Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 24 z 70

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z wysokością oznaczoną liczbą 6; niewidoczne krawędzie zaznaczono liniami przerywanymi.

\(36\sqrt{10}\)

\(60\)

\(6\sqrt{10}\)

\(360\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest sześciokątem foremnym. Korzystamy ze wzoru na jego pole, aby wyznaczyć długość boku a.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Obliczenie pola ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach a i 6, więc jej pole jest iloczynem tych długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Pole jednej ściany bocznej wynosi 6√10. Odpowiedź C.

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku √10 pole podstawy wynosi 15√3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]

Zadanie 27

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego tylnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki, których rzuty na podstawę są przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Odległość tych rzutów jest średnicą okręgu opisanego na podstawie.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Taką przekątną i jej rzut zaznaczono na rysunku D.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec przekątnej leży nad wierzchołkiem podstawy przeciwległym do jej dolnego końca. Zaznaczony kąt ma za ramiona przekątną i jej rzut na podstawę.

Zadanie 28

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(64\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa \(12\).

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

\(2\)

\(4\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na objętość

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a\), więc jego pole wynosi \(a^2\). Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

\[64=\frac{1}{3}a^2\cdot12=4a^2\]

2 Obliczenie długości boku

Dzielimy równanie przez \(4\) i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=16,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi 4. Odpowiedź B.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla boku 4 pole podstawy wynosi 16, a obliczona objętość jest równa podanej w zadaniu.

\[V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot12=64\]

Zadanie 29

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \(1\), \(3\), \(6\), \(8\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

\(4\)

\(10\)

\(24\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz możliwości na kolejnych miejscach

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na pierwszym miejscu są 4 możliwości, a na każdym następnym o jedną mniej. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę kodów.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 4 cyfr na pierwszym miejscu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, więc łącznie jest 24 kodów.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]

Zadanie 30

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność

\(x^{2}-4\leq 3x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie na jedną stronę

Aby porównać wyrażenie z zerem, odejmujemy od obu stron 3x.

\[x^{2}-4\leq 3x\iff x^{2}-3x-4\leq 0\]

2 Rozłożenie na czynniki

Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1),\quad x=4\ \text{lub}\ x=-1\]

3 Wyznaczenie przedziału

Iloczyn dwóch czynników jest niedodatni między miejscami zerowymi, wraz z nimi.

\[(x-4)(x+1)\leq 0\iff -1\leq x\leq 4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −1 do 4.

\[x\in[-1,4]\]

Sprawdzenie

Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Dla x=0, leżącego między nimi, wynosi −4; dla x=−2 i x=5 wynosi odpowiednio 6 i 6. Potwierdza to, że nierówność zachodzi dokładnie w podanym przedziale.

\[(-1-4)(-1+1)=0,\quad(4-4)(4+1)=0,\quad(0-4)(0+1)=-4,\quad(-2-4)(-2+1)=6,\quad(5-4)(5+1)=6\]

Zadanie 31

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x \neq y\), prawdziwa jest nierówność

\((3x+y)(x+3y)>16xy\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3x^2+10xy+3y^2-16xy=3(x-y)^2\]

2 Wykorzystaj warunek

Ponieważ x i y są rzeczywiste oraz x≠y, kwadrat ich różnicy jest dodatni.

\[x\neq y\implies (x-y)^2>0\implies (3x+y)(x+3y)-16xy>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych x≠y.

\[(3x+y)(x+3y)>16xy\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi 3(x−y)². Jest dodatnia dokładnie przy x≠y, zgodnie z warunkiem zadania.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3(x-y)^2>0\]

Zadanie 32

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=x^{2}+bx+c\) jest prosta o równaniu \(x=-2\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Oblicz współczynniki \(b\) oraz \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Oś symetrii funkcji kwadratowej o współczynniku przy \(x^2\) równym 1 ma równanie \(x=-\frac{b}{2}\). Podstawiamy podaną oś.

\[-\frac{b}{2}=-2\quad\Longrightarrow\quad b=4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Ponieważ 1 jest miejscem zerowym, mamy \(f(1)=0\).

\[1^2+4\cdot1+c=0\quad\Longrightarrow\quad c=-5\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą \(b=4\) oraz \(c=-5\).

\[b=4,\quad c=-5\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji \(f(1)=0\), a jej oś symetrii ma równanie \(x=-2\). Oba warunki zadania są spełnione.

\[f(1)=1+4-5=0,\qquad x=-\frac{4}{2}=-2\]

Zadanie 33

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).

Oblicz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz dane za pomocą różnicy

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego dwukrotnie różnicę.

\[a_3=a_1+2d=-1\]

2 Wykorzystaj sumę wyrazów

Ze wzoru na sumę piętnastu początkowych wyrazów otrzymujemy drugie równanie.

\[S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)=15(a_1+7d)=-165,\quad a_1+7d=-11\]

3 Oblicz różnicę

Odejmujemy równanie dla trzeciego wyrazu od równania dla sumy, aby wyeliminować pierwszy wyraz.

\[(a_1+7d)-(a_1+2d)=-11-(-1),\quad 5d=-10,\quad d=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi −2.

\[d=-2\]

Sprawdzenie

Z pierwszego równania wynika, że pierwszy wyraz to 3. Wtedy trzeci wyraz jest równy −1, a suma piętnastu wyrazów wynosi −165.

\[a_1=-1-2(-2)=3,\quad a_3=3+2(-2)=-1,\quad S_{15}=15(3+7(-2))=-165\]

Zadanie 34

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(10,2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC.

\[C=2P-A=(2\cdot6-(-2),\,2\cdot7-6)=(14,8)\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B i C.

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi \(2\sqrt{13}\).

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne P, a kwadrat długości BC wynosi 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (14-10)^2+(8-2)^2=52\]

Zadanie 35

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K=\{5,6,7,8,9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości. Kolejność losowania ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot 5=25\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze są 2 liczby parzyste i 3 nieparzyste.

\[|A|=2\cdot 2+3\cdot 3=13\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 13/25.

\[P(A)=\frac{13}{25}\]

Sprawdzenie

Suma jest nieparzysta w 2·3+3·2=12 przypadkach. Pozostałych jest 25−12=13, co potwierdza wynik.

\[25-(2\cdot 3+3\cdot 2)=13\]

Zadanie 36

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \(108\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \(\frac{1}{4}\).

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekątną i zaznaczonym kątem α między przekątną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a\), a wysokość przez \(h\). Z podanego stosunku mamy \(h=4a\). Podstawiamy to do wzoru na objętość.

\[108=a^2h=4a^3,\quad a^3=27,\quad a=3,\quad h=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu, długości \(a\sqrt{2}\). Tworzy ona z wysokością i przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny.

\[\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{(a\sqrt{2})^2+h^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+144}}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac13\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[P_c=2a^2+4ah=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12=162\]

Odpowiedź

Cosinus kąta α wynosi 1/3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 162.

\[\cos\alpha=\frac13,\qquad P_c=162\]

Sprawdzenie

Wymiary spełniają warunek stosunku i objętości: 3/12 = 1/4 oraz 3² · 12 = 108. Ponadto cosinus 1/3 należy do przedziału od 0 do 1.

\[\frac{a}{h}=\frac{3}{12}=\frac14,\qquad a^2h=3^2\cdot12=108,\qquad 0<\frac13<1\]

Zadanie 1

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(6^{30}:4^{15}\) jest równa

\((1{,}5)^{15}\)

\((1{,}5)^2\)

\(3^{30}\)

\(3^0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do jednakowych wykładników

Ponieważ \(30=2\cdot15\), zapisujemy obie potęgi z wykładnikiem 15, aby zastosować wzór na iloraz potęg.

\[\frac{6^{30}}{4^{15}}=\frac{(6^2)^{15}}{4^{15}}=\left(\frac{36}{4}\right)^{15}=9^{15}\]

2 Zapis jako potęga liczby 3

Ponieważ \(9=3^2\), mnożymy wykładniki potęg.

\[9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[3^{30}\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu podstaw jako iloczynów potęg liczb pierwszych otrzymujemy ten sam wynik.

\[\frac{6^{30}}{4^{15}}=\frac{(2\cdot3)^{30}}{(2^2)^{15}}=\frac{2^{30}3^{30}}{2^{30}}=3^{30}\]

Zadanie 2

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) iloczyn \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}\) jest równy

\(x\)

\(\sqrt[10]{x}\)

\(\sqrt[18]{x}\)

\(x^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastki jako potęgi

Dla dodatniego \(x\) pierwiastek stopnia \(n\) jest równy \(x^{1/n}\).

\[\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/3}\cdot x^{1/6}\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[x^{1/2+1/3+1/6}=x^{3/6+2/6+1/6}=x\]

Odpowiedź

Wynik to x, czyli odpowiedź A.

\[\boxed{\mathrm{A}\colon\ x}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest dodatni. Jego szósta potęga wynosi x do szóstej potęgi, więc dla dodatniego x iloczyn rzeczywiście jest równy x.

\[\left(\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x}\right)^6=x^3\cdot x^2\cdot x=x^6\]

Zadanie 3

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

2100 zł

2247 zł

4200 zł

4347 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odsetki po pierwszym roku

Bank nalicza 7% od wpłaconych 30 000 zł, a następnie dolicza odsetki do kapitału.

\[30000\cdot 0{,}07=2100\ \text{zł},\qquad 30000+2100=32100\ \text{zł}\]

2 Odsetki po drugim roku

W drugim roku podstawą naliczenia odsetek jest powiększony kapitał, czyli 32 100 zł.

\[32100\cdot 0{,}07=2247\ \text{zł}\]

3 Suma odsetek

Łączna wartość odsetek to suma kwot doliczonych po obu latach.

\[2100+2247=4347\ \text{zł}\]

Odpowiedź

4347 zł, odpowiedź D.

\[4347\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po dwóch latach na lokacie jest 34 347 zł. Różnica między tą kwotą a wpłatą wynosi 4347 zł.

\[32100+2247=34347\ \text{zł},\qquad 34347-30000=4347\ \text{zł}\]

Zadanie 4

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4\) jest równa

\((-1)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Z definicji logarytmu odczytujemy wykładniki potęg liczby 2.

\[\frac{1}{8}=2^{-3},\quad 4=2^2,\quad \log_2\frac{1}{8}=-3,\quad \log_2 4=2\]

2 Dodanie wyników

Dodajemy otrzymane wartości.

\[\log_2\frac{1}{8}+\log_2 4=-3+2=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Iloczyn argumentów logarytmów wynosi 1/2, a 2 do potęgi −1 także wynosi 1/2.

\[\frac{1}{8}\cdot 4=\frac{1}{2}=2^{-1}\]