Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 19 z 98

Sortuj:

Zadanie 10

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=2x+b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x)=-3x+4$. Stąd wynika, że

$b=4$

$b=-\frac{3}{2}$

$b=-\frac{8}{3}$

$b=\frac{4}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Przyrównujemy wartość funkcji g do zera, ponieważ szukamy jej miejsca zerowego.

\[-3x+4=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}\]

2 Obliczenie b

Funkcja f ma to samo miejsce zerowe, więc podstawiamy do niej $x=\frac{4}{3}$ i przyrównujemy wynik do zera.

\[2\cdot\frac{4}{3}+b=0\quad\Rightarrow\quad b=-\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: $b=-\frac{8}{3}$.

\[b=-\frac{8}{3}\]

Sprawdzenie

Dla $x=\frac{4}{3}$ obie funkcje przyjmują wartość zero.

\[g\left(\frac{4}{3}\right)=-3\cdot\frac{4}{3}+4=0,\qquad f\left(\frac{4}{3}\right)=2\cdot\frac{4}{3}-\frac{8}{3}=0\]

Zadanie 24

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(0,0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(2,4)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

$(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$

$(x-2)^2+(y-4)^2=20$

$(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$

$(x+2)^2+(y+4)^2=20$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu promienia

Punkt P leży na okręgu, więc jego odległość od środka S jest promieniem.

\[r^2=(0-2)^2+(0-4)^2=4+16=20\]

2 Zapisanie równania okręgu

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do wzoru na równanie okręgu.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[(x-2)^2+(y-4)^2=20\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu współrzędnych punktu P lewa strona wynosi 20, więc punkt P leży na otrzymanym okręgu.

\[(0-2)^2+(0-4)^2=20\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte2 pkt

Trygonometria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=-3$ oraz $90^\circ<\alpha<180^\circ$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ .

Układ współrzędnych z osiami x i y, siatką, zaznaczonym kątem α oraz jego ramieniem w drugiej ćwiartce.

$\sin\alpha<0$

$\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$

$\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0$

$\cos\alpha>0$

$\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha$

$\sin\alpha=-3\cos\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znaki funkcji

Kąt leży w II ćwiartce, więc sinus jest dodatni, a cosinus ujemny. Ich iloczyn jest zatem ujemny — pasuje odpowiedź B.

\[90^\circ<\alpha<180^\circ\ \Longrightarrow\ \sin\alpha>0,\quad\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

2 Skorzystaj z definicji tangensa

Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa. Po pomnożeniu równości przez cosinus otrzymujemy zależność z odpowiedzi F.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Odpowiedź

Prawidłowe odpowiedzi: B i F.

\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0,\qquad\sin\alpha=-3\cos\alpha\]

Sprawdzenie

W II ćwiartce cosinus jest ujemny, więc z zależności F sinus jest dodatni. Stąd iloczyn sinusa i cosinusa rzeczywiście jest ujemny.

\[\cos\alpha<0\ \Longrightarrow\ -3\cos\alpha>0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\]

Zadanie 21

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $A=(-2,6)$ oraz $B=(3,b)$ leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy $b$ jest równe

$9$

$(-9)$

$(-4)$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika prostej

Prosta przechodzi przez początek układu, więc ma równanie $y=ax$. Podstawiamy współrzędne punktu $A$, aby obliczyć $a$.

\[6=a\cdot(-2)\quad\Rightarrow\quad a=-3\]

2 Obliczenie wartości b

Punkt $B$ leży na tej samej prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie $y=-3x$.

\[b=-3\cdot3=-9\]

Odpowiedź

$b=-9$, odpowiedź B.

\[b=-9\]

Sprawdzenie

Dla $A$ mamy $6=-3\cdot(-2)$, a dla $B$ mamy $-9=-3\cdot3$. Oba punkty leżą więc na prostej $y=-3x$, która przechodzi przez początek układu.

\[6=-3\cdot(-2),\qquad -9=-3\cdot3\]

Zadanie 11

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do wykresu funkcji $f$ określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=3^x-2$ należy punkt o współrzędnych

$(-1,-5)$

$(0,-2)$

$(0,-1)$

$(2,4)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przynależności do wykresu

Punkt należy do wykresu, gdy jego druga współrzędna jest równa wartości funkcji dla pierwszej współrzędnej.

\[y=f(x)=3^x-2\]

2 Obliczenie wartości dla x=0

Dwie odpowiedzi mają pierwszą współrzędną równą 0, więc obliczamy wartość funkcji w tym punkcie.

\[f(0)=3^0-2=1-2=-1\]

Odpowiedź

Do wykresu należy punkt (0, −1), czyli odpowiedź C.

\[(0,-1)\]

Sprawdzenie

Dla pozostałych pierwszych współrzędnych otrzymujemy inne wartości niż podane w odpowiedziach A i D; odpowiedź B ma błędną drugą współrzędną.

\[f(-1)=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\ne-5,\quad f(0)=-1\ne-2,\quad f(2)=9-2=7\ne4\]

Zadanie 14

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(b_n)$ jest określony wzorem $b_n=3n^2-25n$ dla każdej liczby naturalnej $n\geqslant 1$. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu $(b_n)$ jest równa

$14$

$13$

$9$

$8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunku

Wyraz jest niedodatni, gdy jego wartość jest mniejsza lub równa zeru. Rozkładamy wzór na czynniki.

\[b_n=3n^2-25n=n(3n-25)\leqslant 0\]

2 Wyznaczenie indeksów

Ponieważ $n\geqslant 1$, czynnik $n$ jest dodatni. Iloczyn jest więc niedodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest niedodatni.

\[3n-25\leqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad n\leqslant\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\]

3 Policzenie wyrazów

Naturalne indeksy spełniające warunek to liczby od 1 do 8, czyli osiem indeksów.

\[n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]

Odpowiedź

Liczba niedodatnich wyrazów wynosi 8. Odpowiedź D.

\[8\]

Sprawdzenie

Dla ostatniego uwzględnionego indeksu wyraz jest ujemny, a dla następnego dodatni. Ponieważ znak wyrazu przy dodatnim indeksie zależy od rosnącego wyrażenia $3n-25$, granica została wyznaczona poprawnie.

\[b_8=8(24-25)=-8\leqslant 0,\qquad b_9=9(27-25)=18>0\]

Zadanie 24

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole figury $F_1$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach $1$ i $3$ jest równe polu figury $F_2$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości $r$ (zobacz rysunek).

Długość $r$ promienia jest równa

Figura F₁: dwa koła styczne zewnętrznie o promieniach 1 i 3.

Figura F₂: dwa koła styczne zewnętrznie, każde o promieniu r.

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola figury F₁

Koła są styczne zewnętrznie, więc ich pola się sumują.

\[P_{F_1}=\pi\cdot1^2+\pi\cdot3^2=10\pi\]

2 Porównanie pól

Figura F₂ składa się z dwóch kół o promieniu r. Przyrównujemy jej pole do pola figury F₁.

\[2\pi r^2=10\pi\quad\Longrightarrow\quad r^2=5\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Promień ma długość √5. Odpowiedź C.

\[r=\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Dla r = √5 pole figury F₂ wynosi 2π·5 = 10π, czyli tyle samo co pole figury F₁. Promień jest dodatni.

\[P_{F_2}=2\pi(\sqrt{5})^2=10\pi=P_{F_1}\]

Zadanie 27

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od $700$, w których każda cyfra należy do zbioru $\{1,2,3,7,8,9\}$ i żadna cyfra się nie powtarza, jest

$108$

$60$

$40$

$299$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry setek

Aby liczba była większa od 700, cyfrą setek musi być 7, 8 lub 9. Są więc 3 możliwości.

\[3\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry nie mogą się powtarzać, więc na miejscu dziesiątek można wybrać jedną z 5 pozostałych cyfr, a na miejscu jedności jedną z 4.

\[3\cdot5\cdot4=60\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 60. Odpowiedź B.

\[60\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr setek jest 5·4=20 liczb; łącznie daje to 3·20=60. Żadna użyta cyfra się nie powtarza.

\[3\cdot(5\cdot4)=60\]

Zadanie 2

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}$ jest równa

$6^{70}$

$6^{45}$

$2^{30}\cdot 3^{20}$

$2^{10}\cdot 3^{20}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład mianownika

Zapisujemy 36 jako iloczyn potęg liczb 2 i 3, aby móc skrócić potęgi o tych samych podstawach.

\[36^{10}=(2^2\cdot 3^2)^{10}=2^{20}\cdot 3^{20}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{2^{20}\cdot 3^{20}}=2^{50-20}\cdot 3^{40-20}=2^{30}\cdot 3^{20}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[2^{30}\cdot 3^{20}\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu otrzymanego wyniku przez mianownik odzyskujemy licznik.

\[(2^{30}\cdot 3^{20})\cdot 36^{10}=2^{30}\cdot 3^{20}\cdot 2^{20}\cdot 3^{20}=2^{50}\cdot 3^{40}\]

Zadanie 11

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=ax+b$.

Współczynniki $a$ oraz $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają zależność

Układ współrzędnych z fragmentem malejącej prostej oraz oznaczeniami osi i wartości.

$a+b>0$

$a+b=0$

$a\cdot b>0$

$a\cdot b<0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt współczynnika b

Wartość b to punkt przecięcia wykresu z osią y. Z rysunku odczytujemy b=1.

\[b=f(0)=1\]

2 Odczyt znaku współczynnika a

Prosta jest malejąca, więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Ponieważ b jest dodatnie, iloczyn a i b jest ujemny.

\[a<0,\quad b>0\quad\Longrightarrow\quad a\cdot b<0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a·b<0.

\[a\cdot b<0\]

Sprawdzenie

Z wykresu można odczytać punkty (0,1) i (1,−1). Dają one a=−2 oraz b=1, zatem a·b=−2<0.

\[a=\frac{-1-1}{1-0}=-2,\qquad a\cdot b=(-2)\cdot1=-2<0\]

Zadanie 15

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

$10,\ 15,\ 20$

$20,\ 45,\ 80$

$\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4}$

$\sqrt{5},\ 2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie proporcji boków

W trójkątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Dzielimy długości danych boków przez wspólny czynnik.

\[2\sqrt{5}:3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=2:3:4\]

2 Wybór odpowiedzi

Boki w odpowiedzi A mają tę samą proporcję.

\[10:15:20=2:3:4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: boki mają długości 10, 15, 20.

\[(10,15,20)\]

Sprawdzenie

Każdy bok w odpowiedzi A jest √5 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku danego trójkąta. Ponadto 10+15>20, więc te długości tworzą trójkąt.

\[\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{15}{3\sqrt{5}}=\frac{20}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5},\qquad 10+15>20\]

Zadanie 10

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, której miejsca zerowe to: $-3$ i $1$.

Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

$Fragment wykresu paraboli z wierzchołkiem oznaczonym $W=(-1,4)$, miejscami zerowymi $-3$ i $1$ oraz przecięciem osi $y$ w punkcie $3$.$

$1$

$2$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współczynnika

Po podstawieniu $x=0$ do wzoru funkcji otrzymujemy $c$. Z wykresu odczytujemy, że parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,3)$.

\[f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c=3\]

Odpowiedź

Współczynnik c jest równy 3. Odpowiedź C.

\[c=3\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję w postaci iloczynowej. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne $(-1,4)$, obliczamy $a=-1$, a następnie ponownie otrzymujemy $f(0)=3$.

\[f(x)=a(x+3)(x-1),\quad 4=f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a,\quad a=-1,\quad f(0)=(-1)\cdot3\cdot(-1)=3\]

Zadanie 8

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-2)$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

$\frac{x+2}{4x+4}$

$\frac{x+1}{4x+5}$

$\frac{x+1}{x+2}$

$\frac{2x}{x+2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż na czynniki

Rozkład licznika i mianownika pozwala wskazać wspólne czynniki.

\[\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}\]

2 Skróć ułamki

Ponieważ x≠0 i x≠−2, można skrócić czynniki x oraz x+2.

\[\frac{x(x+1)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x+1}{x+2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{x+1}{x+2}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości x=1 wyrażenie początkowe i otrzymany ułamek mają wartość 2/3. Skracanie jest poprawne w całej podanej dziedzinie, a mianownik otrzymanego ułamka jest w niej różny od zera.

\[\frac{1^2+1}{1^2+4\cdot1+4}\cdot\frac{1+2}{1}=\frac{2}{3}=\frac{1+1}{1+2}\]

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ$ jest równa

$\cos 20^\circ$

$\sin 20^\circ$

$\operatorname{tg}20^\circ$

$\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje sinus tego samego kąta, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta wynosi 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $\sin 20^\circ$.

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu $\sin 20^\circ$ przez $\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1$ otrzymujemy wyjściową sumę, więc uproszczenie jest poprawne.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 4

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

60%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o $10\%$ w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa $78\ 732$ zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do $1$ zł, równa

$98\ 732$ zł

$97\ 200$ zł

$95\ 266$ zł

$94\ 478$ zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka o 10% pozostawia 90% aktualnej ceny, więc cenę początkową mnożymy dwukrotnie przez 0,9.

\[0{,}9\cdot 0{,}9x=78\,732\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Dzielimy przez 0,81, aby wyznaczyć cenę przed obniżkami.

\[x=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Cena początkowa wynosiła 97 200 zł. Odpowiedź B.

\[\boxed{97\,200\ \text{zł}}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 87 480 zł, a po drugiej 78 732 zł, zgodnie z treścią zadania. Wynik jest dokładny, więc zaokrąglenie do 1 zł go nie zmienia.

\[97\,200\cdot 0{,}9=87\,480,\qquad 87\,480\cdot 0{,}9=78\,732\]