Zamknięte1 pkt
Ciągi
61%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa
A
\(14\)
B
\(13\)
C
\(9\)
D
\(8\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie warunku
Wyraz jest niedodatni, gdy jego wartość jest mniejsza lub równa zeru. Rozkładamy wzór na czynniki.
\[b_n=3n^2-25n=n(3n-25)\leqslant 0\]
2 Wyznaczenie indeksów
Ponieważ \(n\geqslant 1\), czynnik \(n\) jest dodatni. Iloczyn jest więc niedodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest niedodatni.
\[3n-25\leqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad n\leqslant\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\]
3 Policzenie wyrazów
Naturalne indeksy spełniające warunek to liczby od 1 do 8, czyli osiem indeksów.
\[n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]
Odpowiedź
Liczba niedodatnich wyrazów wynosi 8. Odpowiedź D.
\[8\]
Sprawdzenie
Dla ostatniego uwzględnionego indeksu wyraz jest ujemny, a dla następnego dodatni. Ponieważ znak wyrazu przy dodatnim indeksie zależy od rosnącego wyrażenia \(3n-25\), granica została wyznaczona poprawnie.
\[b_8=8(24-25)=-8\leqslant 0,\qquad b_9=9(27-25)=18>0\]