Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 17 z 70

Sortuj:

Zadanie 28

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równań

Oznaczmy przez \(A\) i \(B\) kwoty przyznane zespołom, w złotych. Ich suma to cały budżet, a suma wykorzystanych części to 146 700 zł.

\[\begin{cases}A+B=1\,200\,000,\\0{,}13A+0{,}11B=146\,700.\end{cases}\]

2 Wyznaczenie kwoty dla zespołu A

Podstawiamy \(B=1\,200\,000-A\) do drugiego równania i rozwiązujemy je.

\[0{,}13A+0{,}11(1\,200\,000-A)=146\,700\;\Longrightarrow\;0{,}02A=14\,700\;\Longrightarrow\;A=735\,000.\]

Odpowiedź

Zespołowi A przyznano 735 000 zł.

\[A=735\,000\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Zespołowi B przypada 465 000 zł. Kwoty sumują się do 1 200 000 zł, a wykorzystane przez zespoły środki do 146 700 zł.

\[735\,000+465\,000=1\,200\,000,\qquad 0{,}13\cdot735\,000+0{,}11\cdot465\,000=95\,550+51\,150=146\,700.\]

Zadanie 29

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trzywyrazowy ciąg

\((2m+11,\;m^2+3,\;5-m)\)

jest arytmetyczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc układamy równanie.

\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\]

2 Rozwiązanie równania

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[2m^2-m-10=0\iff(2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny dla \(m=-2\) lub \(m=\frac52\).

\[m\in\left\{-2,\frac52\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-2\) otrzymujemy \((7,7,7)\). Dla \(m=\frac52\) oba kolejne wyrazy różnią się o \(-\frac{27}{4}\), więc obie wartości spełniają warunek.

\[\frac{37}{4}-16=-\frac{27}{4},\qquad \frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}\]

Zadanie 30

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy.

Diagram słupkowy. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Liczba uczniów dla kolejnych ocen: 1, 3, 4, 4, 5, 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt liczby uczniów

Z diagramu odczytujemy, ilu uczniów otrzymało każdą ocenę. Suma liczebności zgadza się z liczbą uczniów w klasie.

\[1+3+4+4+5+7=24\]

2 Średnia arytmetyczna

Mnożymy każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją otrzymali, a sumę dzielimy przez 24.

\[\overline{x}=\frac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot4+5\cdot5+6\cdot7}{24}=\frac{102}{24}=\frac{17}{4}=4{,}25\]

3 Mediana

Przy 24 ocenach mediana jest średnią 12. i 13. oceny w kolejności rosnącej. Oceny od 1 do 4 zajmują łącznie 12 miejsc, więc 12. oceną jest 4, a 13. jest 5.

\[1+3+4+4=12,\qquad M=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5\]

Odpowiedź

Średnia arytmetyczna ocen wynosi 4,25, a mediana 4,5.

\[\overline{x}=4{,}25,\qquad M=4{,}5\]

Sprawdzenie

Liczebności sumują się do 24. W uporządkowanym zestawie 12 ocen jest nie większych niż 4, a kolejnych 12 jest nie mniejszych niż 5; potwierdza to wybór środkowych ocen 4 i 5.

\[1+3+4+4=12,\qquad 5+7=12\]

Zadanie 31

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dane są dwa zbiory: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{2,4,6,8\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma \(x+y\) wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez \(3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Każdej z 5 liczb ze zbioru X można przyporządkować każdą z 4 liczb ze zbioru Y. Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

\[|\Omega|=5\cdot4=20\]

2 Liczba par sprzyjających

Suma jest podzielna przez 3, gdy reszty z dzielenia składników przez 3 wynoszą odpowiednio 0 i 0, 1 i 2 albo 2 i 1. Mnożymy liczby możliwości w każdej grupie i dodajemy wyniki.

\[|A|=2\cdot1+2\cdot2+1\cdot1=7\]

3 Prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{20}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{7}{20}\).

\[P(A)=\frac{7}{20}\]

Sprawdzenie

Pary spełniające warunek to \((1,2),(1,8),(3,6),(5,4),(7,2),(7,8),(9,6)\). Jest ich 7 spośród 20, co potwierdza wynik.

\[\frac{7}{20}\in[0,1]\]

Zadanie 32

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((−\infty,6\rangle\). Parabola, która jest wykresem funkcji \(f\), przechodzi przez punkty \(A=(−1,3)\) i \(B=(5,3)\).

Oblicz wartość współczynnika \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Punkty A i B mają tę samą wysokość, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między ich pierwszymi współrzędnymi.

\[x_w=\frac{-1+5}{2}=2\]

2 Zapis postaci kanonicznej

Największa wartość funkcji wynosi 6, zatem wierzchołek ma współrzędne (2,6).

\[f(x)=a(x-2)^2+6\]

3 Obliczenie współczynnika a

Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ leży on na paraboli.

\[3=a(-1-2)^2+6=9a+6\quad\Rightarrow\quad a=-\frac13\]

4 Obliczenie współczynnika c

W postaci ogólnej c=f(0), więc podstawiamy x=0.

\[c=f(0)=-\frac13(0-2)^2+6=\frac{14}{3}\]

Odpowiedź

Współczynnik c wynosi 14/3.

\[c=\frac{14}{3}\]

Sprawdzenie

Dla x=5 otrzymujemy f(5)=3, więc punkt B leży na paraboli. Ponieważ a<0, wartość 6 w wierzchołku jest maksimum, zgodnie z podanym zbiorem wartości.

\[f(5)=-\frac13(5-2)^2+6=3,\qquad a=-\frac13<0\]

Zadanie 33

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc z definicji sinusa i cosinusa obliczamy promień podstawy oraz wysokość.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pole koła w podstawie i pole powierzchni bocznej; tworząca ma długość 8.

\[P_c=\pi r^2+\pi r\cdot8=48\pi+32\sqrt{3}\pi=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 64π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi 16π(3+2√3) jednostek kwadratowych.

\[V=64\pi,\qquad P_c=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Sprawdzenie

Obliczone wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa: kwadrat promienia i kwadrat wysokości sumują się do kwadratu tworzącej. Ponadto stosunek promienia do tworzącej wynosi sin 60°, zgodnie z połową kąta rozwarcia.

\[(4\sqrt{3})^2+4^2=48+16=64=8^2,\qquad \frac{4\sqrt{3}}{8}=\sin 60^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-2,-1)\), \(B=(0,0)\) oraz \(C=(4,8)\) są wierzchołkami trapezu prostokątnego \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Kąt \(DAB\) jest prosty.

Oblicz współrzędne punktu \(D\) oraz długość odcinka \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostych

Podstawy \(AB\) i \(CD\) są równoległe, więc prosta \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co \(AB\). Ponieważ kąt \(DAB\) jest prosty, prosta \(AD\) ma współczynnik kierunkowy przeciwny i odwrotny.

\[a_{AB}=\frac{0-(-1)}{0-(-2)}=\frac12,\qquad CD:\ y-8=\frac12(x-4),\qquad AD:\ y+1=-2(x+2)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu D

Punkt \(D\) jest punktem przecięcia prostych \(CD\) i \(AD\), więc rozwiązujemy ich równania.

\[\frac{x}{2}+6=-2x-5\quad\Rightarrow\quad \frac52x=-11\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{22}{5},\qquad y=\frac12\cdot\left(-\frac{22}{5}\right)+6=\frac{19}{5}\]

3 Obliczenie długości BD

Stosujemy wzór na odległość punktu \(D\) od początku układu, którym jest \(B\).

\[|BD|=\sqrt{\left(-\frac{22}{5}\right)^2+\left(\frac{19}{5}\right)^2}=\frac{\sqrt{845}}{5}=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne \(\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right)\), a długość odcinka BD wynosi \(\frac{13\sqrt5}{5}\).

\[D=\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right),\qquad |BD|=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Wektor \(CD\) jest równoległy do \(AB\), a iloczyn skalarny wektorów \(AB\) i \(AD\) wynosi zero. Ponadto kwadrat obliczonej długości BD zgadza się z sumą kwadratów współrzędnych punktu D.

\[\overrightarrow{CD}=\left(-\frac{42}{5},-\frac{21}{5}\right)=-\frac{21}{5}(2,1),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(2,1)\cdot\left(-\frac{12}{5},\frac{24}{5}\right)=0,\qquad \left(\frac{13\sqrt5}{5}\right)^2=\frac{169}{5}=\frac{484+361}{25}\]

Zadanie 1

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}\) jest równa

\((-16)\)

\((-4)\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz 32 jako potęgę 2

Sprowadzamy obie potęgi do tej samej podstawy, aby zastosować prawa działań na potęgach.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot(2^5)^{\frac{3}{5}}\]

2 Oblicz wartość

Mnożymy wykładniki potęgi potęgi, a następnie dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie.

\[2^{-1}\cdot 2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot 2^3=2^2=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Pierwiastek piątego stopnia z 32 to 2, więc jego sześcian to 8. Po pomnożeniu przez jedną drugą otrzymujemy 4.

\[2^{-1}\cdot 32^{\frac{3}{5}}=\frac12\cdot(\sqrt[5]{32})^3=\frac12\cdot 2^3=4\]

Zadanie 2

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)\) jest równa

\(\log_{3}\frac{31}{18}\)

\(\log_{3}\frac{5}{11}\)

\((-1)\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Argumenty są dodatnie, więc suma logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem iloczynu.

\[\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), otrzymujemy wartość logarytmu.

\[\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)=\log_{3}(3^{-1})=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Argumenty obu logarytmów są dodatnie, a \(3^{-1}=\frac{1}{3}\), więc otrzymany wynik spełnia definicję logarytmu.

\[3^{-1}=\frac{1}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

\(22\)

\(42\)

\(42+4\sqrt{5}\)

\(42+8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat sumy

Stosujemy wzór na kwadrat sumy, aby uwzględnić także iloczyn obu składników.

\[(2\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2+2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=40+4\sqrt{20}+2\]

2 Uprość wynik

Wyłączamy czynnik będący kwadratem spod pierwiastka i dodajemy liczby całkowite.

\[40+4\sqrt{20}+2=42+4\cdot2\sqrt{5}=42+8\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[42+8\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi D występuje dokładnie otrzymana wartość. Wyraz mieszany wynosi \(2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{5}\), więc współczynnik przy pierwiastku jest poprawny.

\[2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{20}=8\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}02)^3\)

\(K_0\cdot(1{,}03)^6\)

\(K_0\cdot1{,}18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kapitał po roku

Odsetki wynoszą 6% bieżącego kapitału, więc po każdym roku kapitał mnożymy przez 1,06.

\[K_1=K_0+0{,}06K_0=1{,}06K_0\]

2 Kapitał po trzech latach

Odsetki są doliczane co roku, dlatego trzykrotnie stosujemy ten sam mnożnik.

\[K_3=K_0\cdot(1{,}06)^3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[K_0\cdot(1{,}06)^3\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po trzech latach kapitał wynosi 1,191016 kwoty początkowej; wynik uwzględnia odsetki od odsetek.

\[(1{,}06)^3=1{,}191016\]

Zadanie 5

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Wyłączamy 5 i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby otrzymać iloczyn trzech kolejnych liczb.

\[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5(n-1)n(n+1)\]

2 Podzielność iloczynu

Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez 3, a co najmniej jedna jest parzysta. Ponieważ 2 i 3 są względnie pierwsze, ich iloczyn jest podzielny przez 6.

\[6\mid(n-1)n(n+1)\]

3 Wniosek

Mnożenie liczby podzielnej przez 6 przez 5 daje liczbę podzielną przez 30.

\[30\mid 5(n-1)n(n+1)=5n^3-5n\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 5n³ − 5n jest podzielna przez 30.

\[30\mid(5n^3-5n)\quad\text{dla każdego }n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\]

Sprawdzenie

Dla n = 1 otrzymujemy 0, które jest podzielne przez 30. Dla pozostałych dopuszczalnych n iloraz przez 30 jest całkowity, ponieważ jest ilorazem iloczynu trzech kolejnych liczb przez 6.

\[n=1:\ 5n^3-5n=0=30\cdot0;\qquad \frac{5n^3-5n}{30}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 6

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{3x-5}{12}<\frac{1}{3}\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(5\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiązanie nierówności

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 12, więc znak nierówności się nie zmienia. Następnie wyznaczamy x.

\[\frac{3x-5}{12}<\frac13\iff 3x-5<4\iff 3x<9\iff x<3\]

2 Policzenie rozwiązań

Spośród dodatnich liczb całkowitych mniejszych od 3 są tylko 1 i 2.

\[x\in\{1,2\},\qquad |\{1,2\}|=2\]

Odpowiedź

Liczba rozwiązań wynosi 2. Odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla x=2 nierówność jest prawdziwa, a dla x=3 zachodzi równość, więc 3 nie jest rozwiązaniem. Większe liczby całkowite też nie spełniają warunku x<3.

\[\frac{3\cdot2-5}{12}=\frac1{12}<\frac13,\qquad \frac{3\cdot3-5}{12}=\frac13\]

Zadanie 7

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań \(\begin{cases}x-2y=3\\-4x+8y=-12\end{cases}\)

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie równań

Mnożymy pierwsze równanie przez \(-4\), aby sprawdzić, czy oba równania opisują tę samą prostą.

\[-4(x-2y)=-4\cdot3\quad\Longrightarrow\quad -4x+8y=-12\]

2 Opis rozwiązań

Drugie równanie wynika z pierwszego, więc wystarczy rozwiązać \(x-2y=3\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(t\) możemy przyjąć \(y=t\).

\[y=t,\quad x=3+2t,\quad t\in\mathbb{R}\]

Odpowiedź

D. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\[(x,y)=(3+2t,t),\quad t\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy w obu równaniach odpowiednio 3 i −12 dla każdego \(t\in\mathbb{R}\). Różne wartości \(t\) dają różne rozwiązania.

\[(3+2t)-2t=3,\qquad -4(3+2t)+8t=-12\]

Zadanie 8

Matura 2024 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od: \((-1)\), \(0\) i \(1\), wartość wyrażenia \(\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x}\) jest równa wartości wyrażenia

\(2x+2\)

\(\frac{2x}{x-1}\)

\(\frac{2x}{x^2-1}\)

\(\frac{2x^3+1}{x^3-1}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby wskazać czynniki, które można skrócić.

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

2 Skróć wyrażenie

Ponieważ \(x\neq 0\) i \(x\neq -1\), możemy skrócić czynniki \(x\) oraz \(x+1\).

\[\frac{2x^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x}{x-1}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2x}{x-1}\]

Sprawdzenie

Dla dozwolonej wartości \(x=2\) wyrażenie początkowe i odpowiedź B mają tę samą wartość. Po skróceniu pozostaje mianownik \(x-1\), który jest różny od zera zgodnie z warunkiem zadania.

\[\frac{2\cdot 2^2}{2^2-1}\cdot\frac{2+1}{2}=4,\qquad \frac{2\cdot 2}{2-1}=4\]