Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 2 z 98

Sortuj:

Zadanie 4

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował

865,00 zł

850,15 zł

1000,00 zł

977,50 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Po obniżce o 15% cena stanowi 85% ceny początkowej x.

\[0{,}85x=850\ \text{zł}\]

2 Oblicz cenę początkową

Dzielimy obie strony równania przez 0,85.

\[x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Rower kosztował przed obniżką 1000,00 zł. Odpowiedź C.

\[\boxed{1000{,}00\ \text{zł}\quad\text{C}}\]

Sprawdzenie

15% z 1000 zł to 150 zł, więc po obniżce cena wynosi 850 zł.

\[1000\ \text{zł}-0{,}15\cdot1000\ \text{zł}=850\ \text{zł}\]

Zadanie 23

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa

$576\pi$

$192\pi$

$144\pi$

$48\pi$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Promień podstawy jest połową średnicy.

\[r=\frac{12}{2}=6\]

2 Obliczenie objętości

Objętość stożka to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4=48\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 48π jednostek sześciennych. Odpowiedź D.

\[V=48\pi\]

Sprawdzenie

Pole podstawy wynosi 36π, a jedna trzecia iloczynu tego pola i wysokości 4 daje 48π.

\[\frac{1}{3}\cdot 36\pi\cdot 4=48\pi\]

Zadanie 21

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(a,6)$ oraz $B=(7,b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M=(3,4)$. Wynika stąd, że

$a=5$ i $b=5$

$a=-1$ i $b=2$

$a=4$ i $b=10$

$a=-4$ i $b=-2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych środka

Współrzędne środka odcinka są średnimi odpowiednich współrzędnych jego końców.

\[\left(\frac{a+7}{2},\frac{6+b}{2}\right)=(3,4)\]

2 Wyznaczenie niewiadomych

Porównujemy odpowiednie współrzędne i rozwiązujemy dwa równania.

\[\frac{a+7}{2}=3\Rightarrow a+7=6\Rightarrow a=-1,\qquad \frac{6+b}{2}=4\Rightarrow 6+b=8\Rightarrow b=2\]

Odpowiedź

a = −1 i b = 2, odpowiedź B.

\[a=-1,\quad b=2\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wartości środek odcinka AB ma współrzędne (3, 4), zgodne z treścią zadania.

\[\left(\frac{-1+7}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(3,4)\]

Zadanie 11

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, dane są dwa wyrazy: $a_1=7$ i $a_8=-49$. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

$-168$

$-189$

$-21$

$-42$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

W ciągu arytmetycznym suma pierwszych ośmiu wyrazów jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ósmego wyrazu.

\[S_8=\frac{8(a_1+a_8)}{2}=\frac{8(7-49)}{2}=-168\]

Odpowiedź

Suma wynosi −168. Odpowiedź A.

\[S_8=-168\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi −8, więc jego osiem wyrazów to 7, −1, −9, −17, −25, −33, −41, −49. Ich suma potwierdza wynik.

\[r=\frac{-49-7}{7}=-8,\qquad 7-1-9-17-25-33-41-49=-168\]

Zadanie 13

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{4}{5}$. Wtedy

$\cos\alpha=\frac{5}{4}$

$\cos\alpha=\frac{1}{5}$

$\cos\alpha=\frac{9}{25}$

$\cos\alpha=\frac{3}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ obliczamy kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac45\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}\]

2 Wybór dodatniego pierwiastka

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac9{25}}=\frac35\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\cos\alpha=\frac35\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a cosinus jest dodatni, jak wymagano dla kąta ostrego.

\[\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac9{25}=1\]

Zadanie 12

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq 1$, jest spełniony warunek $a_4+a_5+a_6=12$. Wtedy

$a_5=4$

$a_5=3$

$a_5=6$

$a_5=5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sąsiednich wyrazów

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o tę samą wartość r, więc wyrazy po obu stronach a₅ zapisujemy za pomocą a₅ i r.

\[a_4=a_5-r,\qquad a_6=a_5+r\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Po podstawieniu do podanego warunku różnice r się znoszą.

\[(a_5-r)+a_5+(a_5+r)=12\quad\Rightarrow\quad 3a_5=12\quad\Rightarrow\quad a_5=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a₅ = 4.

\[a_5=4\]

Sprawdzenie

Dla a₅ = 4 sąsiednie wyrazy mają postać 4 − r i 4 + r, a ich suma z a₅ wynosi 12 dla każdej różnicy r.

\[(4-r)+4+(4+r)=12\]

Zadanie 15

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy $\alpha$ ma miarę

Okrąg o środku O, średnica AB i punkt C na okręgu. Odcinki AC, OC i BC; kąt 56° przy C między CA i CO oraz kąt środkowy α między OC i OB.

$116^\circ$

$114^\circ$

$112^\circ$

$110^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta AOC

Odcinki OA i OC są promieniami, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają po 56°.

\[\angle AOC=180^\circ-56^\circ-56^\circ=68^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta α

AB jest średnicą, więc kąty AOC i COB tworzą kąt półpełny.

\[\alpha=180^\circ-68^\circ=112^\circ\]

Odpowiedź

Kąt α ma miarę 112°. Odpowiedź C.

\[\alpha=112^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty AOC i COB mają łącznie 180°, zgodnie z tym, że A, O i B leżą na jednej prostej.

\[68^\circ+112^\circ=180^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie $A$ polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa $11$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

$\frac{1}{36}$

$\frac{6}{36}$

$\frac{11}{36}$

$\frac{2}{36}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdy z dwóch rzutów ma 6 możliwych wyników. Ponieważ uwzględniamy kolejność rzutów, wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników jest 36.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Sumę 11 dają dwa wyniki: najpierw 5, potem 6 oraz najpierw 6, potem 5. Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[A=\{(5,6),(6,5)\},\qquad P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{36}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 2/36. Odpowiedź D.

\[P(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\]

Sprawdzenie

W każdym rzucie można otrzymać najwyżej 6. Aby suma wyniosła 11, jedyne możliwości to 5 i 6 w dwóch kolejnościach, więc liczba wyników sprzyjających wynosi 2.

\[5+6=11,\qquad 6+5=11\]

Zadanie 27

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

$4$

$10$

$24$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr na kolejne miejsca

Każda cyfra występuje dokładnie raz, więc po każdym wyborze zostaje o jedną cyfrę mniej.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Każda z 4 cyfr może być pierwsza. Po jej ustaleniu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, co potwierdza wynik.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]

Zadanie 12

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

$\langle-6,-3)$

$\langle-3,1\rangle$

$(1,2\rangle$

$\langle2,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5; oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5>3=f(5),\qquad x\in\langle 2,5\rangle\]

Odpowiedź

D. Funkcja jest malejąca w przedziale od 2 do 5, z oboma końcami.

\[\langle 2,5\rangle\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu od (2,5) do (5,3) ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją w całym wskazanym przedziale.

\[\frac{3-5}{5-2}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

$Układ współrzędnych z dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie $(1,1)$.$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=-2x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej malejącej

Z wykresu odczytujemy punkty $(0,2)$ i $(2,0)$. Zmiana wartości $y$ o $-2$ przy zmianie $x$ o $2$ daje współczynnik kierunkowy $-1$.

\[a=\frac{0-2}{2-0}=-1,\qquad y=-x+2\]

2 Wyznaczenie równania prostej rosnącej

Prosta przechodzi przez punkty $(0,-1)$ i $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $2$.

\[a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2,\qquad y=2x-1\]

3 Wybór układu

Oba odczytane równania występują razem w odpowiedzi D.

\[\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Dla x=1 oba równania dają y=1, zgodnie z punktem przecięcia prostych na rysunku.

\[-1+2=1,\qquad 2\cdot1-1=1\]

Zadanie 16

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg $(27,\ 9,\ a-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

$3$

$0$

$4$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

\[q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu ciągu.

\[a-1=9\cdot\frac{1}{3}=3,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 4. Odpowiedź C.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla a = 4 ciąg ma postać (27, 9, 3). Ilorazy są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 19

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $6\sqrt{3}$. Pole tego trójkąta jest równe

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$27\sqrt{3}$

$36\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

W trójkącie równobocznym wysokość ma długość połowy boku pomnożonej przez pierwiastek z trzech, więc wyznaczamy bok z podanej wysokości.

\[h=\frac{a\sqrt{3}}{2},\quad 6\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2},\quad a=12\]

2 Obliczenie pola

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{ah}{2}=\frac{12\cdot6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 36√3. Odpowiedź D.

\[P=36\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla boku 12 wysokość wynosi 6√3, zgodnie z treścią zadania. Pole jest dodatnie i odpowiada odpowiedzi D.

\[\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\]

Zadanie 28

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: $2x, 4, 6, 8, 11, 13$, jest równa $5$. Wynika stąd, że

$x=-1$

$x=7$

$x=-6$

$x=6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Średnia sześciu liczb to ich suma podzielona przez 6. Suma liczb stałych wynosi 42.

\[\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5\quad\Longrightarrow\quad\frac{2x+42}{6}=5\]

2 Oblicz x

Mnożymy obie strony przez 6, a następnie odejmujemy 42 i dzielimy przez 2.

\[2x+42=30\quad\Longrightarrow\quad 2x=-12\quad\Longrightarrow\quad x=-6\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, x = −6.

\[x=-6\]

Sprawdzenie

Dla x = −6 suma sześciu liczb wynosi 30, więc ich średnia rzeczywiście wynosi 5.

\[\frac{2\cdot(-6)+4+6+8+11+13}{6}=\frac{30}{6}=5\]

Zadanie 16

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość

Dwa podobne trójkąty. W trójkącie ABC bok AB oznaczono x, bok BC ma długość 9, kąt A ma 70°, a kąt B ma 48°. W trójkącie PQR bok QR ma długość 18, bok QP ma długość 17, kąt P ma 70°, a kąt R ma 62°.

$8$

$8{,}5$

$9{,}5$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie odpowiadających boków

W trójkącie ABC kąt C ma 62°, a w trójkącie PQR kąt Q ma 48°. Zatem w podobnych trójkątach A odpowiada P, B odpowiada Q, a C odpowiada R. Bokowi BC odpowiada QR, a bokowi AB odpowiada PQ.

\[\angle C=180^\circ-70^\circ-48^\circ=62^\circ,\qquad \angle Q=180^\circ-70^\circ-62^\circ=48^\circ\]

2 Obliczenie boku AB

Stosunek odpowiadających boków jest stały. Ponieważ BC ma długość 9, a QR długość 18, mniejszy trójkąt ma boki dwa razy krótsze.

\[\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{9}{18}=\frac12,\qquad AB=\frac12\cdot17=8{,}5\]

Odpowiedź

Bok AB ma długość 8,5. Odpowiedź B.

\[AB=8{,}5\]

Sprawdzenie

Otrzymana długość zachowuje skalę podobieństwa: stosunek AB do PQ wynosi tyle samo co stosunek BC do QR.

\[\frac{8{,}5}{17}=\frac12=\frac9{18}\]