Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 19 z 70

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(AB\), na którym jest oparty kąt wpisany \(ACB\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(ACB\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem wpisanym ACB.

\(18^\circ\)

\(30^\circ\)

\(36^\circ\)

\(72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie miary łuku

Cały okrąg ma miarę \(360^\circ\), więc łuk stanowiący \(\frac{1}{5}\) okręgu ma miarę:

\[\frac{1}{5}\cdot 360^\circ=72^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary łuku, na którym jest oparty.

\[\angle ACB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ\]

Odpowiedź

Kąt \(ACB\) ma miarę \(36^\circ\). Odpowiedź C.

\[\angle ACB=36^\circ\]

Sprawdzenie

Podwojenie otrzymanej miary kąta daje \(72^\circ\), czyli \(\frac{1}{5}\) pełnego kąta. Wynik jest kątem ostrym.

\[2\cdot36^\circ=72^\circ=\frac{1}{5}\cdot360^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość równą 12. Punkt \(S\) jest środkiem boku \(BC\) tego kwadratu. Na odcinku \(AS\) leży punkt \(P\) taki, że odcinek \(BP\) jest prostopadły do odcinka \(AS\).

Oblicz długość odcinka \(BP\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości BS

Punkt S jest środkiem boku BC, więc dzieli bok długości 12 na połowy.

\[BS=\frac{12}{2}=6\]

2 Obliczenie długości AS

Trójkąt ABS jest prostokątny w B, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AS=\sqrt{AB^2+BS^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}\]

3 Obliczenie długości BP

Pole trójkąta ABS liczymy na dwa sposoby. Odcinek BP jest wysokością opuszczoną na AS.

\[\frac{AB\cdot BS}{2}=\frac{AS\cdot BP}{2},\qquad BP=\frac{12\cdot6}{6\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Odpowiedź

Długość odcinka BP wynosi \(\frac{12\sqrt{5}}{5}\).

\[BP=\frac{12\sqrt{5}}{5}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości pole obliczone z podstawy AS jest równe polu obliczonemu z przyprostokątnych AB i BS: oba wynoszą 36.

\[\frac{6\sqrt{5}\cdot\frac{12\sqrt{5}}{5}}{2}=36=\frac{12\cdot6}{2}\]

Zadanie 23.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \[(x-1)^2+(y+2)^2=5.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu \(\mathcal{O}\) należy punkt o współrzędnych \((-1,-3)\).	P	F
Promień okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy 5.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie punktu

Podstawiamy współrzędne punktu do równania okręgu. Otrzymujemy prawdziwą równość, więc punkt należy do okręgu.

\[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5\]

2 Wyznaczenie promienia

W równaniu okręgu prawa strona jest kwadratem promienia, a promień jest dodatni.

\[r^2=5\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{5}\neq 5\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\boxed{\mathrm{P},\ \mathrm{F}}\]

Sprawdzenie

Odległość punktu od środka (1,−2) wynosi √5, czyli dokładnie tyle, ile promień. Gdyby promień wynosił 5, jego kwadrat wynosiłby 25, a nie 5.

\[\sqrt{(-1-1)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{5},\qquad 5^2=25\neq 5\]

Zadanie 23.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu

\[(x-1)^2+(y+2)^2=5\]

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem

\((x-1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y+2)^2=5\)

\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka i promienia

Z postaci równania okręgu odczytujemy jego środek i promień.

\[S=(1,-2),\qquad r=\sqrt{5}\]

2 Odbicie okręgu

Symetria środkowa względem początku zmienia znaki obu współrzędnych środka, a promień pozostawia bez zmian.

\[S'=(-1,2),\qquad (x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[(x+1)^2+(y-2)^2=5\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) należy do okręgu wyjściowego. Jego obraz (−2,0) spełnia otrzymane równanie.

\[(2-1)^2+(0+2)^2=5,\qquad (-2+1)^2+(0-2)^2=5\]

Zadanie 24

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek symetralnej

Punkt P leży na osi Ox, więc ma postać (p,0). Jako punkt symetralnej odcinka AB jest równo odległy od A i B.

\[P=(p,0),\qquad PA^2=PB^2\]

2 Współrzędne punktu P

Podstawiamy współrzędne do wzoru na kwadrat odległości i rozwiązujemy równanie.

\[(p-2)^2+8^2=(p-10)^2+2^2\quad\Longrightarrow\quad p^2-4p+68=p^2-20p+104\quad\Longrightarrow\quad 16p=36\quad\Longrightarrow\quad p=\frac94\]

3 Długość odcinka AP

Stosujemy wzór na odległość punktów i upraszczamy pierwiastek.

\[AP=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{\sqrt{1025}}4=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Odpowiedź

Punkt P ma współrzędne (9/4, 0), a długość odcinka AP wynosi 5√41/4.

\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad AP=\frac{5\sqrt{41}}4\]

Sprawdzenie

P leży na osi Ox. Obliczenie odległości od B daje ten sam wynik co od A, więc P należy do symetralnej AB.

\[PB^2=\left(\frac94-10\right)^2+(0-2)^2=\frac{961}{16}+4=\frac{1025}{16}=PA^2\]

Zadanie 25

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

\(2025\)

\(2026\)

\(4048\)

\(4052\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczbę boków podstawy

Każdej ścianie bocznej odpowiada jeden bok podstawy, więc podstawa ma 2024 boki i 2024 wierzchołki.

\[n=2024\]

2 Policz krawędzie

Ostrosłup ma po jednej krawędzi podstawy na każdy jej bok oraz po jednej krawędzi bocznej na każdy jej wierzchołek.

\[n+n=2\cdot2024=4048\]

Odpowiedź

C. Liczba wszystkich krawędzi wynosi 4048.

\[4048\]

Sprawdzenie

Podstawa ma 2024 krawędzie, a z jej 2024 wierzchołków biegnie po jednej krawędzi do wierzchołka ostrosłupa. Razem daje to 4048 krawędzi.

\[2024+2024=4048\]

Zadanie 26

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\sqrt{2}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

\(8\)

\(24\)

\(\frac{16\sqrt{6}}{9}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie krawędzi

Ściana sześcianu jest kwadratem, więc z twierdzenia Pitagorasa jej przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\).

\[a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Obliczenie objętości

Objętość sześcianu to sześcian długości jego krawędzi.

\[V=a^3=2^3=8\]

Odpowiedź

Objętość wynosi 8. Odpowiedź A.

\[V=8\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości 2 przekątna ściany ma długość \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

Zadanie 27

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(4\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg}\alpha=2\) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z bokami podstawy oznaczonymi 4, zaznaczoną przekątną graniastosłupa, jej rzutem na podstawę i kątem α między nimi.

\(2\)

\(8\)

\(8\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu. Obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

\[d=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\]

2 Wysokość graniastosłupa

Kąt między przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę ma miarę \(\alpha\). W powstałym trójkącie prostokątnym tangens jest ilorazem wysokości i przekątnej podstawy.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{d}=2\quad\Rightarrow\quad h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość graniastosłupa wynosi \(8\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[h=8\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Iloraz obliczonej wysokości i przekątnej podstawy wynosi \(2\), zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2=\operatorname{tg}\alpha\]

Zadanie 28

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 10. Słupki dla ocen 1, 2, 3, 4, 5 i 6 mają wysokości odpowiednio 2, 9, 5, 3, 5 i 1.

\(3\)

\(3{,}12\)

\(3{,}5\)

\(4{,}1(6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby uczniów

Z diagramu odczytujemy, ilu uczniów otrzymało każdą ocenę, i sumujemy te liczby.

\[N=2+9+5+3+5+1=25\]

2 Obliczenie średniej

Każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali. Sumę tych iloczynów dzielimy przez liczbę wszystkich uczniów.

\[\overline{x}=\frac{1\cdot2+2\cdot9+3\cdot5+4\cdot3+5\cdot5+6\cdot1}{25}=\frac{78}{25}=3{,}12\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 3,12. Odpowiedź B.

\[\overline{x}=3{,}12\]

Sprawdzenie

Iloczyn otrzymanej średniej i liczby uczniów wynosi 78, tyle samo co suma wszystkich ocen.

\[3{,}12\cdot25=78\]

Zadanie 29

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest

\(16\)

\(27\)

\(54\)

\(81\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór ostatniej cyfry

Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta. Spośród podanych cyfr są to 2 i 4.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z trzech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 2, 4 lub 7. Żadna z tych cyfr nie jest zerem, więc każda otrzymana liczba jest czterocyfrowa.

\[3\cdot3\cdot3\cdot2=54\]

Odpowiedź

54 liczby, odpowiedź C.

\[54\]

Sprawdzenie

Wszystkich zapisów z podanych cyfr jest 81. Spośród nich 27 kończy się cyfrą 7, więc jest nieparzystych. Pozostałe 54 spełniają warunek.

\[3^4-3^3=81-27=54\]

Zadanie 30

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest \(18\). Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe \(\frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

\(9\)

\(12\)

\(15\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby wszystkich kul

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli to liczba kul czarnych podzielona przez liczbę wszystkich kul. Oznaczamy liczbę wszystkich kul przez N.

\[\frac{18}{N}=\frac{3}{5},\qquad 3N=90,\qquad N=30\]

2 Obliczenie liczby kul białych

W pudełku są tylko kule czarne i białe, więc od liczby wszystkich kul odejmujemy 18 kul czarnych.

\[30-18=12\]

Odpowiedź

W pudełku było 12 kul białych. Odpowiedź B.

\[12\]

Sprawdzenie

Przy 12 kulach białych wszystkich kul jest 30, a prawdopodobieństwo wylosowania czarnej wynosi zgodnie z treścią 3/5.

\[\frac{18}{18+12}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\]

Zadanie 31

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie wyniki

W każdym rzucie jest 6 możliwości, więc liczba jednakowo prawdopodobnych uporządkowanych wyników wynosi:

\[6\cdot 6=36\]

2 Policz wyniki sprzyjające

Gdy w pierwszym rzucie wypadnie kolejno 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek, liczba mniejszych wyników drugiego rzutu wynosi odpowiednio 0, 1, 2, 3, 4 lub 5.

\[|A|=0+1+2+3+4+5=15\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/12.

\[P(A)=\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

Jest 6 remisów i 15 wyników, w których pierwszy rzut jest mniejszy od drugiego. Łącznie daje to 15 + 6 + 15 = 36 wyników, więc rachunek obejmuje wszystkie możliwości.

\[15+6+15=36\]

Zadanie 32.1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie kwadratu

Przekształcamy wzór, aby ustalić, kiedy przychód osiąga największą wartość.

\[P(x)=(70-x)(20+x)=1400+50x-x^2=2025-(x-25)^2\]

2 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc przychód jest największy, gdy kwadrat jest równy zeru. Wartość 25 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60.

\[(x-25)^2=0\iff x=25\]

Odpowiedź

Liczba x jest równa 25, czyli obniżka wynosi 25 zł. Odpowiedź A.

\[x=25,\quad P_{\max}=2025\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla x=25 przychód wynosi 2025 zł. Każda inna dopuszczalna wartość x daje dodatni kwadrat, więc przychód jest mniejszy.

\[P(25)=(70-25)(20+25)=2025,\qquad x\ne25\implies P(x)=2025-(x-25)^2<2025\]

Zadanie 32.2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte

Równania i nierówności

\[P(x)=(70-x)(20+x)\]

gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq 0\) i \(x\leq 60\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w pustą komórkę właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

32.2.	Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy \(800\) zł, gdy liczba \(x\) jest równa

\(25\)

\(30\)

\(45\)

\(50\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Szukamy obniżki, przy której dzienny przychód wynosi 800 zł.

\[(70-x)(20+x)=800\]

2 Rozwiąż równanie

Rozwijamy iloczyn i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[1400+50x-x^2=800\iff x^2-50x-600=0\iff(x-60)(x+10)=0\iff x=60\ \text{lub}\ x=-10\]

3 Uwzględnij warunek

Obniżka musi być liczbą całkowitą od 0 do 60, więc odrzucamy wartość ujemną.

\[x=60\]

Odpowiedź

Obniżka wynosi 60 zł. Odpowiedź E.

\[x=60\ \text{zł}\quad(\mathrm{E})\]

Sprawdzenie

Liczba 60 jest całkowita i należy do przedziału od 0 do 60. Po podstawieniu przychód wynosi 800 zł.

\[P(60)=(70-60)(20+60)=10\cdot80=800\ \text{zł}\]

Zadanie 1

Matura 2024 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

\((-16)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 32 jako potęgę 2

Dzięki temu można zastosować wzór na potęgę potęgi.

\[32^{\frac{3}{5}}=(2^5)^{\frac{3}{5}}=2^3=8\]

2 Oblicz iloczyn

Potęga o wykładniku −1 jest odwrotnością podstawy.

\[2^{-1}\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 8=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź D.

\[4\]

Sprawdzenie

Liczba 8 podniesiona do potęgi piątej daje 32 do potęgi trzeciej, więc obliczona wartość potęgi jest poprawna; jej połowa wynosi 4.

\[8^5=32^3,\qquad \frac{8}{2}=4\]