Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 25 z 98

Sortuj:

Zadanie 3

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wyrażenie na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn kolejnych liczb naturalnych.

\[(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)\]

2 Wykaż podzielność przez 8

Spośród dwóch kolejnych liczb \(n\) i \(n+1\) jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest podzielny przez \(2\). Po pomnożeniu przez \(4\) otrzymujemy wielokrotność \(8\).

\[n(n+1)=2k\quad\text{dla pewnego }k\in\mathbb{N},\qquad 4n(n+1)=8k\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) podana liczba jest podzielna przez \(8\).

\[8\mid\bigl((2n+1)^2-1\bigr)\]

Sprawdzenie

Dla najmniejszej dopuszczalnej wartości \(n=1\) otrzymujemy \(8\), zgodnie z wykazaną podzielnością.

\[(2\cdot1+1)^2-1=9-1=8\]

Zadanie 15

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(\frac{2}{9}\)

\(\frac{9}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kwadratu ilorazu

W ciągu geometrycznym \(a_5=a_3q^2\). Ponieważ \(a_3>0\), możemy podzielić równanie przez \(a_3\).

\[9a_3q^2=4a_3\quad\Longrightarrow\quad q^2=\frac{4}{9}\]

2 Wybór ilorazu

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.

\[q=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{2}{3}\). Odpowiedź A.

\[q=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(q=\frac{2}{3}\) zachodzi \(a_5=\frac{4}{9}a_3\), więc podany warunek jest spełniony. Iloraz jest dodatni.

\[9a_5=9\cdot\frac{4}{9}a_3=4a_3\]

Zadanie 25

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkt \(A=(3,-5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M=(1,3)\) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

\(68\)

\(136\)

\(2\sqrt{34}\)

\(8\sqrt{34}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości wierzchołka od środka

Punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest ich środkiem, więc odcinek AM stanowi połowę przekątnej. Obliczamy jego długość ze wzoru na odległość punktów.

\[AM^2=(3-1)^2+(-5-3)^2=4+64=68\]

2 Obliczenie pola

Przekątna ma długość 2AM, a pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości przekątnej.

\[P=\frac{(2AM)^2}{2}=2AM^2=2\cdot68=136\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 136. Odpowiedź B.

\[P=136\]

Sprawdzenie

Dla pola 136 połowa kwadratu przekątnej daje 136, a kwadrat odległości od jej środka do wierzchołka wynosi 136/2=68, zgodnie z obliczoną wartością AM².

\[AM^2=\frac{P}{2}=\frac{136}{2}=68\]

Zadanie 2

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

\(\sqrt[3]{52}\)

\(3\)

\(2\sqrt[3]{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz czynnik przed pierwiastek

Liczba 54 jest iloczynem sześcianu liczby 3 i liczby 2, więc można wyłączyć 3 przed pierwiastek.

\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\]

2 Odejmij podobne wyrażenia

Oba składniki zawierają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[2\sqrt[3]{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej postaci za pierwszy składnik różnica wynosi dokładnie podany wynik.

\[\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe

\(-24a\)

\(0\)

\(18\)

\(16a^2-24a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Korzystamy ze wzoru \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=[(2a-3)-(2a+3)][(2a-3)+(2a+3)]\]

2 Obliczenie iloczynu

Pierwszy nawias jest równy \(-6\), a drugi \(4a\), więc mnożymy je przez siebie.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe \(-24a\). Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z \(a^2\) i stałe się redukują. Równość zachodzi dla każdego \(a\in\mathbb{R}\).

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 32

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Ponieważ kąt jest ostry, \(\cos\alpha\neq 0\). Korzystamy z definicji tangensa i równości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

\[\sin^2\alpha=\operatorname{tg}^2\alpha\cos^2\alpha,\qquad (1+\operatorname{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha=1\]

2 Obliczenie wartości

Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha=2\) i wyznaczamy \(\sin^2\alpha\).

\[\cos^2\alpha=\frac{1}{1+2^2}=\frac15,\qquad \sin^2\alpha=2^2\cdot\frac15=\frac45\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac45\).

\[\sin^2\alpha=\frac45\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną; dla kąta ostrego dodatnie sinus i cosinus dają też tangens równy 2.

\[\frac45+\frac15=1,\qquad \frac{\sqrt{4/5}}{\sqrt{1/5}}=2\]

Zadanie 24

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

\(402\)

\(403\)

\(203\)

\(204\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Pierwsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000. Ostatnia mniejsza od 2018 to 2015.

\[1000=5\cdot200,\qquad 2015=5\cdot403\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 5 różnią się o 5, więc liczymy wyrazy ciągu od 1000 do 2015, uwzględniając oba końce.

\[\frac{2015-1000}{5}+1=204\]

Odpowiedź

Są 204 takie liczby. Odpowiedź D.

\[204\]

Sprawdzenie

Mnożniki 5 mają wartości od 200 do 403 włącznie, a liczb całkowitych w tym przedziale jest 403 − 200 + 1 = 204. Następna wielokrotność, 2020, przekracza 2018.

\[403-200+1=204,\qquad 2020>2018\]

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka.

\[\left(\frac{-2+x_C}{2},\frac{6+y_C}{2}\right)=(6,7)\quad\Rightarrow\quad x_C=14,\ y_C=8\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B=(10,2) i C=(14,8).

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi \(2\sqrt{13}\).

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne (6,7), zgodne z danym punktem P. Kwadrat obliczonej długości BC jest równy sumie kwadratów różnic współrzędnych: 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (2\sqrt{13})^2=4^2+6^2=52\]

Zadanie 20

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150^\circ\). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

\(24\)

\(72\)

\(36\)

\(36\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola rombu

Pole rombu jest iloczynem kwadratów długości boku i sinusa kąta między bokami.

\[P=a^2\sin 150^\circ=(6\sqrt{2})^2\cdot\frac12=36\]

2 Wyznaczenie iloczynu przekątnych

Pole rombu jest też połową iloczynu długości jego przekątnych.

\[P=\frac{d_1d_2}{2},\quad d_1d_2=2P=72\]

Odpowiedź

Iloczyn długości przekątnych wynosi 72. Odpowiedź B.

\[d_1d_2=72\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego iloczynu wzór na pole z przekątnych daje 36, tyle samo co wzór z boku i kąta.

\[\frac{72}{2}=36=(6\sqrt{2})^2\sin 150^\circ\]

Zadanie 30

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, a następnie podstawiamy współrzędne punktu A.

\[a=\frac{19-(-12)}{50-(-43)}=\frac{31}{93}=\frac13,\qquad y+12=\frac13(x+43),\qquad y=\frac{x+7}{3}\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Każdy punkt osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0.

\[0=\frac{x+7}{3}\quad\Longrightarrow\quad x=-7\]

Odpowiedź

Pierwsza współrzędna punktu P wynosi −7.

\[P=(-7,0)\]

Sprawdzenie

Dla x=−7 równanie prostej daje y=0. Ponadto podstawienie współrzędnych A i B daje odpowiednio −12 i 19, więc jest to właściwa prosta.

\[\frac{-7+7}{3}=0,\qquad \frac{-43+7}{3}=-12,\qquad \frac{50+7}{3}=19\]

Zadanie 17

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

40%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz to pierwszy wyraz powiększony o dwie różnice. Suma piętnastu wyrazów wynosi piętnaście razy wyraz środkowy, czyli ósmy.

\[a_1+2r=-1,\qquad 15(a_1+7r)=-165\]

2 Obliczenie różnicy

Dzielimy równanie sumy przez 15, a następnie odejmujemy od niego równanie dla trzeciego wyrazu, aby usunąć \(a_1\).

\[a_1+7r=-11,\qquad 5r=-11-(-1)=-10,\qquad r=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi \(-2\).

\[r=-2\]

Sprawdzenie

Z równania dla trzeciego wyrazu otrzymujemy \(a_1=3\). Wtedy trzeci wyraz wynosi \(-1\), a suma piętnastu wyrazów wynosi \(-165\).

\[a_3=3+2(-2)=-1,\qquad S_{15}=15\bigl(3+7(-2)\bigr)=-165\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

39%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

\(15\sqrt{2}\)

\(45\)

\(5\sqrt{2}\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 15, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Przekątna graniastosłupa

Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątną kwadratu. Z definicji cosinusa kąta nachylenia obliczamy jej długość.

\[\cos\alpha=\frac{p}{d},\qquad \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{d},\qquad d=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Stosunek długości rzutu do obliczonej przekątnej jest równy podanemu cosinusowi, a przekątna jest dłuższa od swojego rzutu.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad 45>15\sqrt{2}\]

Zadanie 31

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

39%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie warunku

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni i można podzielić przez niego licznik ułamka. Iloraz sinusa i cosinusa to tangens.

\[\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+3=2\tan\alpha+3=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odejmujemy 3 od obu stron równania, a następnie dzielimy przez 2.

\[2\tan\alpha=1\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi 1/2.

\[\tan\alpha=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej wartości do warunku dostajemy 4. Wynik jest dodatni, zgodnie z tym, że kąt α jest ostry.

\[2\cdot\frac{1}{2}+3=4\]

Zadanie 31

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

38%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Prostopadłościan ABCDEFGH; krawędź AB oznaczona x, krawędź BC oznaczona 4. Krawędzie niewidoczne zaznaczono linią przerywaną.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i dziedziny

Z wierzchołka B wychodzą trzy krawędzie o długościach x, 4 i BF. Ich suma wynosi 15. Każda długość musi być dodatnia.

\[x+4+BF=15\quad\Rightarrow\quad BF=11-x>0,\qquad x>0\quad\Rightarrow\quad x\in(0,11)\]

2 Wzór na pole powierzchni

Prostopadłościan ma po dwie ściany o polach równych iloczynom każdej pary jego wymiarów.

\[P(x)=2\bigl(4x+4(11-x)+x(11-x)\bigr)=-2x^2+22x+88\]

3 Największe pole

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej widać, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy dla x równego 11/2. Ta wartość należy do dziedziny.

\[P(x)=-2\left(x-\frac{11}{2}\right)^2+\frac{297}{2}\leq\frac{297}{2},\qquad x=\frac{11}{2}\]

Odpowiedź

Dziedzina funkcji P to (0,11). Największe pole powierzchni całkowitej występuje, gdy krawędź AB ma długość 11/2.

\[P(x)=-2x^2+22x+88,\quad x\in(0,11);\qquad x_{\max}=\frac{11}{2}\]

Sprawdzenie

Dla x=11/2 wysokość również wynosi 11/2, więc wszystkie krawędzie mają dodatnie długości, a ich suma przy B wynosi 15. Podstawienie do wzoru daje największe pole 297/2.

\[\frac{11}{2}+4+\frac{11}{2}=15,\qquad P\left(\frac{11}{2}\right)=2\left(4\cdot\frac{11}{2}+4\cdot\frac{11}{2}+\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\]

Zadanie 31

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

37%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie ułamka

Niech licznik i mianownik będą dodatnimi liczbami całkowitymi względnie pierwszymi.

\[\frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{N}_{+},\quad \gcd(a,b)=1\]

2 Wykorzystanie pierwszego warunku

Dodajemy połowę licznika do licznika i mianownika, a następnie mnożymy równanie na krzyż. Mianownik jest dodatni.

\[\frac{a+\frac{a}{2}}{b+\frac{a}{2}}=\frac{4}{7}\quad\Longrightarrow\quad 7\cdot\frac{3a}{2}=4\left(b+\frac{a}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad 17a=8b\quad\Longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{8}{17}\]

3 Wyznaczenie licznika i mianownika

Liczby 8 i 17 są względnie pierwsze, więc nieskracalny ułamek ma licznik 8 i mianownik 17.

\[a=8,\qquad b=17\]

Odpowiedź

Szukany ułamek to \(\frac{8}{17}\).

\[\frac{8}{17}\]

Sprawdzenie

Po dodaniu połowy licznika otrzymujemy \(\frac{4}{7}\), a po dodaniu 1 otrzymujemy \(\frac{1}{2}\). Licznik i mianownik są dodatnie oraz względnie pierwsze.

\[\frac{8+4}{17+4}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7},\qquad\frac{8+1}{17+1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},\qquad\gcd(8,17)=1\]