Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 20 z 98

Sortuj:

Zadanie 20

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $KLMN$ o boku długości $4$. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź $NS$, a jej długość też jest równa $4$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$, jaki tworzą krawędzie $KS$ i $MS$, spełnia warunek

Ostrosłup o podstawie kwadratowej KLMN i wierzchołku S, z zaznaczonym kątem α między krawędziami KS i MS.

$\alpha=45^\circ$

$45^\circ<\alpha<60^\circ$

$\alpha>60^\circ$

$\alpha=60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości krawędzi bocznych

Krawędź NS jest prostopadła do podstawy, więc trójkąty KNS i MNS są prostokątne. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[KS=\sqrt{KN^2+NS^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2,\qquad MS=\sqrt{MN^2+NS^2}=4\sqrt2\]

2 Przekątna podstawy

Odcinek KM jest przekątną kwadratu o boku 4.

\[KM=\sqrt{KL^2+LM^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\]

3 Wyznaczenie kąta

Trójkąt KSM ma trzy równe boki, więc jest równoboczny. Każdy jego kąt ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: α = 60°.

\[\boxed{\alpha=60^\circ\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Obie krawędzie boczne i przekątna podstawy mają długość 4√2, więc trójkąt KSM jest równoboczny, a jego kąt przy S rzeczywiście ma 60°.

\[KS=MS=KM=4\sqrt2\]

Zadanie 22

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa $r$ i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

Półkula umieszczona na walcu; promienie i wysokość walca oznaczono literą r.

$\frac{5}{3}\pi r^3$

$\frac{4}{3}\pi r^3$

$\frac{2}{3}\pi r^3$

$\frac{1}{3}\pi r^3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Objętość walca

Promień podstawy i wysokość walca są równe $r$, więc korzystamy ze wzoru na objętość walca.

\[V_w=\pi r^2\cdot r=\pi r^3\]

2 Objętość półkuli

Półkula ma promień $r$, a jej objętość stanowi połowę objętości kuli.

\[V_p=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3\]

3 Objętość bryły

Bryła składa się z walca i półkuli, więc dodajemy ich objętości.

\[V=V_w+V_p=\pi r^3+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[V=\frac{5}{3}\pi r^3\]

Sprawdzenie

Dla $r>0$ wynik jest większy od objętości samego walca, a składniki mają jednostkę objętości, ponieważ zawierają $r^3$.

\[\frac{5}{3}\pi r^3-\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3=V_p\]

Zadanie 30

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie przyprostokątnych

Niech krótsza przyprostokątna ma długość x cm. Dłuższa ma wtedy długość (x+14) cm, przy czym x>0.

\[x>0,\qquad x+14\]

2 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[x^2+(x+14)^2=26^2\;\Longrightarrow\;x^2+14x-240=0\]

3 Wyznaczenie długości boków

Rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny wynik, ponieważ długość boku musi być dodatnia.

\[(x+24)(x-10)=0\;\Longrightarrow\;x=10\;\text{lub}\;x=-24,\qquad x=10\]

4 Obliczenie obwodu

Przyprostokątne mają długości 10 cm i 24 cm. Dodajemy długości wszystkich trzech boków.

\[10+24+26=60\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Obwód trójkąta wynosi 60 cm.

\[60\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Boki spełniają podane warunki: różnica przyprostokątnych wynosi 14 cm, a ich kwadraty sumują się do kwadratu przeciwprostokątnej.

\[24-10=14,\qquad 10^2+24^2=100+576=676=26^2\]

Zadanie 33

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich możliwości

Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99, więc jest ich 90.

\[99-10+1=90\]

2 Policzenie liczb spełniających warunki

Pierwszą dwucyfrową wielokrotnością 3 jest 12, a ostatnią mniejszą od 40 jest 39. Tworzą ciąg o różnicy 3.

\[\frac{39-12}{3}+1=10\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników i skracamy ułamek.

\[P=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/9.

\[\frac{1}{9}\]

Sprawdzenie

Liczby sprzyjające to 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 i 39. Jest ich 10; każda jest mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Ułamek 1/9 jest nieskracalny.

\[\frac{10}{90}=\frac{1}{9}\]

Zadanie 3

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczby $a$ i $c$ są dodatnie. Liczba $b$ stanowi 48% liczby $a$ oraz 32% liczby $c$. Wynika stąd, że

$c=1{,}5a$

$c=1{,}6a$

$c=0{,}8a$

$c=0{,}16a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Ta sama liczba b jest równa 48% liczby a i 32% liczby c, więc przyrównujemy oba wyrażenia.

\[b=0{,}48a=0{,}32c\]

2 Wyznaczenie c

Dzielimy równość przez dodatnią liczbę 0,32.

\[0{,}48a=0{,}32c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{0{,}48}{0{,}32}a=1{,}5a\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[c=1{,}5a\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości c jej 32% wynosi 48% liczby a, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}32c=0{,}32\cdot1{,}5a=0{,}48a=b\]

Zadanie 12

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa

$-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$

$-\frac{3}{5}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg argumentu

Wyznaczamy potęgi występujące we wzorze funkcji.

\[x=-\sqrt[3]{3}\quad\Longrightarrow\quad x^3=-3,\quad x^6=(x^3)^2=9\]

2 Podstawienie do wzoru

Podstawiamy obliczone wartości i skracamy ułamek.

\[f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{9+1}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}\]

Sprawdzenie

Mianownik wynosi 10, więc funkcja jest określona dla podanego argumentu. Ponieważ licznik wynosi −6, otrzymana wartość jest ujemna i równa −3/5.

\[\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\]

Zadanie 19

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

Dwa okręgi styczne zewnętrznie o środkach O₁ i O₂ oraz promieniach 3 i 4. Prosta przechodzi przez O₁ i jest styczna do większego okręgu w punkcie P. Zaznaczono odcinki O₁O₂ i PO₂.

$14$

$2\sqrt{33}$

$4\sqrt{33}$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość między środkami

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość między ich środkami jest sumą promieni.

\[O_1O_2=3+4=7\]

2 Długość odcinka stycznej

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przyprostokątną $O_1P$.

\[O_1P=\sqrt{O_1O_2^2-O_2P^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}\]

3 Pole trójkąta

Odcinki $O_1P$ i $O_2P$ są prostopadłe, więc pole jest połową iloczynu ich długości.

\[S=\frac12\cdot\sqrt{33}\cdot4=2\sqrt{33}\]

Odpowiedź

Pole wynosi $2\sqrt{33}$. Odpowiedź B.

\[S=2\sqrt{33}\]

Sprawdzenie

Długości przyprostokątnych spełniają twierdzenie Pitagorasa: $33+16=49=7^2$, a obliczone pole odpowiada odpowiedzi B.

\[(\sqrt{33})^2+4^2=7^2\]

Zadanie 24

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

$Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z zaznaczonym przekrojem przechodzącym przez przekątną dolnej podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Zaznaczono kąt $\alpha$ między płaszczyzną przekroju a podstawą.$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinka w podstawie

Niech d oznacza przekątną podstawy, h wysokość graniastosłupa, a O środek podstawy. W kwadracie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc odległość wierzchołka B, leżącego pod wskazanym wierzchołkiem górnej podstawy, od przekątnej zawartej w przekroju wynosi d/2.

\[OB=\frac d2,\qquad d=2h\]

2 Obliczenie kąta między płaszczyznami

Odcinek OB jest prostopadły do przekątnej podstawy. Odcinek łączący O z wierzchołkiem T górnej podstawy też jest do niej prostopadły, dlatego kąt TOB jest kątem między płaszczyzną przekroju a podstawą. W trójkącie prostokątnym OBT przyprostokątna BT ma długość h.

\[\tan\alpha=\frac{BT}{OB}=\frac{h}{d/2}=\frac{2h}{2h}=1,\qquad \alpha=45^\circ\]

Odpowiedź

B. Kąt ma miarę 45°.

\[\boxed{\alpha=45^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla d=2h odcinki OB i BT mają tę samą długość h, więc trójkąt prostokątny OBT jest równoramienny. Jego kąt przy O rzeczywiście ma 45°.

\[OB=\frac{2h}{2}=h=BT\]

Zadanie 26

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	1	2	3	4	5	6
przyrost (w cm)	10	10	7	8	8	7

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Dodajemy przyrosty z sześciu lat i dzielimy sumę przez liczbę lat.

\[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}\,\text{cm}\]

2 Zaokrąglenie

Zaokrąglamy średnią do pełnych centymetrów.

\[\frac{25}{3}\,\text{cm}\approx 8\,\text{cm}\]

3 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy wartość błędu bezwzględnego przez dokładną średnią i zapisujemy wynik w procentach.

\[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}\cdot100\%=\frac{1}{25}\cdot100\%=4\%\]

Odpowiedź

Średni roczny przyrost po zaokrągleniu wynosi 8 cm, a błąd względny tego przybliżenia wynosi 4%.

\[8\,\text{cm};\quad 4\%\]

Sprawdzenie

Przyrosty sumują się do 50 cm. Przybliżenie 8 cm różni się od dokładnej średniej o 1/3 cm, czyli o 4% tej średniej.

\[8+\frac{1}{3}=\frac{25}{3},\qquad \frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}=\frac{1}{25}=4\%\]

Zadanie 27

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $2x^2-4x>3x^2-6x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Dzięki temu porównujemy iloczyn z zerem.

\[2x^2-4x>3x^2-6x\iff -x^2+2x>0\iff x(x-2)<0\]

2 Wyznacz przedział

Iloczyn jest ujemny, gdy jego czynniki mają przeciwne znaki. Zachodzi to między miejscami zerowymi 0 i 2.

\[x(x-2)<0\iff 0<x<2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział $(0,2)$.

\[x\in(0,2)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 1 z otrzymanego przedziału iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, a na jego końcach iloczyn wynosi zero, więc końce nie należą do rozwiązania.

\[1(1-2)=-1<0;\quad x\leqslant 0\ \text{lub}\ x\geqslant 2\implies x(x-2)\geqslant 0\]

Zadanie 18.2

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\beta$ jest równy

Rysunek trójkąta prostokątnego ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD, oznaczeniami kątów α i β oraz długościami 5 i 6.

$\frac{2}{\sqrt{13}}$

$\frac{3}{\sqrt{13}}$

$\frac{5}{2\sqrt{13}}$

$\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie połowy boku AB

Ponieważ CD jest środkową, punkt D jest środkiem boku AB.

\[AD=DB=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie przyprostokątnej AC

Trójkąt ACD jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\quad AC=4\]

3 Obliczenie sinusa kąta β

W trójkącie ABC bok AC leży naprzeciw kąta β. Obliczamy przeciwprostokątną BC i korzystamy z definicji sinusa.

\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\quad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych.

\[3^2+4^2=5^2,\quad 6^2+4^2=(2\sqrt{13})^2\]

Zadanie 31

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $4$ i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej $BD$ tego trapezu.

Trapez prostokątny ABCD z podstawą AB o długości 8, przekątną AC o długości 4 i kątem 30° między AC a krótszą podstawą DC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Podstawy trapezu są równoległe, więc przekątna AC tworzy z poziomem kąt 30°. Wysokość AD jest przyprostokątną naprzeciw tego kąta.

\[AD=AC\sin 30^\circ=4\cdot\frac12=2\]

2 Obliczenie przekątnej BD

Trójkąt ABD jest prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej BD wynosi 2√17.

\[BD=2\sqrt{17}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej długości wynosi 68, czyli jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych 8 i 2. Ponadto wysokość 2 spełnia warunek 2/4 = sin 30°.

\[(2\sqrt{17})^2=68=8^2+2^2,\qquad \frac{2}{4}=\sin 30^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

59%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę $\alpha$. Wtedy

$14^\circ<\alpha<15^\circ$

$29^\circ<\alpha<30^\circ$

$60^\circ<\alpha<61^\circ$

$75^\circ<\alpha<76^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc dzielimy obwód przez cztery.

\[a=\frac{8}{4}=2\]

2 Wyznaczenie kąta

Pole rombu jest równe iloczynowi kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Ponieważ $\alpha$ jest ostry, wyznacza go jednoznacznie otrzymana wartość sinusa.

\[1=a^2\sin\alpha=4\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac14,\qquad \alpha=\arcsin\frac14\]

3 Wybór przedziału

Obliczamy przybliżenie kąta w stopniach i porównujemy je z granicami podanych przedziałów.

\[\alpha\approx14{,}4775^\circ,\qquad 14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt ostry należy do przedziału od 14° do 15°.

\[14^\circ<\alpha<15^\circ\]

Sprawdzenie

Dla boku 2 obwód wynosi 8. Dokładna wartość kąta daje pole 1, a jego przybliżenie leży między 14° i 15° oraz jest kątem ostrym.

\[4a=4\cdot2=8,\qquad P=a^2\sin\alpha=4\cdot\frac14=1\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w układzie współrzędnych $(x,y)$.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

$Układ współrzędnych z fragmentem wykresu malejącej funkcji liniowej, oznaczeniami 0 i 1 na osiach oraz podpisem $y=f(x)$.$

$a>0$ i $b>0$.

$a>0$ i $b<0$.

$a<0$ i $b>0$.

$a<0$ i $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika kierunkowego

Wykres opada, gdy przesuwamy się w prawo, więc funkcja jest malejąca, a jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak wyrazu wolnego

Wyraz wolny to wartość funkcji dla $x=0$. Wykres przecina oś $y$ powyżej zera, więc jest ona dodatnia.

\[b=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: $a<0$ i $b>0$.

\[a<0\quad\text{i}\quad b>0\]

Sprawdzenie

Ujemny współczynnik $a$ odpowiada opadaniu prostej, a dodatnie $b$ jej przecięciu z dodatnią częścią osi $y$. Obie cechy widać na rysunku.

\[a<0,\qquad f(0)=b>0\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest

$5^3$

$2\cdot 4^3$

$2\cdot 3^4$

$3^5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Jest 162 takich liczb. Odpowiedź C.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Liczb zaczynających się od 5 jest 81 i tyle samo zaczynających się od 7. Daje to łącznie 162 liczby pięciocyfrowe.

\[3^4+3^4=81+81=162\]