Zamknięte1 pkt
Równania i nierówności
62%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W każdym \(n\)-kącie wypukłym (\(n\geq 3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest
A
siedmiokąt.
B
dziesięciokąt.
C
dwunastokąt.
D
piętnastokąt.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ułożenie równania
Liczba boków wynosi \(n\), więc liczba przekątnych większa o 25 to \(n+25\). Przyrównujemy ją do podanego wzoru.
\[\frac{n(n-3)}{2}=n+25\]
2 Rozwiązanie równania
Mnożymy obie strony przez 2 i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy wynik ujemny, ponieważ \(n\geq 3\).
\[n^2-3n=2n+50\;\Longrightarrow\;n^2-5n-50=0\;\Longrightarrow\;(n-10)(n+5)=0\;\Longrightarrow\;n=10\]
Odpowiedź
B — dziesięciokąt.
\[n=10\]
Sprawdzenie
Dziesięciokąt ma 35 przekątnych i 10 boków; różnica wynosi 25.
\[\frac{10(10-3)}{2}-10=35-10=25\]