Zamknięte1 pkt
Planimetria
61%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach \(1\) i \(3\) jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).
Długość \(r\) promienia jest równa
A
\(\sqrt{3}\)
B
\(2\)
C
\(\sqrt{5}\)
D
\(3\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie pola figury F₁
Koła są styczne zewnętrznie, więc ich pola się sumują.
\[P_{F_1}=\pi\cdot1^2+\pi\cdot3^2=10\pi\]
2 Porównanie pól
Figura F₂ składa się z dwóch kół o promieniu r. Przyrównujemy jej pole do pola figury F₁.
\[2\pi r^2=10\pi\quad\Longrightarrow\quad r^2=5\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{5}\]
Odpowiedź
Promień ma długość √5. Odpowiedź C.
\[r=\sqrt{5}\]
Sprawdzenie
Dla r = √5 pole figury F₂ wynosi 2π·5 = 10π, czyli tyle samo co pole figury F₁. Promień jest dodatni.
\[P_{F_2}=2\pi(\sqrt{5})^2=10\pi=P_{F_1}\]