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym.

\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac12}\cdot x^{\frac13}\cdot x^{\frac16}\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[x^{\frac12+\frac13+\frac16}=x^{\frac36+\frac26+\frac16}=x^1=x\]

Odpowiedź

Wynik to \(x\), czyli odpowiedź A.

\[\boxed{x}\]

Sprawdzenie

Suma wykładników wynosi \(1\), więc iloczyn jest równy \(x\) dla każdego \(x>0\).

\[\frac12+\frac13+\frac16=1\]

Zadanie 3

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) reszta z dzielenia liczby \(49k^2+7k-2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę w postaci iloraz razy 7 plus reszta

Wyłączamy wielokrotność 7, aby wskazać resztę z dzielenia.

\[49k^2+7k-2=7(7k^2+k-1)+5\]

2 Uzasadnij wartość reszty

Dla całkowitego k liczba 7k²+k−1 jest całkowita, a 5 należy do przedziału od 0 do 6. Zatem reszta wynosi 5.

\[7k^2+k-1\in\mathbb Z,\qquad 0\leq 5<7\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia podanej liczby przez 7 jest równa 5.

\[49k^2+7k-2\equiv 5\pmod 7\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyjściową liczbę, a wskazana reszta jest mniejsza od 7.

\[7(7k^2+k-1)+5=49k^2+7k-2,\qquad 0\leq 5<7\]

Zadanie 4

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(2100\) zł

\(2247\) zł

\(4200\) zł

\(4347\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank nalicza 7% od wpłaconych 30 000 zł. Dodajemy odsetki do kapitału, ponieważ od tej kwoty będą naliczane odsetki w drugim roku.

\[30000\cdot 0{,}07=2100\ \text{zł},\qquad 30000+2100=32100\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

W drugim roku podstawą naliczenia odsetek jest kapitał powiększony po pierwszym roku.

\[32100\cdot 0{,}07=2247\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Dodajemy odsetki z obu lat.

\[2100+2247=4347\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Łączna wartość odsetek wynosi 4347 zł. Odpowiedź D.

\[4347\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach kapitał wynosi 34 347 zł, czyli o 4347 zł więcej niż wpłacone 30 000 zł.

\[30000\cdot(1{,}07)^2=34347\ \text{zł},\qquad 34347-30000=4347\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4\) jest równa

\((-1)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argumenty jako potęgi dwójki

Korzystamy z definicji logarytmu: logarytm przy podstawie 2 jest wykładnikiem potęgi dwójki.

\[\frac{1}{8}=2^{-3},\qquad 4=2^2\]

2 Oblicz sumę

Ponieważ \(\log_2 2^a=a\), oba logarytmy zastępujemy wykładnikami i dodajemy.

\[\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4=-3+2=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, czyli odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Iloczyn argumentów wynosi 1/2, a \(2^{-1}=1/2\), więc suma logarytmów jest równa −1.

\[\log_2\left(\frac{1}{8}\cdot4\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1\]

Zadanie 6

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

\(0\)

\((-10)\)

\(4\sqrt{5}\)

\(2+2\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie ma postać różnicy kwadratów, więc stosujemy wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

\[(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=\bigl((1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\bigr)\bigl((1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\bigr)\]

2 Obliczenie iloczynu

W pierwszym nawiasie redukują się jedynki, a w drugim pierwiastki.

\[(2\sqrt{5})\cdot 2=4\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Wynik to \(4\sqrt{5}\), czyli odpowiedź C.

\[4\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów składniki \(1\) i \(5\) się odejmują, a składniki z pierwiastkiem dają \(4\sqrt{5}\).

\[(6+2\sqrt{5})-(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) i \(2\) wyrażenie \(\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}\) jest równe

\(\frac{x^2+1}{x-2}\)

\(\frac{x+1}{2}\)

\(\frac{x^2}{(x-2)^2}\)

\(\frac{x+1}{x-2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż licznik na czynniki

Wyłączamy x przed nawias, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[\frac{x^2+x}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x}=\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}\]

2 Skróć ułamek

Ponieważ x≠0 i x≠2, można skrócić przez x oraz x−2.

\[\frac{x(x+1)(x-2)}{(x-2)^2x}=\frac{x+1}{x-2}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\frac{x+1}{x-2}\]

Sprawdzenie

Dla x=1, który spełnia warunki, wyrażenie z treści ma wartość −2. Otrzymany wynik ma tę samą wartość.

\[\frac{1^2+1}{(1-2)^2}\cdot\frac{1-2}{1}=-2=\frac{1+1}{1-2}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)<2x\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby porównać wyrażenie z zerem, odejmujemy \(2x\) od obu stron i wyłączamy \(x\) przed nawias.

\[x(2x-1)<2x\iff 2x^2-3x<0\iff x(2x-3)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Dzieje się tak między miejscami zerowymi \(0\) i \(\frac{3}{2}\).

\[x(2x-3)<0\iff 0<x<\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział \(\left(0,\frac{3}{2}\right)\).

\[x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\), leżącego w otrzymanym przedziale, mamy \(1(2-1)=1<2\). Na końcach przedziału zachodzi równość, więc \(0\) i \(\frac{3}{2}\) nie należą do rozwiązania.

\[x=0:\ 0=0;\qquad x=\frac{3}{2}:\ 3=3\]

Zadanie 9

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(x^3+4x^2-9x-36=0\).

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Grupowanie wyrazów

Łączymy wyrazy tak, aby w obu grupach pojawił się wspólny czynnik \(x+4\).

\[x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)=(x+4)(x^2-9)\]

2 Rozkład i rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów. Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[(x+4)(x-3)(x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-4\ \lor\ x=3\ \lor\ x=-3\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to \(x=-4\), \(x=-3\) i \(x=3\).

\[x\in\{-4,-3,3\}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu każdej z trzech wartości lewa strona równania wynosi zero. Rozkład na trzy czynniki liniowe pokazuje, że innych rozwiązań nie ma.

\[(-4)^3+4(-4)^2-9(-4)-36=0,\quad (-3)^3+4(-3)^2-9(-3)-36=0,\quad 3^3+4\cdot3^2-9\cdot3-36=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka musi być różny od zera, więc wykluczamy liczby −2 i 2.

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -2,\ x\ne 2\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x^2-3x)(x+2)=x(x-3)(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x\in\{0,3,-2\}\]

3 Odrzucenie liczby spoza dziedziny

Liczba −2 zeruje mianownik, dlatego rozwiązaniami są tylko 0 i 3.

\[\{0,3,-2\}\setminus\{-2,2\}=\{0,3\}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź B.

\[x\in\{0,3\}\]

Sprawdzenie

Dla 0 mianownik wynosi −4, a dla 3 wynosi 5; w obu przypadkach licznik wynosi 0. Liczba −2 jest wykluczona z dziedziny.

\[\frac{(0^2-3\cdot0)(0+2)}{0^2-4}=0,\qquad \frac{(3^2-3\cdot3)(3+2)}{3^2-4}=0\]

Zadanie 11

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x)=(2m+3)x+5\) oraz \(g(x)=-x\) nie mają punktów wspólnych dla

\(m=-2\)

\(m=-1\)

\(m=1\)

\(m=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku punktów wspólnych

Wykresy funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne wynoszą tu 5 i 0, więc wystarczy zrównać współczynniki kierunkowe.

\[2m+3=-1\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 3 od obu stron równania, a następnie dzielimy przez 2.

\[2m=-4\quad\Longrightarrow\quad m=-2\]

Odpowiedź

m = −2, odpowiedź A.

\[m=-2\]

Sprawdzenie

Dla m = −2 otrzymujemy f(x) = −x + 5 oraz g(x) = −x. Ich współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.

\[f(x)=-x+5\neq -x=g(x)\quad\text{dla każdego }x\]

Zadanie 12

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy

\((-4)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(2\)

\(\frac{4}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla prostej przechodzącej przez dwa punkty współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy ich współrzędnych y i różnicy współrzędnych x.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Współczynnik a wynosi 4/7. Odpowiedź D.

\[a=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Różnica współrzędnych x wynosi 7, więc iloraz jest określony. Dla otrzymanego współczynnika b = 5/7; oba punkty spełniają równanie prostej.

\[-1=\frac{4}{7}\cdot(-3)+\frac{5}{7},\qquad 3=\frac{4}{7}\cdot4+\frac{5}{7}\]

Zadanie 13.1

Matura 2023 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych

\([-3,-1]\cup[1,3]\)

\((-3,3)\)

\((-3,-1)\cup(1,3)\)

\([-5,-1]\cup[1,5]\)

\((-5,5)\)

\((-5,-1)\cup(1,5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Odczytujemy wszystkie wartości x, dla których wykres ma punkt. Puste kółka oznaczają, że końce przedziałów nie należą do dziedziny.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5)\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Odczytujemy wszystkie wysokości osiągane przez wykres. Wartości −3, −1, 1 i 3 są osiągane w innych punktach niż puste kółka, więc należą do zbioru wartości.

\[W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Odpowiedź

Dziedzina: F. Zbiór wartości: A.

\[D_f=(-5,-1)\cup(1,5),\qquad W_f=[-3,-1]\cup[1,3]\]

Sprawdzenie

Wykres nie zawiera punktów o współrzędnych x równych −5, −1, 1 lub 5, ale przyjmuje wszystkie wartości y od −3 do −1 oraz od 1 do 3, łącznie z końcami tych przedziałów.

\[-5,-1,1,5\notin D_f;\qquad -3,-1,1,3\in W_f\]